二次根式
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第22章 二次根式
白寺一中 马金枝
§22.1二次根式
一、定向诱导：
提问：（1）什么叫做有理数？什么叫无理数？什么叫实数 请同学们举例说明.
（2）什么叫算术平方根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平方根？为什么？
引入课本P1实际问题
学习目标：理解二次根式的定义，以及二次根式中字母a的实际内涵.
二、自学探究 自学课本P2---3页，解决以下问题.
1、表示什么？a应满足什么条件？
2、在式子、（a≥2）、-、 EQ \r(,（-）2) 中的二次根式的个数是（ ）.
3、在式子、、、、中是二次根式的是_____________.
4、x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
5、x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
6、x是怎样的实数时，式子 EQ \f( 1 , )在实数范围内有意义？
7、计算：（）2 、 （）2
8、等于什么？
三、讨论解疑
你有什么疑问请提出来.
四、反馈总结
检测：1、计算：（1）（）2; （2）（）2; （3）; （4）
2、x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）;（2）;（3） EQ \r(,) ;（4） EQ \r(,)
3、（）2与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流.
总结：
说说你本节课的收获.
§22.2二次根式的乘除法
第一课时 二次根式的乘法
一、定向诱导：
1、填空：=____ （分情况讨论） .
2、学习目标：会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的性质进行二次根式的简写运算.
二、自学探究
1、完成P5试一试.观察计算的结果，你发现了什么？
2、自学课本P5----7.
3、填空：·=_____ （a≥0 b≥0 ）说一说二次根式的乘法法则.
4、计算：（1）×（2）4×2
5、探究：（1）3·2（2）·
6、计算：（1）·（2）2· EQ \r(,) （3） EQ \r(,) · EQ \r(,)
7、积的算术平方根的性质：=________（a≥0 b≥0）
8、化简：（1）（2）
9、化简：（1）（2）
10、完成课本P7做一做
三、讨论解疑
1、你有什么疑问请提出来.
2、讨论解决：把式子m EQ \r(,) 中根号外的m移到根号内得（ ）.
四、反馈总结
检测：1、化简：=_______,·=________.
2、当a___时, |a- |=-2a.
3、等式=-a成立的条件是什么？
总结：
说说你本节课的收获.
第二课时 二次根式的除法
一、定向诱导：
1、填空：（1） EQ \f( , )=____; EQ \r(,) =____;
（2） EQ \f( , )=_____; EQ \r(,) =____;
（3） EQ \f( , )=_____; EQ \r(,) =_____.
根据以上结果，试总结出 EQ \f( , )=_____（a___,b___）
2、学习目标：会利用二次根式的除法法则进行运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式.
二、自学探究 自学课本P8---9页，解决以下问题.
1、将课文中的空白填上，对于a、b的取值范围你是如何理解的？
2、自学例题，你能提出什么问题？
3、什么叫最简二次根式？
4、计算：（1） EQ \f( , )（2） EQ \r(,1) ÷ EQ \r(,)
5、化简：（1） EQ \f( -4 , 3 ) （2） EQ \f( 2a , ) （3） EQ \r(,1) （4） EQ \r(,)
三、讨论解疑
1、你有什么疑问请提出来.
2、已知 EQ \r(,) = EQ \r(,) ,且x为偶数，求（1+x） EQ \r(,) 的值.
四、反馈总结
检测： 1、计算：（1）× （2）· （3） EQ \f( , )（4） EQ \f( , )
2、化简： （1） EQ \f( -1 , ) （2） EQ \f( , 3- ) （3） EQ \f( 1 , )+ EQ \f( 1 , )
总结：
说说你本节课的收获。
§22.3 二次根式的加减法
第一课时 二次根式的加减法（一）
1、 定向诱导：
学习目标：知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的加减法运算.
2、 自学探究：
1、 计算：4+3
2、 计算： +（提示：先把与分别化简）
3、 试归纳什么是同类二次根式？
4、 下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，， EQ \r(,) , EQ \r(,) , ,,6b EQ \r(,) .
5、 自学例1、例2，归纳：二次根式的加减，第一步是___________,第二步是_________________.
6、 计算：（1）2-4 EQ \r(,) +3； （2）+6 EQ \r(,) -2x EQ \r(,)
7、 已知：4x2+y2-4x-6y+10=0,求（+y2 EQ \r(,) ）-（x2 EQ \r(,) -5x EQ \r(,) ）
3、 讨论解疑：
你有什么疑问请提出来.
4、 反馈总结：检测：1、在、、、、3、-2 EQ \r(,) 中，与是同类二次根式的有_____________.
2、计算： +
3、计算：5-3-7+9=____________
4、下列各式：①3+3=6;②=1;③+==2;④ EQ \f( , )=2,其中错误的有 （ ）
A3个 B 2个 C 1个 D 0个
5、先化简，再求值：
（6x EQ \r(,) +）-（4x EQ \r(, ) +）,其中x=,y=27.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
第二课时 二次根式的加减法（二）
一定向诱导：
定向：上节课我们对二次根式的加减进行了研究，可以归纳出解题方法：第一步，先把二次根式化成最简二次根式;第二步，再把被开方数相同的二次根式进行合并，本节课要学习实际应用问题。
学习目标：会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题。
二自学探究：
1、 如图22.3-1所示的RtABC中，∠C=90，点P从点B开始沿BA边以每秒1厘米的速度向点A移动，同时，点Q也从点B开始沿BC边以每秒2厘米的速度向点C移动，请同学们探究：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米 （结果用最简二次根式表示）
图22.3-1
2、 要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m）
图22.3-2
3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值.
4如图22.3-3，在□ABCD中，DE⊥AB，E在AB上，DE=AE=EB=a,求□ABCD的周长C.
图22.3-3
三讨论解疑：
你有什么疑问请提出来
四反馈总结：检测：
1、张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是______m.
2、 已知等腰直角三角形的直角边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_______.（结果用最简二次根式）
3、 若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
第三课时 二次根式的加减法（三）
一定向诱导：
定向：1、回顾交流.请同学们完成以下各题：
（1）（2a+b）·3a（2）（2m2-3mn2）÷mn
（3）（2a+3b）（2a-3b）（4）（2x-1）2+（2x+1）2
整式的运算思想可以延伸到二次根式的混合运算.
今天我们学习二次根式的混合运算.
学习目标：会进行二次根式的混合运算.
二自学探究：自学课本P11例3，完成以下各题。
1、（1）（+）× （2）（4-3）÷2
2、（1）（+6）（2-（2）（+）（-）（3）（6-3）2
3、已知：1a2,计算： EQ \f( , a-2 ) + EQ \f( , a-1 )
三讨论解疑：
你有什么疑问请提出来
四反馈总结：
检测：1、（-+ EQ \f( , 2 )）2的计算结果是______（用最简二次根式表示）.
2、（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果是______.（用最简二次根式表示）。
3、若x=-1,则x2+2x+1=______。
4、已知a=3+2,b=3-2,a2b-ab2=_________.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
C
Q
P
B
A
B
2m
D1m
C
4m
A
D
C
E
B
A
白寺一中 马金枝
§22.1二次根式
一、定向诱导：
提问：（1）什么叫做有理数？什么叫无理数？什么叫实数 请同学们举例说明.
（2）什么叫算术平方根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平方根？为什么？
引入课本P1实际问题
学习目标：理解二次根式的定义，以及二次根式中字母a的实际内涵.
二、自学探究 自学课本P2---3页，解决以下问题.
1、表示什么？a应满足什么条件？
2、在式子、（a≥2）、-、 EQ \r(,（-）2) 中的二次根式的个数是（ ）.
3、在式子、、、、中是二次根式的是_____________.
4、x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
5、x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
6、x是怎样的实数时，式子 EQ \f( 1 , )在实数范围内有意义？
7、计算：（）2 、 （）2
8、等于什么？
三、讨论解疑
你有什么疑问请提出来.
四、反馈总结
检测：1、计算：（1）（）2; （2）（）2; （3）; （4）
2、x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）;（2）;（3） EQ \r(,) ;（4） EQ \r(,)
3、（）2与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流.
总结：
说说你本节课的收获.
§22.2二次根式的乘除法
第一课时 二次根式的乘法
一、定向诱导：
1、填空：=____ （分情况讨论） .
2、学习目标：会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的性质进行二次根式的简写运算.
二、自学探究
1、完成P5试一试.观察计算的结果，你发现了什么？
2、自学课本P5----7.
3、填空：·=_____ （a≥0 b≥0 ）说一说二次根式的乘法法则.
4、计算：（1）×（2）4×2
5、探究：（1）3·2（2）·
6、计算：（1）·（2）2· EQ \r(,) （3） EQ \r(,) · EQ \r(,)
7、积的算术平方根的性质：=________（a≥0 b≥0）
8、化简：（1）（2）
9、化简：（1）（2）
10、完成课本P7做一做
三、讨论解疑
1、你有什么疑问请提出来.
2、讨论解决：把式子m EQ \r(,) 中根号外的m移到根号内得（ ）.
四、反馈总结
检测：1、化简：=_______,·=________.
2、当a___时, |a- |=-2a.
3、等式=-a成立的条件是什么？
总结：
说说你本节课的收获.
第二课时 二次根式的除法
一、定向诱导：
1、填空：（1） EQ \f( , )=____; EQ \r(,) =____;
（2） EQ \f( , )=_____; EQ \r(,) =____;
（3） EQ \f( , )=_____; EQ \r(,) =_____.
根据以上结果，试总结出 EQ \f( , )=_____（a___,b___）
2、学习目标：会利用二次根式的除法法则进行运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式.
二、自学探究 自学课本P8---9页，解决以下问题.
1、将课文中的空白填上，对于a、b的取值范围你是如何理解的？
2、自学例题，你能提出什么问题？
3、什么叫最简二次根式？
4、计算：（1） EQ \f( , )（2） EQ \r(,1) ÷ EQ \r(,)
5、化简：（1） EQ \f( -4 , 3 ) （2） EQ \f( 2a , ) （3） EQ \r(,1) （4） EQ \r(,)
三、讨论解疑
1、你有什么疑问请提出来.
2、已知 EQ \r(,) = EQ \r(,) ,且x为偶数，求（1+x） EQ \r(,) 的值.
四、反馈总结
检测： 1、计算：（1）× （2）· （3） EQ \f( , )（4） EQ \f( , )
2、化简： （1） EQ \f( -1 , ) （2） EQ \f( , 3- ) （3） EQ \f( 1 , )+ EQ \f( 1 , )
总结：
说说你本节课的收获。
§22.3 二次根式的加减法
第一课时 二次根式的加减法（一）
1、 定向诱导：
学习目标：知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的加减法运算.
2、 自学探究：
1、 计算：4+3
2、 计算： +（提示：先把与分别化简）
3、 试归纳什么是同类二次根式？
4、 下列各式中，哪些是同类二次根式？ ，， EQ \r(,) , EQ \r(,) , ,,6b EQ \r(,) .
5、 自学例1、例2，归纳：二次根式的加减，第一步是___________,第二步是_________________.
6、 计算：（1）2-4 EQ \r(,) +3； （2）+6 EQ \r(,) -2x EQ \r(,)
7、 已知：4x2+y2-4x-6y+10=0,求（+y2 EQ \r(,) ）-（x2 EQ \r(,) -5x EQ \r(,) ）
3、 讨论解疑：
你有什么疑问请提出来.
4、 反馈总结：检测：1、在、、、、3、-2 EQ \r(,) 中，与是同类二次根式的有_____________.
2、计算： +
3、计算：5-3-7+9=____________
4、下列各式：①3+3=6;②=1;③+==2;④ EQ \f( , )=2,其中错误的有 （ ）
A3个 B 2个 C 1个 D 0个
5、先化简，再求值：
（6x EQ \r(,) +）-（4x EQ \r(, ) +）,其中x=,y=27.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
第二课时 二次根式的加减法（二）
一定向诱导：
定向：上节课我们对二次根式的加减进行了研究，可以归纳出解题方法：第一步，先把二次根式化成最简二次根式;第二步，再把被开方数相同的二次根式进行合并，本节课要学习实际应用问题。
学习目标：会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题。
二自学探究：
1、 如图22.3-1所示的RtABC中，∠C=90，点P从点B开始沿BA边以每秒1厘米的速度向点A移动，同时，点Q也从点B开始沿BC边以每秒2厘米的速度向点C移动，请同学们探究：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米 （结果用最简二次根式表示）
图22.3-1
2、 要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m）
图22.3-2
3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值.
4如图22.3-3，在□ABCD中，DE⊥AB，E在AB上，DE=AE=EB=a,求□ABCD的周长C.
图22.3-3
三讨论解疑：
你有什么疑问请提出来
四反馈总结：检测：
1、张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是______m.
2、 已知等腰直角三角形的直角边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_______.（结果用最简二次根式）
3、 若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
第三课时 二次根式的加减法（三）
一定向诱导：
定向：1、回顾交流.请同学们完成以下各题：
（1）（2a+b）·3a（2）（2m2-3mn2）÷mn
（3）（2a+3b）（2a-3b）（4）（2x-1）2+（2x+1）2
整式的运算思想可以延伸到二次根式的混合运算.
今天我们学习二次根式的混合运算.
学习目标：会进行二次根式的混合运算.
二自学探究：自学课本P11例3，完成以下各题。
1、（1）（+）× （2）（4-3）÷2
2、（1）（+6）（2-（2）（+）（-）（3）（6-3）2
3、已知：1a2,计算： EQ \f( , a-2 ) + EQ \f( , a-1 )
三讨论解疑：
你有什么疑问请提出来
四反馈总结：
检测：1、（-+ EQ \f( , 2 )）2的计算结果是______（用最简二次根式表示）.
2、（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果是______.（用最简二次根式表示）。
3、若x=-1,则x2+2x+1=______。
4、已知a=3+2,b=3-2,a2b-ab2=_________.
总结：
本节课你有什么收获，请说一说.
C
Q
P
B
A
B
2m
D1m
C
4m
A
D
C
E
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