（新人教b版必修2）数学：两条直线的位置关系教案
文档属性
| 名称 | （新人教b版必修2）数学：两条直线的位置关系教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 114.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-09 09:09:00 | ||
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文档简介
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两条直线的位置关系
一、复习目标：
1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．
2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
二、知识要点：
1．已知两条直线与：（1） ．
（2） ；
（3）与重合 ．
2．直线到的角公式： ；直线与的夹角公式： ．
3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．21世纪教育网
三、课前预习：
1．中，是内角的对边，且成等差数列，则直线与的位置关系（ ）
重合 相交不垂直 垂直 平行
2．点到直线的距离为的最大值是 （ ）
3．设直线：与直线：.
①若互相垂直，则的值为 0或2 ；②若没有公共点，则的值为或.
4．已知三角形的三个顶点为、、．
（1）；（2）的平分线所在的直线方程为.
5．点关于直线的对称点的坐标为．
四、例题分析：
例1．光线从点射出，经直线：反射，反射光线过点．
（1）求入射光线所在直线方程；
（2）求光线从到经过的路程.
解：设点关于直线的对称点是
．∴，
解之得，∴．
（1）∴入射光线所在直线方程即直线方程：．
（2）设入射光线与直线交于点，则共线．
∴．
小结：
例2．已知的顶点，过点的内角平分线的方程是，过点的中线方程为，求顶点的坐标和直线的方程．
解：设点，由过点的内角平分线方程得①，又∵的中点在过的中线上，∴②，联立①、②解得，∴点．
又∵，过点的角平分线的斜率，由到角公式得，解得，故直线的方程为．
小结：
例3．求过点且被两直线：
，:所截得的线段长的直线的方程.
解：如图，设所求直线分别交、于点B、C，[来源:21世纪教育网]
∵∥
∴、之间的距离|BD|=.
由已知|BC|=3，∴∠BCD=45°，
即所求直线与（或）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k，
则有：tan45°=，解之得，k1=-7或k2=-.
∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=(x-2)，即，7x+y-17=0或x-7y+19=0.
小结：
1．过点引直线，使它与两点、距离相等，则此直线方程为（ ）
或
或
2．把直线绕原点逆时针方向转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是 （ ）
3．等腰三角形底边所在的直线的方程为,一腰所在的直线的方程为,点在另一腰上,则此腰所在的直线的方程为.
4．已知为坐标原点，点的坐标为，为线段垂直平分线上的一点，若为锐角，则点的横坐标的取值范围是或．
5．△ABC中，顶点、、内心，则顶点的坐标为．21世纪教育网
6．已知直线：，：，求直线关于直线对称的直线的方程.
x+y-1=0， x=
解法1 由 得
2x-y+3=0， y=
∴过点P（，）.
又，显然Q（-1，1）是直线上一点，设Q关于直线的对称点为（，），则有
=0
解之，得
=2
即（0，2）.
直线经过点P、，由两点式得它的方程为x-2y+4=0.
解法2 由解法1知，与的交点为P（，）.
设直线的斜率为k，且与的斜率分别为-1和2.
∵ 到的角等于到的角，
∴ =， ∴ .
∴直线的方程为y-=（x+），即x-2y+4=0.
解法3 设M（x，y）是直线上的任意一点，点M关于直线的对称点为，坐标为（，），则
=1-y
解得
=1-x
即点（1-y，1-x），因为点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，x-2y+4=0，即为直线的方程.
7．已知三条直线：，：，：，它们围成.
（1）求证：不论取何值时，中总有一个顶点为定点；
（2）当取何值时，的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.
证明⑴ 将直线：mx-y+m=0化为m（x+1）-y=0，
x+1=0，
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
-y=0，
同理，将：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m（x+1）+（x-y+1）=0，
x+1=0
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
x-y+1＝021世纪教育网
从而，直线、都过同一个定点（-1，0），由于、的交点是△ABC的一个顶点，故△ABC中总有一个顶点为定点.
⑵ 设、的交点为A（-1，0），、的交点为B，、的交点为C（如图），则A到直线的距离为
EMBED Equation.3 =
=.
mx-y+m=0， x=
由 解得
x+my-m（m+1）=0， y=+m
即B（，+m+1）.
x+my-m（m+1）=0， x=0
由 解得
（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1
即C（0，m+1）.
所以，.
于是，△ABC的面积===21世纪教育网
∵ ≥2|m|， ∴ ≤，
∴ ，从而S∈[，].
令S=，则m=-1；令S=，则m=1.
所以，当m=1时，△ABC有最大面积；当m=-1时，△ABC有最小面积.
8．已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在的直线方程．
解：∵直线和的交点为，且设与平行的边所在的直线方程为，则，∴，故此直线方程为．
又设与垂直的边所在的直线方程为，则
，∴或．
所以其它三边所在的直线方程为，，．
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两条直线的位置关系
一、复习目标：
1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．
2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
二、知识要点：
1．已知两条直线与：（1） ．
（2） ；
（3）与重合 ．
2．直线到的角公式： ；直线与的夹角公式： ．
3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．21世纪教育网
三、课前预习：
1．中，是内角的对边，且成等差数列，则直线与的位置关系（ ）
重合 相交不垂直 垂直 平行
2．点到直线的距离为的最大值是 （ ）
3．设直线：与直线：.
①若互相垂直，则的值为 0或2 ；②若没有公共点，则的值为或.
4．已知三角形的三个顶点为、、．
（1）；（2）的平分线所在的直线方程为.
5．点关于直线的对称点的坐标为．
四、例题分析：
例1．光线从点射出，经直线：反射，反射光线过点．
（1）求入射光线所在直线方程；
（2）求光线从到经过的路程.
解：设点关于直线的对称点是
．∴，
解之得，∴．
（1）∴入射光线所在直线方程即直线方程：．
（2）设入射光线与直线交于点，则共线．
∴．
小结：
例2．已知的顶点，过点的内角平分线的方程是，过点的中线方程为，求顶点的坐标和直线的方程．
解：设点，由过点的内角平分线方程得①，又∵的中点在过的中线上，∴②，联立①、②解得，∴点．
又∵，过点的角平分线的斜率，由到角公式得，解得，故直线的方程为．
小结：
例3．求过点且被两直线：
，:所截得的线段长的直线的方程.
解：如图，设所求直线分别交、于点B、C，[来源:21世纪教育网]
∵∥
∴、之间的距离|BD|=.
由已知|BC|=3，∴∠BCD=45°，
即所求直线与（或）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k，
则有：tan45°=，解之得，k1=-7或k2=-.
∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=(x-2)，即，7x+y-17=0或x-7y+19=0.
小结：
1．过点引直线，使它与两点、距离相等，则此直线方程为（ ）
或
或
2．把直线绕原点逆时针方向转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是 （ ）
3．等腰三角形底边所在的直线的方程为,一腰所在的直线的方程为,点在另一腰上,则此腰所在的直线的方程为.
4．已知为坐标原点，点的坐标为，为线段垂直平分线上的一点，若为锐角，则点的横坐标的取值范围是或．
5．△ABC中，顶点、、内心，则顶点的坐标为．21世纪教育网
6．已知直线：，：，求直线关于直线对称的直线的方程.
x+y-1=0， x=
解法1 由 得
2x-y+3=0， y=
∴过点P（，）.
又，显然Q（-1，1）是直线上一点，设Q关于直线的对称点为（，），则有
=0
解之，得
=2
即（0，2）.
直线经过点P、，由两点式得它的方程为x-2y+4=0.
解法2 由解法1知，与的交点为P（，）.
设直线的斜率为k，且与的斜率分别为-1和2.
∵ 到的角等于到的角，
∴ =， ∴ .
∴直线的方程为y-=（x+），即x-2y+4=0.
解法3 设M（x，y）是直线上的任意一点，点M关于直线的对称点为，坐标为（，），则
=1-y
解得
=1-x
即点（1-y，1-x），因为点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，x-2y+4=0，即为直线的方程.
7．已知三条直线：，：，：，它们围成.
（1）求证：不论取何值时，中总有一个顶点为定点；
（2）当取何值时，的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.
证明⑴ 将直线：mx-y+m=0化为m（x+1）-y=0，
x+1=0，
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
-y=0，
同理，将：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m（x+1）+（x-y+1）=0，
x+1=0
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
x-y+1＝021世纪教育网
从而，直线、都过同一个定点（-1，0），由于、的交点是△ABC的一个顶点，故△ABC中总有一个顶点为定点.
⑵ 设、的交点为A（-1，0），、的交点为B，、的交点为C（如图），则A到直线的距离为
EMBED Equation.3 =
=.
mx-y+m=0， x=
由 解得
x+my-m（m+1）=0， y=+m
即B（，+m+1）.
x+my-m（m+1）=0， x=0
由 解得
（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1
即C（0，m+1）.
所以，.
于是，△ABC的面积===21世纪教育网
∵ ≥2|m|， ∴ ≤，
∴ ，从而S∈[，].
令S=，则m=-1；令S=，则m=1.
所以，当m=1时，△ABC有最大面积；当m=-1时，△ABC有最小面积.
8．已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在的直线方程．
解：∵直线和的交点为，且设与平行的边所在的直线方程为，则，∴，故此直线方程为．
又设与垂直的边所在的直线方程为，则
，∴或．
所以其它三边所在的直线方程为，，．
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