20.5 梯 形
授课教师：科大附中王莉（2010-5-20）
教学目标：
理解梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；掌握等腰梯形基本性质：等腰梯形同一底上的两个角相等，两条对角线相等。能够运用概念和性质进行有关问题的论证和计算，
经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展说理意识、主动探究的习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识的运用。
教学重点：等腰梯形的性质及其应用。
教学难点：探索等腰梯形的性质。
教学方法：启发诱导，合作交流。
教学过程设计：
一、创设问题情境
观察图形的变化：三角形→四边形→特殊四边形
类比平行四边形的特征：两组对边分别平行的四边形，引导学生探索梯形的两组对边分别有什么特点？导入梯形的概念。
二、探究：
（一）、梯形的概念：
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
如:梯形ABCD中，AD∥BC
底: 平行的两边叫做梯形的底．
腰:不平行的两边叫做梯形的腰.
高: 两底之间的距离叫做梯形的高．
想一想：梯形的边、角有什么性质？
直角梯形：有一条腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
（二）探索等腰梯形的性质
1、操作：剪一个等腰梯形
2、交流：类比平行四边形的性质研究，引导学生从边、角、对角线角度来研究等腰梯形的性质。观察，动手操作，量一量、折一折，你能发现什么等腰梯形的边、内角、对角线有哪些性质？
3、归纳猜想：
①等腰梯形同一底上的两个内角相等。
②等腰梯形的两条对角线相等。
4、证明
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD
求证：①∠C=∠B，∠A=∠D
②AC=BD
鼓励学生尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法。引导学生将梯形问题转化为我们能解决的平行四边形和三角形问题。
①证明1：过点D作DE∥AB交BC与点E,又AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形，∠B=∠DEC
∴AB=DE
∵AB=CD ∴CD= DE
∴∠C=∠DEC
∴∠C=∠B
方法：通过平移等腰梯形的一腰可把等腰梯形转化为平行四边形和等腰三角形
①证明2：过点A作AE⊥BD，垂足为E; 过点D作DF⊥BC, 垂足为F;
∠BEA=∠CFD=90°
∵AD∥BC∴AE=DF
Rt△ABE与 Rt△CDF中
∵ ∴Rt△ABE ≌Rt△DCF(HL)
∴∠B=∠C
方法：通过作两条高线可把等腰梯形转化为矩形和两个全等的直角三角形
②证明：连接AC,BD,在△ABC与△DCB中∵∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
也可利用轴对称性质证明：
证明：取两条底边AD、BC的中点E、F，连接EF;
过点E作EB1∥AB,EC1∥DC分别交BC于点B1 ,C1
则四边形ABB1E与四边形EC1CD都是平行四边形.
∴EB1=AB, EC1=CD
∵AB=CD ∴EB1= EC1
∵BF=CF,BB1=AE=ED=CC1 ∴B1F=C1F
∴EF⊥BC
∵AD∥BC ∴EF⊥AD
∴AD与BC关于直线EF对称
∴梯形ABCD是以直线EF为轴的轴对称图形
∴∠A=∠D,∠C=∠B， AC=BD
等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等；
等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
符号语言：
在梯形ABCD中，∵AD‖BC 且AB=CD
∴∠B=∠C（等腰梯形在同一底上的两个角相等）
且AC=BD（等腰梯形对角线相等）
三、课时小结
梯形有什么显著特征？有哪几种特殊梯形？今天我们主要研究了其中的哪一种？
等腰梯形有什么性质？
2、今天我们在研究等腰梯形问题时，可以用哪些方法将等腰梯形问题转化成其他图形问题？
四、作业：
习题20.5：1、2
思考题：
1、已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=100°,求∠B, ∠C, ∠D的度数？
2、如图，将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，则图中有平行四边形吗？△CAE是等腰三角形吗？为什么？
引入部分：
师：同学们，三角形是我们非常熟悉的几何图形，如果在图形上任意增加一点D，其中任意三点不共线，以这四个点为端点的四条线段依次首尾相接组成的封闭图形就是我们以学习过的四边形。
师：过点c作对边的平行线CE,当点D只能在射线CE移动时，此时我们看到了一些特殊的四边形，能说出这些四边形有什么特点？
（只有一组对边平行，另一组对边不平行）
师：是不是点D在射线CE上的任意位置时都有这个特点？
（不是，当AB∥CD时，两组对边分别平行，平行四边形）
师：今天我们就研究另一组对边不平行的特殊四边形——梯形，哪位同学能说出梯形的定义？
（给出梯形，底，腰，高的概念）
师：比较平行四边形的边、角的性质，你能说出梯形的边、角有哪些性质？
梯形只有一组对边平行，梯形平行的一组对边一定不相等
梯形同一腰上的两个内角互补
师：下面我们认识两个特殊的梯形。有一条腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。现在，我们来研究特殊的梯形等腰梯形的性质。
探索性质部分：
师：请用纸剪出一个等腰梯形。
师：在研究平行四边形的性质时，我们研究了边、角、对角线的性质。研究等腰梯形的性质，我们从那几个方面来研究呢？（边、角、对角线）
师：观察剪出的等腰梯形，你能通过量一量，剪一箭，拼一拼，折一折等方法发现等腰梯形的边、角、对角线有哪些性质？
（给出猜想----写出已知求证）
师：我们在证明四边形内角和时体现了什么思想方法？（转化，转化为三角形内角和）
师：现在，要证明角相等、线段相等？转化为哪些知识可以证明角相等、线段相等？
（平行四边形的性质，等腰三角形性质，全等三角形性质，轴对称性质等）
师：看看你能通过添加什么样的辅助线将等腰梯形转化为平行四边形和三角形呢？
师：1、通过作两条高线将两角相等问题转化为两全等三角形的对应角相等。
通过平移一腰将两角转化为等腰三角形两底角。过D点作DE∥AB交BC于点E,把腰AB平移到了DE的位置。得到了等腰三角形DEC，
有没有其他的平移方法呢？（过A点，B点，C点能否作平行线呢让学生思考）
问：在AD上任取一点E，能否通过平移等腰梯形的腰构造出一个以点E为顶点的等腰三角形呢？
小结方法：
师：刚才我们通过平移得到了等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高线、中线、顶角平分线所在直线。你能利用等腰三角形的轴对称性来研究等腰梯形是不是轴对称图形？
师：刚才我们通过作两条高线将等腰梯形转化为两个全等的直角三角形和一个矩形，矩形也是轴对称图形，它的对称轴是一组对边中点连线所在直线，有两条对称轴。你能利用矩形的对称性来判断等腰梯形是否是轴对称图形？
师：通过刚才的证明，我们得到了等腰梯形的两条基本性质：
等腰梯形同一条底上的两内角相等。等腰梯形的两对角线相等。
课件10张PPT。授课教师：
科大附中王莉（2010-5-20）20.5 梯形猜想：平 移 腰等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。作 高轴 对 称BCAD已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD
求证:(1)∠B =∠C ， ∠A =∠D
(2) AC=BD对 角 线性 质ABCDE返回证明：过点D作DE∥AB交BC与点E.方法：通过平移等腰梯形的腰可把等腰梯形转化为平行四边形和等腰三角形∴ ∠B=∠DEC
又AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形，∴∠C=∠DEC
∴∠C=∠B∴AB=DE
∵AB=CD
∴CD=DE动画证明：
过点A作AE⊥BD，垂足为E; 过点C作CF⊥BD, 垂足为F;ABCDEF返回通过作两条高线可把等腰梯形转化为矩形和两个全等的直角三角形方法：∠BEA=∠DFC=90°∵AD∥BC∴AE=DFAB=CD
AE=DF返回ABCDEFB1C1证明：取两条底边AD、BC的中点E、F，连接EF; 过点E作EB1∥AB,EC1∥DC分别交BC于点B1 ,C1 .则四边形ABB1E与四边形EC1CD都是平行四边形.∵BF=CF,BB1=AE=ED=CC1 ∴B1F= C1F
∴EF⊥BC∵AD∥BC ∴EF⊥AD
∴AD与BC关于直线EF对称∴梯形ABCD是以直线EF为轴的轴对称图形∴∠BAD=∠ADC,∠DCB=∠ABC，AC=BD∴EB1=AB, EC1=CD ∵AB=CD ∴EB1= EC1ABCD证明：连接AC,BD返回在△ABC与△DCB中
∵∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=BD等腰梯形性质定理1：
等腰梯形的同一底边上的两个内角相等等腰梯形性质定理2：
等腰梯形的两条对角线相等。符号语言：在梯形ABCD中，∵AD‖BC 且AB=CD
∴∠B=∠C（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）
且AC=BD（等腰梯形对角线相等）ADBC小结：1、今天我们了解到了那些知识？2、我们在研究等腰梯形性质时，可以用哪些方法将梯形问题转化成平行四边形或三角形问题？作业布置：
课本P99练习1、2思考题：1、已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD ∠A=100°,求∠B, ∠C, ∠D的度数？ABCD2、如图，将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，则图中有平行四边形吗？△CAE是等腰三角形吗？为什么？BCADECABD返回平移腰
