“反比例函数的图象与性质”教学设计
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“反比例函数的图象与性质”教学设计
课题：华师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（下）
第17章 17.4反比例函数的图象与性质(第二课时)
教学目标：
1．知识与能力目标：
（1）能画出反比例函数的图象，了解其特征。
（2）根据反比例函数的图象和解析表达式探索并理解反比例函数的性质：当k>0或k<0时，图象的变化情况。
2．过程与方法目标：
经过阅读钻研教材，绘画观察反比例函数图象，了解反比例函数的特征，再通过对k的取值不同的反比例函数图象的观察、比较与分析，获得反比例函数图象的性质。
3．情感与态度目标：
再次领会函数图象是研究函数的重要直观工具，数形结合是学习和研究函数的不可少的重要数学思想方法，认识正比例函数与反比例函数的区别。
教学重点：反比例函数图象的特征与性质。
教学难点：对反比例函数图象性质的理解与应用。
教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴、y轴无交点。（2）反比例函数的图象只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）。
解决办法：（1）y=k/x中隐含条件是k≠0=>x≠0或y≠0；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
教学方法：探究法。
教学过程：
一、复习回顾，引出问题：
1．一次函数、正比例函数的图象，确定一次函数图象的条件。
2．什么是中心对称。
3．反比例函数的解析表达式，它的图象是怎样的呢？
二、合作探究，发现新知：
请同学们独立阅读、研究教材，在纸上画一画函数y=6/x的图象。
（绝大多数学生开始阅读课本，尝试画图，教师巡视）
提问：1.画函数图象的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表。
2．在选值时，你认为要注意什么问题？
答：（1）由于这个函数的图象的特点还不清楚，应多选几个点较好；
（2）不能选x=0,因为x=0时函数无意义；
（3）选取整数可以较好计算和描点。
这个问题中最核心的一点是关于x≠0的问题，提醒学生注意。
现在你能不能完成y=6/x的图象了呢？
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时暂停，让学生先连完线之后找同学上黑板连线，然后就这位学生的连线加以讨论、评价并总结：
注意：（1）一般地，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象有两条曲线组成，叫做双曲线。
（2）这两条曲线不相交。
（3）这两条曲线无限延伸，无限地逼近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交。
关于注意（3）问学生：为什么图象与x轴和y轴不相交？
在这个问题环节中，引导学生可以通过代数的方法分析反比例函数的解析式，由分母不能为零，得x不能为零；由k≠0，得y必不为零，从而验证了反比例函数的图象。当两个分支无限延伸时，可以无限地逼近x轴、y轴，但永远不会与两轴相交。随即强调画图时要注意准确性。
通过这个问题既可以加深学生对反比例函数图象的记忆，又可培养学生思维的灵活性与深刻性。
教师安排学生练习画反比例函数y=-6/x的图象。
三、观察图象，得出性质：
师：请同学们观察函数的图象，你发现了什么？
生：当k>0时，反比例函数图象在第一、三象限；当k<0时，反比例函数图象在第二、四象限。
师：你是怎样发现的？
生1：通过图象观察可以得到。
生2：我是从解析式中得到的，当k<0时，x、y同号；所以在第一象限；当k<0时，x、y异号，所以在第三象限。
师：谁还可以说说反比例函数的增减性呢？
生：当k<0时，y随x的增大而减小；当k<0时，y随x的增大而增大。
师：这位同学的说法正确吗？
生：对（大部分学生表示赞同）。
师：真的对吗（教师给学生留一点时间思考）？
有学生开始举反例：不对，对于反比例函数y=6/x，当x=-2时，y=-3；当x=2时，y=3，y就不随x的增大而减小。
师：这个反例讲得很好，看来在整个坐标系中，y就不一定随x的增大而减小（当k>0时）。那么怎样讲才是正确的呢？
教师总结：由于反比例函数的图象是断开的，所以在归纳它的图象的增减性时，我们要与一次函数的增减性要有区别，因为一次函数的图象是直线，它是连续的。
板书：对于反比例函数y=k/x（k≠0）：
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限；在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。
师：继续观察图象，还有其它性质吗？
学生讨论后发现，双曲线是关于原点O成中心对称的，原点O是 它的对称中心。
四、应用拓展，鼓励创新：
师：反比例函数y=k/x与正比例函数y=kx的解析式中都含有k，且k≠0，而k决定了它们图象在平面直角坐标系中的位置，观察以下两个图，图中的A点与B点有什么关系？
学生思考、讨论、合作探究，发现：A点与B点是关于原点O成中心对称的，若A点坐标是（a,b）,则B点坐标是（-a,-b）。
通过这个问题使学生把学过的相关知识有机地联系起来，便于记忆和应用。
五、整理反思，促进提高：
1．这节课我们学习了哪些内容，你能总结一下吗？
2．通过这节课学习，我们有哪些收获？
六、课后思考探究：
反比例函数y=k/x（k>0）在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，
则矩形PMON的面积是多少？这样构成的矩形
与k的值有何关系？若k<0呢？
案例研究：
一、设计理念：
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。教学中教师既要把握好教学的导向作用，又要发现学生思维的闪光点，及时调整自己的教学方案，活跃课堂气氛，使学生产生学习情趣。
新课标下的教学设计，既要为学生的今天服务，又要为学生明天的发展奠基，改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及合作交流的能力。我们要准确把握数学新课程的本质与内涵，坚持“以学生发展为本”的教学设计基本理念，把学生的起点作为教师的起点，把传授书本知识服务于学生有个性、可持续、全面和谐的发展。
二、设计概要：
为了让学生充分理解反比例函数图象的特征与性质，初步形成数形结合的数学思想，再次领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题有特殊作用。教学中通过学生自己主动探索、同学之间的讨论交流，体验知识的形成过程，体会观察、分析、归纳解决问题的技能与方法。在教学中，教师应重视引导师生间、学生间的多边探索活动，进行有条理地交流，让学生清晰地阐述自己的想法，同时运用不同的手段和方式评价学生，使学生感受探索带来的喜悦。
三、教学反思：
在本课的教学中，教师要运用一切有效的手段，启发学生的学习兴趣，给学生较多的独立思考和自我发展的机会，以促进学生生动、活泼、主动地学习和探索。
1．先学后教：学生是课堂的主人，是学习的主人，教师在课堂教学中，只有不断确定学生的主体地位，唤起学生的主体意识，发挥学生的主动精神，才能取得良好的教学效果，教师的教才能替代学生的学，把学习的主动权交给学生。作为教师要做教学的热心人，尽力捕捉时机，引导学生将阅读提升为研读、探究。
2．精讲诱导：为了保证学生有充足的自学时间、探讨时间，教师要研究“讲”的策略，教师不可以不讲，但多讲，“满堂灌”绝不是好教师，可以画龙点睛地讲、启发性地讲、点拨性地讲、归纳性地讲，留出更多时间，让学生去思考、去探索。本节课中，我的做法是：凡是学生能看懂的，我不教；凡是学生自己能学的，我不教；凡是学生能探索出结论的，我不教；凡是学生自己能做的活儿，我不做。我只在“导”上和“点拨”上下功夫，点拨要精，要切中要害，激发学生的求知欲，让多数学生体验成功的愉悦。
3．质疑启思：在教学中，包含了许多对学生来说是“疑问”的东西，“疑”是学习的需要、是思维的开端、是求知的基础、是探索的起点，有“疑”才有“思”。本课中，反比例函数的增减性要将两个图象分支分别讨论，对学生来说是一个疑点，这也是激发学生探索知识的兴趣与热情地又一个起点，为了让它成为学生进行自主探索学习的动力，教师应努力营造轻松愉快的教学环境，让学生做到敢思、敢问、敢讨论，从而培养学生具有独特见解、敢想敢说的创造性思维，使学生在不断思索中前进。
4．引导探究：探究式的课堂教学的教学效果直接与教师的引导有关，教学中笔者从以下两方面引导学生进行探究，一是引导学生参与知识的形成探究，即反比例函数的图象的形状、特征及性质；二是引导学生参与知识的建构性探究，即反比例函数图象与正比例函数图象联系起来可以得到什么结论。学生探究之后交流其成果，先是组内交流，达成共识，进而再在全班交流。
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4
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2
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-
2
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y
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-
5
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5
A
B
O
当k>0时:
y
A
B
当k<0时:
y
x
x
O
y
P
O
N
M
x
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“反比例函数的图象与性质”教学设计
课题：华师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（下）
第17章 17.4反比例函数的图象与性质(第二课时)
教学目标：
1．知识与能力目标：
（1）能画出反比例函数的图象，了解其特征。
（2）根据反比例函数的图象和解析表达式探索并理解反比例函数的性质：当k>0或k<0时，图象的变化情况。
2．过程与方法目标：
经过阅读钻研教材，绘画观察反比例函数图象，了解反比例函数的特征，再通过对k的取值不同的反比例函数图象的观察、比较与分析，获得反比例函数图象的性质。
3．情感与态度目标：
再次领会函数图象是研究函数的重要直观工具，数形结合是学习和研究函数的不可少的重要数学思想方法，认识正比例函数与反比例函数的区别。
教学重点：反比例函数图象的特征与性质。
教学难点：对反比例函数图象性质的理解与应用。
教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴、y轴无交点。（2）反比例函数的图象只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）。
解决办法：（1）y=k/x中隐含条件是k≠0=>x≠0或y≠0；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
教学方法：探究法。
教学过程：
一、复习回顾，引出问题：
1．一次函数、正比例函数的图象，确定一次函数图象的条件。
2．什么是中心对称。
3．反比例函数的解析表达式，它的图象是怎样的呢？
二、合作探究，发现新知：
请同学们独立阅读、研究教材，在纸上画一画函数y=6/x的图象。
（绝大多数学生开始阅读课本，尝试画图，教师巡视）
提问：1.画函数图象的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表。
2．在选值时，你认为要注意什么问题？
答：（1）由于这个函数的图象的特点还不清楚，应多选几个点较好；
（2）不能选x=0,因为x=0时函数无意义；
（3）选取整数可以较好计算和描点。
这个问题中最核心的一点是关于x≠0的问题，提醒学生注意。
现在你能不能完成y=6/x的图象了呢？
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时暂停，让学生先连完线之后找同学上黑板连线，然后就这位学生的连线加以讨论、评价并总结：
注意：（1）一般地，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象有两条曲线组成，叫做双曲线。
（2）这两条曲线不相交。
（3）这两条曲线无限延伸，无限地逼近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交。
关于注意（3）问学生：为什么图象与x轴和y轴不相交？
在这个问题环节中，引导学生可以通过代数的方法分析反比例函数的解析式，由分母不能为零，得x不能为零；由k≠0，得y必不为零，从而验证了反比例函数的图象。当两个分支无限延伸时，可以无限地逼近x轴、y轴，但永远不会与两轴相交。随即强调画图时要注意准确性。
通过这个问题既可以加深学生对反比例函数图象的记忆，又可培养学生思维的灵活性与深刻性。
教师安排学生练习画反比例函数y=-6/x的图象。
三、观察图象，得出性质：
师：请同学们观察函数的图象，你发现了什么？
生：当k>0时，反比例函数图象在第一、三象限；当k<0时，反比例函数图象在第二、四象限。
师：你是怎样发现的？
生1：通过图象观察可以得到。
生2：我是从解析式中得到的，当k<0时，x、y同号；所以在第一象限；当k<0时，x、y异号，所以在第三象限。
师：谁还可以说说反比例函数的增减性呢？
生：当k<0时，y随x的增大而减小；当k<0时，y随x的增大而增大。
师：这位同学的说法正确吗？
生：对（大部分学生表示赞同）。
师：真的对吗（教师给学生留一点时间思考）？
有学生开始举反例：不对，对于反比例函数y=6/x，当x=-2时，y=-3；当x=2时，y=3，y就不随x的增大而减小。
师：这个反例讲得很好，看来在整个坐标系中，y就不一定随x的增大而减小（当k>0时）。那么怎样讲才是正确的呢？
教师总结：由于反比例函数的图象是断开的，所以在归纳它的图象的增减性时，我们要与一次函数的增减性要有区别，因为一次函数的图象是直线，它是连续的。
板书：对于反比例函数y=k/x（k≠0）：
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限；在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。
师：继续观察图象，还有其它性质吗？
学生讨论后发现，双曲线是关于原点O成中心对称的，原点O是 它的对称中心。
四、应用拓展，鼓励创新：
师：反比例函数y=k/x与正比例函数y=kx的解析式中都含有k，且k≠0，而k决定了它们图象在平面直角坐标系中的位置，观察以下两个图，图中的A点与B点有什么关系？
学生思考、讨论、合作探究，发现：A点与B点是关于原点O成中心对称的，若A点坐标是（a,b）,则B点坐标是（-a,-b）。
通过这个问题使学生把学过的相关知识有机地联系起来，便于记忆和应用。
五、整理反思，促进提高：
1．这节课我们学习了哪些内容，你能总结一下吗？
2．通过这节课学习，我们有哪些收获？
六、课后思考探究：
反比例函数y=k/x（k>0）在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，
则矩形PMON的面积是多少？这样构成的矩形
与k的值有何关系？若k<0呢？
案例研究：
一、设计理念：
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。教学中教师既要把握好教学的导向作用，又要发现学生思维的闪光点，及时调整自己的教学方案，活跃课堂气氛，使学生产生学习情趣。
新课标下的教学设计，既要为学生的今天服务，又要为学生明天的发展奠基，改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及合作交流的能力。我们要准确把握数学新课程的本质与内涵，坚持“以学生发展为本”的教学设计基本理念，把学生的起点作为教师的起点，把传授书本知识服务于学生有个性、可持续、全面和谐的发展。
二、设计概要：
为了让学生充分理解反比例函数图象的特征与性质，初步形成数形结合的数学思想，再次领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题有特殊作用。教学中通过学生自己主动探索、同学之间的讨论交流，体验知识的形成过程，体会观察、分析、归纳解决问题的技能与方法。在教学中，教师应重视引导师生间、学生间的多边探索活动，进行有条理地交流，让学生清晰地阐述自己的想法，同时运用不同的手段和方式评价学生，使学生感受探索带来的喜悦。
三、教学反思：
在本课的教学中，教师要运用一切有效的手段，启发学生的学习兴趣，给学生较多的独立思考和自我发展的机会，以促进学生生动、活泼、主动地学习和探索。
1．先学后教：学生是课堂的主人，是学习的主人，教师在课堂教学中，只有不断确定学生的主体地位，唤起学生的主体意识，发挥学生的主动精神，才能取得良好的教学效果，教师的教才能替代学生的学，把学习的主动权交给学生。作为教师要做教学的热心人，尽力捕捉时机，引导学生将阅读提升为研读、探究。
2．精讲诱导：为了保证学生有充足的自学时间、探讨时间，教师要研究“讲”的策略，教师不可以不讲，但多讲，“满堂灌”绝不是好教师，可以画龙点睛地讲、启发性地讲、点拨性地讲、归纳性地讲，留出更多时间，让学生去思考、去探索。本节课中，我的做法是：凡是学生能看懂的，我不教；凡是学生自己能学的，我不教；凡是学生能探索出结论的，我不教；凡是学生自己能做的活儿，我不做。我只在“导”上和“点拨”上下功夫，点拨要精，要切中要害，激发学生的求知欲，让多数学生体验成功的愉悦。
3．质疑启思：在教学中，包含了许多对学生来说是“疑问”的东西，“疑”是学习的需要、是思维的开端、是求知的基础、是探索的起点，有“疑”才有“思”。本课中，反比例函数的增减性要将两个图象分支分别讨论，对学生来说是一个疑点，这也是激发学生探索知识的兴趣与热情地又一个起点，为了让它成为学生进行自主探索学习的动力，教师应努力营造轻松愉快的教学环境，让学生做到敢思、敢问、敢讨论，从而培养学生具有独特见解、敢想敢说的创造性思维，使学生在不断思索中前进。
4．引导探究：探究式的课堂教学的教学效果直接与教师的引导有关，教学中笔者从以下两方面引导学生进行探究，一是引导学生参与知识的形成探究，即反比例函数的图象的形状、特征及性质；二是引导学生参与知识的建构性探究，即反比例函数图象与正比例函数图象联系起来可以得到什么结论。学生探究之后交流其成果，先是组内交流，达成共识，进而再在全班交流。
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