（新人教b版必修2）数学：圆的标准方程 教案

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圆的标准方程
教学目标
（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；
（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；
（3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．
教学重点
圆的标准方程及其运用．
教学难点
圆的标准方程的推导和运用．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？
2．问题：
　　在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？
二、学生活动
　　回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？
三、建构数学21世纪教育网
1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：
一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即（１）；
反过来，若点的坐标是方程的解，则，
即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上；
2．方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；
3．当圆心在原点时，圆的方程则为；
特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为[来源:21世纪教育网]
四、数学运用
1．例题：
例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：
⑴；　　　　⑵
⑶　　　　　　　 ⑷21世纪教育网
⑸
解：（如下表）
方程 圆心 半径
例2．（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；
（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程。
解：（１）∵圆心为，半径长为
∴该圆的标准方程为
把点代入方程的左边＝右边即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；
把点的坐标代入方程的左边即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上；
（２）法一：∵圆的经过坐标原点，
∴圆的半径为
因此所求的圆的方程为即；
法二：∵圆心为
∴设圆的方程为
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即即
∴所求圆的标准方程为：
例3．（１）求以点为圆心，并且和轴相切的的圆的标准方程；
（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．
解：（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；
因此圆的标准方程为；
（２）∵为直径∴的中点为该圆的圆心即
又∵∴[21世纪教育网]
∴圆的标准方程为
例4．已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：
将代入得
即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度
因此，该货车不能驶入这个隧道；
思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
略解：将代入得即限高为
五、回顾小结：
1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径；
2．建系思想和方程思想；
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