一元二次方程
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第22章 一元二次方程
一、知识扫描
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。
2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，成立，故x=1叫
的解。
4.一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程的解为，这种解一元二次方程的方法叫
直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如，可化成，所以
（2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解时，两边不能约去x-1,解得，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或
（3）配方法：我们先解方程，在方程两边同除以2得，移项得，方程左边配方得，即，利用直接开平方法得。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以为依据。其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1
②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；
⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当时，方程的解为，当<0时，一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a、b、c的值。叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系： 当时，方程有两个不相等的实数根 ，当时，方程有两个相等的实数根 ，当时，方程没有实数根。
5．关于一元二次方程的应用
列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。
①审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子
②设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来
③列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程
④解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意
⑤答：写出答案。
7.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
如果的两个根是 则 ．
二、命题走向
根与系数的关系及根的判别式是中考重点考察的内容，题型主要有（1）不解方程判断根的情况，（2）不解方程，而是利用根与系数的关系求表达式的值或列一元二次方程，特别要记住下列关系式：，，（3）解特殊的方程，（4）利用根与稀疏的关系确定字母的值或取值范围，（5）根与系数的关系及根的判别式的综合题。
三、典型例题讲解
例1、 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值
分析：已知方程是关于x的一元二次方程，故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。由此可知该一元二次方程的二次项为，
解：由已知得，解得=-1
点评：方程是不是一元二次方程，关键要看它能不能化成.其中方程左边是一
个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。
例2、关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值关于x的方程
分析：要求a的值，需列关于a的方程，
由已知0是关于x的一元二次方程的根，由根的概念，0满足方程，即a2-1=0,这就是关于a的方程
解：由已知得a2-1=0，，解得a=1或a=-1，又因为方程式关于x的一元二次方程，故a-1≠0，既a≠1
所以a=-1。
点评：注意只有当时，方程才有二次项，才能叫一元二次方程。
例2、 求一元二次方程（1-2x）(x+4)=2x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项的和。
分析：要求系数，需把方程整理成的形式.其中 a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
解:去括号得，移项、合并同类项得，所以所求值为4+7-1=10
点评：写一元二次方程各项得系数时要连同前面的符号，如的一次项系数为-1，当一元二次方程的一般形式有缺项时，他们的系数是零。如的常数项为0
例3、 解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
分析：要使用直接开平方法解方程，方程应易化为的形式，如（1）；要使用因式分解法解方程，一元二次方程需化为一般形式，且易于因式分解，如（2）；而配方法解方程的关键是要把方程化为二次项系数为1的一般形式，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方，如（3）。公式法可解任何的一元二次方程，公式法解一元二次方程的关键是化为一般形式后，准确确定a、b、c及运运公式，如（3）、（4）。
解:（1）移项得，两边直接开平方得，即x=15或
（2）方程左边分解因式得（x+3）(x-4)=0,所以x+3=0或x-4=0,即x=-3或x=4.
(3)两边同除以2得，移项得，两边同加减-2一半的平方1得，即，两边直接开平方得。
（4）移项得，因为，所以，因此一元二次方程无解。
点评：解一元二次方程时，要根据实际情况，灵活选用解方程的方法。若方程应易化为的形式，则利用直接开平方法比较方便。对一元二次方程的一般形式而言，若易于因式分解，，则利用因式分解法;若易于配成完全平方式，则利用因式分解法；否则就用求根公式。
例4、 用配方法说明，不论x取何值，代数式的值总不小于8，并求出x取何值时这个代数式的值最小
分析：配方法即配成完全平方式，配方法分三步进行：（1）当二次项系数不为一时，首先要化为一，（2）加上一次项系数一半的平方（即完全平方式的第三项）；（3）写成完全平方式
解 因为
:，所以不论x取何值，代数式的值总不小于8，并且时，代数式的值最小
点评：配方法是一种非常重要的数学思想之一，它的本质是给配上常数项，写成完全平方式，
主要分两步（1）当二次项系数不为一时，首先要化为一，（2）加上一次项系数一半的平方。
例5、已知
分析：若把方程看成关于x的一元二次方程，y看作常数，解该一元二次方程，就可以求出x.
解：因为，左边分解因式得，即2x-y=0或x+2y=0,因此，当时，=。当时=-3;
点评：
把方程看成关于x的一元二次方程，y看作常数，通过解方程求出了x,本题中，方程也可以看成关于y的一元二次方程，还可以看成关于x、y的二次三项式等于零。
例6、 关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围。
分析：当m－1≠0时，该方程为关于x一元二次方程,要使一元二次方程有实数根，需;当m-1=时，该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程，有实数根
解：当m－1≠0时, 该方程为关于x一元二次方程
∵原方程有实数根
∴即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44即，当m-1=时，该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程，有实数根
点评：要使一元二次方程有实数根，只需，但千万别忘了一元二次方程二次项系数不能为零这个隐含条件。另外关于x的方程与关于x的一元二次方程是不同的，前者并未说明a是否为零，后者强调。
例7、 商店里某件商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了，问平均每月降价百分之几？
分析：要求平均每月降价的百分数x，需列关于x的方程,列方程的条件是:连续降价两次后的商品价格比两个月前下降了,即两个月后的价格等于两个月前的价格乘以（），若把原价看作a,第一个月后的价格为，第二个月后的价格为
解：设平均每月降价的百分数为x，原价为a,则
，因为，所以，两边直接开平方得x=0.1或x=1.9
由于降价的百分率不可能大于1，应舍去，所以x=0.1=
答：平均每月降价的百分数为
点评：当题目中没有原始量时，一般可设原始量为a或1，由于a不等于零，可约去，所以称辅助设元。例8、、如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央，修筑同样宽
的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田块，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，道路的宽应为多少？
分析：要求宽，需列关于宽的方程，为此需要在题目中寻找反映等量关系的句子。如本题中的两条互相垂直的道路把矩形田地分成四个相同面积的小田块，即分割前与分割后矩形的面积保持不变。为了把等量关系用方程表示，需把各个量表示出来，设要求量道路的宽为x，则道路面积分别为20x和3x，由于两条道路交叉处的面积为x2，因此道路所占的面积为20x＋32x－x2。
解：设道路的宽为x，则道路所占的面积为20x＋32x－x2
根据题意得：135×4＝20×32-（20x＋32x－x2）
整理得：x2－52x＋100＝0 解得：x＝2或x＝50
∵ x＝50不符合题意舍去 ∴ 只能取x＝2
答：道路的宽应为2m。
点评：在解应用题时，要根据实际问题，看结果是否符合实际问题，要把使实际问题无意义的解要舍去，
例9、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
分析 设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x) (40－2x) ＝800.
请同学们自己解一下这个方程，并讨论它的解是否符合题意.
点评：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，一定要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.
例10、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－2（a＋1）x＋1＝0的两实数根互为倒数，求a的值。
分析：要求a的值，就要列关于a的方程。由已知两实数根互为倒数，即。因此可见解决问题的关键是如何将方程化为关于a的方程，一种方法是解关于x的方程；另一种方法是利用根与系数的关系，即，显而易见，后者比较简单。（a2－1）x2－2（a＋1）x＋1＝0
解：设方程的两根为 ，由韦达定理得：=1，即
由于一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，即
因为，应舍去。
再因为方程为一元二次方程，故，满足条件。
所以
点评：在利用根与系数的关系解决有关求参数值的问题时，一定要注意：方程必须是一元二次方程（即二次项系数不为零），方程有两个根（即），大多数学生在解此题时，易忽视这两个条件对参数的限制而造成错误。
例11、已知：关于x的方程
（1） 求证：次方程总有实数根
（2） 当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时，求k的值。
分析：要证明方程总有实数根,当；当k-2=0时，方程变成-2x+3=0,显然有实数根。（2）要求k的值，需列关于k的方程。因此只要将题目中的等量关系利用化为关于k的方程，在解方城就可以了。
解：（1）因为当k-2=0时，方程变成-2x+3=0,显然有实数根；当
因为，因为，所以
综上，关于x的方程 总有实数根。
（2）设，是方程的两个实数根， 则 ，．
因为，所以，整理得
解得
点评：方程是不是一元二次方程，一要看方程的形式，二要看题目中是否有方程有两个实数根暗示，如果说方程有两个实数根，则该方程一定是一元二次方程。另外，注意利用根与系数的关系表示下面的式子。，
22．1-2一元二次方程及其解法
一、选择题：
1.若关于x的方程（－1）x＝1是一元二次方程，则的值是（ B ）
A、0 B、－1 C、 ±1 D、1
2.下列方程: ①x2=0, ② -2=0,
③2+3x=(1+2x)(2+x), ④3-=0,
⑤-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )
A.1个 B2个 C.3个 D.4个
3.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )
A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0
4. 把关于x的方程化成ax2+bx+c=0形式,则、、的值分别是
A B C D .
5.方程x2=6x的根是( )
A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=0
6.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A. ; B.;
C. ; D.以上都不对
7.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )
A.11 B.15 C.-15 D.±15
8.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0;
C. D.(x+2)(x-3)==-5
9.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
10．关于的2、一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
（A）1 （B） （C）1或 （D）0.5
二、填空题：
11. 如图，用一块长80㎝，宽60㎝的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为xcm那么长方体盒子底面的长为 ，底面的宽为 ，为了求出x的值，可列出方程
12．关于x的方程(a2 – 4)x2+(a+2)x=8, 当a 时，是一元二次方程，当a 时，是一元一次方程。
13.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.
14.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.
15.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.
16.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.
17.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.
18.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.
三、解答题
19.试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；
20.已知方程的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
21.用适当的方法解下列一元二次方程.
(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)
22.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗
四、列方程解应用题
23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
24.某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米． ( 1 )求骑车与步行的速度各是多少？ (2)如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快多少？
（B卷）
1．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
2.已知是方程的一个根，求的值和方程其余的根。
3.你能用所学知识解下面的方程吗 试一试：2x2+5│x│-12=0
4.已知一直角三角形的三边为a,b,c,∠B=90°,请你判断关于x的方程
a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.
5.已知关于的方程有实数根，求的取值范围。
6.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少；
7.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。
8.要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？
9.如图所示：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池。由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16m。如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造为每平方米80元。（池墙的厚度忽略不计）
⑴当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x。
⑵如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水池是否合算？请举例说明。
10.如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法 (2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少
A答案
1、 BAAAB, CDBDB
二、11. （80 – 2x）㎝ , （60 – 2x）㎝ ,（80 – 2x）(60 – 2x) =1500
12. a≠±2，a=2 13.因式分解法 14．1或 15．2 16．
17． 18．30%
三、19.;20．K=4,x=-6;21.（1）3，；（2）；（3）1，2a-1 22.m=-6,n=8
四、23．20% 24解：（1）设步行的速度为x千米/时.
根据题意得． 解得 ，．
经检验 ，都是原方程的解， 但不合题意，舍去．
当x＝4时，2x＋2＝10．
答：队伍步行的速度是每小时4千米，张锦骑车的速度是每小时10千米．
B答案
一、1.6或10或12 ;2.k=-3,x=2或x=3;3．; 4．提示：
5.；6.15和5；7.;8.1;9.14
10．（1）垂直于墙的竹篱笆长10米，平行于墙的竹篱笆长15米
（2）垂直于墙的竹篱笆长9.25米，平行于墙的竹篱笆长18米,最大面积166.5米2
实践与探索测试卷
一、选择题
1.已知方程x2+2x-1=0的两根分别是x1,x2,则= ( )
A.2 B.-2 C.-6 D.6
2.若一元二次方程（ ）
A.3 B.6 C.18 D.24
3. 某化肥厂生产的化肥经过两年增长了21%，则每年比上一年平均增长的百分数是（ ）
A、12% B、10% C、9% D、7.9%
4. 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为………………………………………（ ）
A：(1+x)2=2 B：(1+x)2=4
C：1+2x=2 D：(1+x)+2(1+x)=4
5. 方程的一个根是，那么另一个根是（ ）
A、+4 B、-4 C、4- D、-4-
6.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11 B.17 C.17或19 D.19
7．已知实数满足 ,那么的值为 （ ）
A、1或-2 B、-1或2 C、1 D、-2
8.已知一元二次方程2x2－3x－6=0有两个实数根x1、x2，直线l经点A（x1＋x2，0）、B（0，x1·x2），则直线l的解析式为
A、y= 2x－3 B、y= 2x＋3
C、y= －2x－3 D、y= －2x＋3
9．已知方程x2-3x+1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一无二次方程是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．x2+3x-1=0
C．x2-3x+1=0 D．x2-3x-1=0
10.有实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A．当时方程两根互为相反数
B．当k＝0时方程的根是x＝－1
C．当k＝±1时方程两根互为倒数
D．当时方程有实数根
二、填空题
11.若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.
12.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.
13. 10、以1，-3为根的一元二次方程是_________。
14.已知方程的一根为，则另一根为________，k=________。
15.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.
16.关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.
17.在Rt△ABC中,斜边AB=5,BC、AC是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m等于_________.
18．已知、是关于的方程的两个实数根，且＋＝，则＝ ；
19．请写出一个根为，另一根满足的一元二次方程
三、解答题(每题7分,共28分)
20.已知x1=q+p,x2=q-p是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p、q 的值.
21.已知: , 求以 的值为根的一元二次方程.
22.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
23.已知x 和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式 ,试求m的取值范围.
四、列方程解应用题(每题9分,共18分)
19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.
20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升
答案
1、 1.A;2.A;3.B;4.B;5.C;6.D;7.A;8.A;9.C;10.D
二、11．2；-1，-2;12．10%;13．;14．;15.1;16．;17．4;
18.0.5;19
三、
20．;21．x2+2x-=0;
22.(1)Δ=2k2+8>0, ∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)
23.
24 提示：,
.长6米，宽4米
四、18．K=3;19. 宽6米;20.10升
第22章 一元二次方程全章检测卷
一、选择题：(每小题2分,共20分)
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
2.用配方法将二次三项式变形的结果是( )
A. B.
C. D.
3.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )
A.-1或2 B.1或
C.- 或1 D.-2或1
4.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A.k>- B.k≥- 且k≠0
C.k≥- D.k> 且k≠0
5. 方程的解是
A、 －2，2 B、 0，－2
C、 0，2 D、 0，－2，2
6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k<0 C.-17.若方程的左边是一个完全平方式，，则m的值是（ ）
A.-6或-2 B.-2 C.6或-2 D.2或-6
8.使分式的值为0,则x的取值为( ).
A.-3 B.1 C.-1 D.-3或1
9. 关于x的方程的根为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是
（A）11 （B）13 （C）11或13 （D）11和1312．
11.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ Ｄ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12.方程3x2-4x+k+1＝0无实根，化简得( A )
A.3k- B.-3k C.k D.-3k
二、填空题:(每小题3分,共30分)
13．一元二次方程的两根之和为，则两根之积为_________；
14.已知3-是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .
15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .
16.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .
17.若方程2x2-8x+7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是___________.
18.某食品连续两次涨价10%后价格是a元,那么原价是_______ ___.
17.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
18.如果关于x的方程x2-2(1-k)+k2=0有实数根α,β,那么α+β的取值范围是_______.
20．已知关于的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，Z则m的值 。
21．如果那么的值为___________________；
22．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是
三、计算题: 1、 2、
3、 4、
四、解答题:
1．如果方程与方程都有一个根是x=3，试求a、b的值及各自的另一根。
2.设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x 12+x22=11.
(1)求k的值;(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方.
3.设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为0.
(1)求证:△ABC为等边三角形;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根,求m的值.
4．已知△ABC的三边a，b，c，其中a，b是关于x的方程的两个根。
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若,求△ABC的三边长。
5.已知关于x的二次方程的两个不相等的实数根的倒数和为S，
（1）求S与m的函数关系式；
（2）求S的取值范围。
6.如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2米，修好后又被风吹折，因新折断处比前一次低0.5米，故杆顶E着地处比前次远1米，求原标杆的高。
五、应用题（每题4分，共20分）
1、有三个连续偶数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个偶数。
2、某商店进一批运动服用了10000元，每套按100元卖出，假如全部卖出，这批运动服所得的款与买进这批运动服所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的款，求这批运动服有多少套？
3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少
全章检测卷答案
一、
1.B ;2.A;3.B ;4.B 5.D ;6.D. 点拨:方程有两个实数根,所以△≥0,即[2(k+2)]2-4k2≥0,解得k≥-1, 两实数根之和大于-4,即-2(k+2)>-4,k<0,
∴-1≤k<0.本题易忽略有两实根, 需满足△≥0这个重要条件.7.c
8.A 9. D;10.B;11.D;12.A
二、13．-3；14.m=-6,另一根为3+. 点拨:根据一元二次方程根与系数的关系, 设方程另一个根为x1 ,则(3-)x1=7,x1=3+,(3+)+(3-)=-m,则m=-6；15.a=1,b=-2. 点拨:-1是两方程的根,则3a+b-1=0,a-2b-5=0,解得a=1,b=-2；16.a+b+c=0,b=a+c,c=0；17.3 点拨:设两根为x1,x2,根据根与系数的关系x1+x2=4, x1·x2=，由勾股定理斜边长的平方=(x1+x2)2-2x1x2=16-2×=9,∴斜边长为3；
18.元 点拨:设原价x元,则x(1+10%)2=a,解得x=；19.x2+7x+12=0或x2-7x+12=0 点拨:设两数为a,b,则ab=12,a2+b2=25,∴( a+b)2-2ab=25,(a+b)2=49,(a+b)=±7,所以以a,b为根的方程为x2+7x+12= 0 或x2-7x+12=0；20.a+β≥1 点拨:方程有实根,则△≥0,则k≤, 即-k≥-,1-k≥1- ,2(1-k)≥1,∵a+β=2(1-k),∴a+β≥1；21.7或-3;22. _;23. 24或
三、1、 2、 3、
4、
四、1.a=1,b=1,另一个根分别是-2，-5 2.k=-3,y2-20y-21=0
解:(1)由题意得x1+x2=k+2, x1·x2=2k+1, x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2=k2+2,又x12+x22=11,
∴k2+2=11,k=±3,
当k=3时,△=-3<0, 原方程无实数解;当k=-3时,△=21>0,原方程有实数解,故k=-3.
(2)当k=-3时, 原方程为x2+x-5=0,设所求方程为y2+py+q=0,两根为y1,y2,
则y1=x1+x2=-1,y2=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=11+10=21,
∴y1+y2=20,y1y2=-21,故所求方程是y2-20y-21=0.
点拨:要求k的值,须利用根与系数的关系及条件x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2,构造关于k的方程,同时,要注意所求出的k值,应使方程有两个实数根,即先求后检.
(2)构造方程时,要利用p=-(y1+y2),q=y1y2,则以y1,y2为根的一元二次方程为y2+py+q=0.
3.(1)证明:方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实根,
∴△=0,即△=(2)2-4×(2c-a)=0,
解得a+b=2c,方程3cx+2b=2a的根为0,则2b=2a,a=b,
∴2a=2c,a=c,
∴a=b=c,故△ABC为等边三角形.
(2)解:∵a、b相等,∴x2+mx-3m=0有两个相等的实根,
∴△=0,∴△=m2+4×1×3m=0,
即m1=0,m2=-12.
∵a、b为正数,
∴m1=0(舍),故m=-12；4．（1）直角三角形；（2）a=9，b=12，c=15 5．(1)S=2m-6；(2)S<-3且S≠-6 ；6．设BC=x米，AB=y米，则①②由②-①，得x+y=5（米），即原标杆高5米。
五、应用题
1. 1、6，8，10或-2，0，2
2．设买进x套，则（舍去），故有110套。
3．解:根据题意得70(100-10x).x%=168,x2-10x+24=0,解得 x1=6, x2=4,
当x2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x1=6时,100-10×6=40<50,
∴税率应确定为6%.
点拨:这是有关现实生活知识应用题,是近几年中考题的重要类型, 要切实理解,掌握.
B
A
D
C
x
隔墙
隔墙
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第22章 一元二次方程
一、知识扫描
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。
2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，成立，故x=1叫
的解。
4.一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程的解为，这种解一元二次方程的方法叫
直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如，可化成，所以
（2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解时，两边不能约去x-1,解得，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或
（3）配方法：我们先解方程，在方程两边同除以2得，移项得，方程左边配方得，即，利用直接开平方法得。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以为依据。其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1
②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；
⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当时，方程的解为，当<0时，一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a、b、c的值。叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系： 当时，方程有两个不相等的实数根 ，当时，方程有两个相等的实数根 ，当时，方程没有实数根。
5．关于一元二次方程的应用
列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。
①审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子
②设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来
③列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程
④解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意
⑤答：写出答案。
7.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
如果的两个根是 则 ．
二、命题走向
根与系数的关系及根的判别式是中考重点考察的内容，题型主要有（1）不解方程判断根的情况，（2）不解方程，而是利用根与系数的关系求表达式的值或列一元二次方程，特别要记住下列关系式：，，（3）解特殊的方程，（4）利用根与稀疏的关系确定字母的值或取值范围，（5）根与系数的关系及根的判别式的综合题。
三、典型例题讲解
例1、 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值
分析：已知方程是关于x的一元二次方程，故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。由此可知该一元二次方程的二次项为，
解：由已知得，解得=-1
点评：方程是不是一元二次方程，关键要看它能不能化成.其中方程左边是一
个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。
例2、关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值关于x的方程
分析：要求a的值，需列关于a的方程，
由已知0是关于x的一元二次方程的根，由根的概念，0满足方程，即a2-1=0,这就是关于a的方程
解：由已知得a2-1=0，，解得a=1或a=-1，又因为方程式关于x的一元二次方程，故a-1≠0，既a≠1
所以a=-1。
点评：注意只有当时，方程才有二次项，才能叫一元二次方程。
例2、 求一元二次方程（1-2x）(x+4)=2x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项的和。
分析：要求系数，需把方程整理成的形式.其中 a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
解:去括号得，移项、合并同类项得，所以所求值为4+7-1=10
点评：写一元二次方程各项得系数时要连同前面的符号，如的一次项系数为-1，当一元二次方程的一般形式有缺项时，他们的系数是零。如的常数项为0
例3、 解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
分析：要使用直接开平方法解方程，方程应易化为的形式，如（1）；要使用因式分解法解方程，一元二次方程需化为一般形式，且易于因式分解，如（2）；而配方法解方程的关键是要把方程化为二次项系数为1的一般形式，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方，如（3）。公式法可解任何的一元二次方程，公式法解一元二次方程的关键是化为一般形式后，准确确定a、b、c及运运公式，如（3）、（4）。
解:（1）移项得，两边直接开平方得，即x=15或
（2）方程左边分解因式得（x+3）(x-4)=0,所以x+3=0或x-4=0,即x=-3或x=4.
(3)两边同除以2得，移项得，两边同加减-2一半的平方1得，即，两边直接开平方得。
（4）移项得，因为，所以，因此一元二次方程无解。
点评：解一元二次方程时，要根据实际情况，灵活选用解方程的方法。若方程应易化为的形式，则利用直接开平方法比较方便。对一元二次方程的一般形式而言，若易于因式分解，，则利用因式分解法;若易于配成完全平方式，则利用因式分解法；否则就用求根公式。
例4、 用配方法说明，不论x取何值，代数式的值总不小于8，并求出x取何值时这个代数式的值最小
分析：配方法即配成完全平方式，配方法分三步进行：（1）当二次项系数不为一时，首先要化为一，（2）加上一次项系数一半的平方（即完全平方式的第三项）；（3）写成完全平方式
解 因为
:，所以不论x取何值，代数式的值总不小于8，并且时，代数式的值最小
点评：配方法是一种非常重要的数学思想之一，它的本质是给配上常数项，写成完全平方式，
主要分两步（1）当二次项系数不为一时，首先要化为一，（2）加上一次项系数一半的平方。
例5、已知
分析：若把方程看成关于x的一元二次方程，y看作常数，解该一元二次方程，就可以求出x.
解：因为，左边分解因式得，即2x-y=0或x+2y=0,因此，当时，=。当时=-3;
点评：
把方程看成关于x的一元二次方程，y看作常数，通过解方程求出了x,本题中，方程也可以看成关于y的一元二次方程，还可以看成关于x、y的二次三项式等于零。
例6、 关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围。
分析：当m－1≠0时，该方程为关于x一元二次方程,要使一元二次方程有实数根，需;当m-1=时，该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程，有实数根
解：当m－1≠0时, 该方程为关于x一元二次方程
∵原方程有实数根
∴即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44即，当m-1=时，该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程，有实数根
点评：要使一元二次方程有实数根，只需，但千万别忘了一元二次方程二次项系数不能为零这个隐含条件。另外关于x的方程与关于x的一元二次方程是不同的，前者并未说明a是否为零，后者强调。
例7、 商店里某件商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了，问平均每月降价百分之几？
分析：要求平均每月降价的百分数x，需列关于x的方程,列方程的条件是:连续降价两次后的商品价格比两个月前下降了,即两个月后的价格等于两个月前的价格乘以（），若把原价看作a,第一个月后的价格为，第二个月后的价格为
解：设平均每月降价的百分数为x，原价为a,则
，因为，所以，两边直接开平方得x=0.1或x=1.9
由于降价的百分率不可能大于1，应舍去，所以x=0.1=
答：平均每月降价的百分数为
点评：当题目中没有原始量时，一般可设原始量为a或1，由于a不等于零，可约去，所以称辅助设元。例8、、如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央，修筑同样宽
的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田块，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，道路的宽应为多少？
分析：要求宽，需列关于宽的方程，为此需要在题目中寻找反映等量关系的句子。如本题中的两条互相垂直的道路把矩形田地分成四个相同面积的小田块，即分割前与分割后矩形的面积保持不变。为了把等量关系用方程表示，需把各个量表示出来，设要求量道路的宽为x，则道路面积分别为20x和3x，由于两条道路交叉处的面积为x2，因此道路所占的面积为20x＋32x－x2。
解：设道路的宽为x，则道路所占的面积为20x＋32x－x2
根据题意得：135×4＝20×32-（20x＋32x－x2）
整理得：x2－52x＋100＝0 解得：x＝2或x＝50
∵ x＝50不符合题意舍去 ∴ 只能取x＝2
答：道路的宽应为2m。
点评：在解应用题时，要根据实际问题，看结果是否符合实际问题，要把使实际问题无意义的解要舍去，
例9、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
分析 设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x) (40－2x) ＝800.
请同学们自己解一下这个方程，并讨论它的解是否符合题意.
点评：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，一定要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.
例10、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－2（a＋1）x＋1＝0的两实数根互为倒数，求a的值。
分析：要求a的值，就要列关于a的方程。由已知两实数根互为倒数，即。因此可见解决问题的关键是如何将方程化为关于a的方程，一种方法是解关于x的方程；另一种方法是利用根与系数的关系，即，显而易见，后者比较简单。（a2－1）x2－2（a＋1）x＋1＝0
解：设方程的两根为 ，由韦达定理得：=1，即
由于一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，即
因为，应舍去。
再因为方程为一元二次方程，故，满足条件。
所以
点评：在利用根与系数的关系解决有关求参数值的问题时，一定要注意：方程必须是一元二次方程（即二次项系数不为零），方程有两个根（即），大多数学生在解此题时，易忽视这两个条件对参数的限制而造成错误。
例11、已知：关于x的方程
（1） 求证：次方程总有实数根
（2） 当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时，求k的值。
分析：要证明方程总有实数根,当；当k-2=0时，方程变成-2x+3=0,显然有实数根。（2）要求k的值，需列关于k的方程。因此只要将题目中的等量关系利用化为关于k的方程，在解方城就可以了。
解：（1）因为当k-2=0时，方程变成-2x+3=0,显然有实数根；当
因为，因为，所以
综上，关于x的方程 总有实数根。
（2）设，是方程的两个实数根， 则 ，．
因为，所以，整理得
解得
点评：方程是不是一元二次方程，一要看方程的形式，二要看题目中是否有方程有两个实数根暗示，如果说方程有两个实数根，则该方程一定是一元二次方程。另外，注意利用根与系数的关系表示下面的式子。，
22．1-2一元二次方程及其解法
一、选择题：
1.若关于x的方程（－1）x＝1是一元二次方程，则的值是（ B ）
A、0 B、－1 C、 ±1 D、1
2.下列方程: ①x2=0, ② -2=0,
③2+3x=(1+2x)(2+x), ④3-=0,
⑤-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )
A.1个 B2个 C.3个 D.4个
3.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )
A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0
4. 把关于x的方程化成ax2+bx+c=0形式,则、、的值分别是
A B C D .
5.方程x2=6x的根是( )
A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=0
6.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A. ; B.;
C. ; D.以上都不对
7.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )
A.11 B.15 C.-15 D.±15
8.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0;
C. D.(x+2)(x-3)==-5
9.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
10．关于的2、一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
（A）1 （B） （C）1或 （D）0.5
二、填空题：
11. 如图，用一块长80㎝，宽60㎝的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为xcm那么长方体盒子底面的长为 ，底面的宽为 ，为了求出x的值，可列出方程
12．关于x的方程(a2 – 4)x2+(a+2)x=8, 当a 时，是一元二次方程，当a 时，是一元一次方程。
13.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.
14.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.
15.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.
16.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.
17.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.
18.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.
三、解答题
19.试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；
20.已知方程的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
21.用适当的方法解下列一元二次方程.
(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)
22.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗
四、列方程解应用题
23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
24.某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米． ( 1 )求骑车与步行的速度各是多少？ (2)如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快多少？
（B卷）
1．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
2.已知是方程的一个根，求的值和方程其余的根。
3.你能用所学知识解下面的方程吗 试一试：2x2+5│x│-12=0
4.已知一直角三角形的三边为a,b,c,∠B=90°,请你判断关于x的方程
a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.
5.已知关于的方程有实数根，求的取值范围。
6.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少；
7.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。
8.要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？
9.如图所示：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池。由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16m。如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造为每平方米80元。（池墙的厚度忽略不计）
⑴当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x。
⑵如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水池是否合算？请举例说明。
10.如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法 (2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少
A答案
1、 BAAAB, CDBDB
二、11. （80 – 2x）㎝ , （60 – 2x）㎝ ,（80 – 2x）(60 – 2x) =1500
12. a≠±2，a=2 13.因式分解法 14．1或 15．2 16．
17． 18．30%
三、19.;20．K=4,x=-6;21.（1）3，；（2）；（3）1，2a-1 22.m=-6,n=8
四、23．20% 24解：（1）设步行的速度为x千米/时.
根据题意得． 解得 ，．
经检验 ，都是原方程的解， 但不合题意，舍去．
当x＝4时，2x＋2＝10．
答：队伍步行的速度是每小时4千米，张锦骑车的速度是每小时10千米．
B答案
一、1.6或10或12 ;2.k=-3,x=2或x=3;3．; 4．提示：
5.；6.15和5；7.;8.1;9.14
10．（1）垂直于墙的竹篱笆长10米，平行于墙的竹篱笆长15米
（2）垂直于墙的竹篱笆长9.25米，平行于墙的竹篱笆长18米,最大面积166.5米2
实践与探索测试卷
一、选择题
1.已知方程x2+2x-1=0的两根分别是x1,x2,则= ( )
A.2 B.-2 C.-6 D.6
2.若一元二次方程（ ）
A.3 B.6 C.18 D.24
3. 某化肥厂生产的化肥经过两年增长了21%，则每年比上一年平均增长的百分数是（ ）
A、12% B、10% C、9% D、7.9%
4. 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为………………………………………（ ）
A：(1+x)2=2 B：(1+x)2=4
C：1+2x=2 D：(1+x)+2(1+x)=4
5. 方程的一个根是，那么另一个根是（ ）
A、+4 B、-4 C、4- D、-4-
6.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11 B.17 C.17或19 D.19
7．已知实数满足 ,那么的值为 （ ）
A、1或-2 B、-1或2 C、1 D、-2
8.已知一元二次方程2x2－3x－6=0有两个实数根x1、x2，直线l经点A（x1＋x2，0）、B（0，x1·x2），则直线l的解析式为
A、y= 2x－3 B、y= 2x＋3
C、y= －2x－3 D、y= －2x＋3
9．已知方程x2-3x+1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一无二次方程是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．x2+3x-1=0
C．x2-3x+1=0 D．x2-3x-1=0
10.有实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A．当时方程两根互为相反数
B．当k＝0时方程的根是x＝－1
C．当k＝±1时方程两根互为倒数
D．当时方程有实数根
二、填空题
11.若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.
12.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.
13. 10、以1，-3为根的一元二次方程是_________。
14.已知方程的一根为，则另一根为________，k=________。
15.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.
16.关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.
17.在Rt△ABC中,斜边AB=5,BC、AC是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m等于_________.
18．已知、是关于的方程的两个实数根，且＋＝，则＝ ；
19．请写出一个根为，另一根满足的一元二次方程
三、解答题(每题7分,共28分)
20.已知x1=q+p,x2=q-p是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p、q 的值.
21.已知: , 求以 的值为根的一元二次方程.
22.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
23.已知x 和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式 ,试求m的取值范围.
四、列方程解应用题(每题9分,共18分)
19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.
20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升
答案
1、 1.A;2.A;3.B;4.B;5.C;6.D;7.A;8.A;9.C;10.D
二、11．2；-1，-2;12．10%;13．;14．;15.1;16．;17．4;
18.0.5;19
三、
20．;21．x2+2x-=0;
22.(1)Δ=2k2+8>0, ∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)
23.
24 提示：,
.长6米，宽4米
四、18．K=3;19. 宽6米;20.10升
第22章 一元二次方程全章检测卷
一、选择题：(每小题2分,共20分)
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
2.用配方法将二次三项式变形的结果是( )
A. B.
C. D.
3.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )
A.-1或2 B.1或
C.- 或1 D.-2或1
4.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A.k>- B.k≥- 且k≠0
C.k≥- D.k> 且k≠0
5. 方程的解是
A、 －2，2 B、 0，－2
C、 0，2 D、 0，－2，2
6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k<0 C.-1
A.-6或-2 B.-2 C.6或-2 D.2或-6
8.使分式的值为0,则x的取值为( ).
A.-3 B.1 C.-1 D.-3或1
9. 关于x的方程的根为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是
（A）11 （B）13 （C）11或13 （D）11和1312．
11.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ Ｄ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12.方程3x2-4x+k+1＝0无实根，化简得( A )
A.3k- B.-3k C.k D.-3k
二、填空题:(每小题3分,共30分)
13．一元二次方程的两根之和为，则两根之积为_________；
14.已知3-是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .
15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .
16.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .
17.若方程2x2-8x+7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是___________.
18.某食品连续两次涨价10%后价格是a元,那么原价是_______ ___.
17.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
18.如果关于x的方程x2-2(1-k)+k2=0有实数根α,β,那么α+β的取值范围是_______.
20．已知关于的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，Z则m的值 。
21．如果那么的值为___________________；
22．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是
三、计算题: 1、 2、
3、 4、
四、解答题:
1．如果方程与方程都有一个根是x=3，试求a、b的值及各自的另一根。
2.设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x 12+x22=11.
(1)求k的值;(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方.
3.设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为0.
(1)求证:△ABC为等边三角形;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根,求m的值.
4．已知△ABC的三边a，b，c，其中a，b是关于x的方程的两个根。
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若,求△ABC的三边长。
5.已知关于x的二次方程的两个不相等的实数根的倒数和为S，
（1）求S与m的函数关系式；
（2）求S的取值范围。
6.如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2米，修好后又被风吹折，因新折断处比前一次低0.5米，故杆顶E着地处比前次远1米，求原标杆的高。
五、应用题（每题4分，共20分）
1、有三个连续偶数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个偶数。
2、某商店进一批运动服用了10000元，每套按100元卖出，假如全部卖出，这批运动服所得的款与买进这批运动服所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的款，求这批运动服有多少套？
3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少
全章检测卷答案
一、
1.B ;2.A;3.B ;4.B 5.D ;6.D. 点拨:方程有两个实数根,所以△≥0,即[2(k+2)]2-4k2≥0,解得k≥-1, 两实数根之和大于-4,即-2(k+2)>-4,k<0,
∴-1≤k<0.本题易忽略有两实根, 需满足△≥0这个重要条件.7.c
8.A 9. D;10.B;11.D;12.A
二、13．-3；14.m=-6,另一根为3+. 点拨:根据一元二次方程根与系数的关系, 设方程另一个根为x1 ,则(3-)x1=7,x1=3+,(3+)+(3-)=-m,则m=-6；15.a=1,b=-2. 点拨:-1是两方程的根,则3a+b-1=0,a-2b-5=0,解得a=1,b=-2；16.a+b+c=0,b=a+c,c=0；17.3 点拨:设两根为x1,x2,根据根与系数的关系x1+x2=4, x1·x2=，由勾股定理斜边长的平方=(x1+x2)2-2x1x2=16-2×=9,∴斜边长为3；
18.元 点拨:设原价x元,则x(1+10%)2=a,解得x=；19.x2+7x+12=0或x2-7x+12=0 点拨:设两数为a,b,则ab=12,a2+b2=25,∴( a+b)2-2ab=25,(a+b)2=49,(a+b)=±7,所以以a,b为根的方程为x2+7x+12= 0 或x2-7x+12=0；20.a+β≥1 点拨:方程有实根,则△≥0,则k≤, 即-k≥-,1-k≥1- ,2(1-k)≥1,∵a+β=2(1-k),∴a+β≥1；21.7或-3;22. _;23. 24或
三、1、 2、 3、
4、
四、1.a=1,b=1,另一个根分别是-2，-5 2.k=-3,y2-20y-21=0
解:(1)由题意得x1+x2=k+2, x1·x2=2k+1, x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2=k2+2,又x12+x22=11,
∴k2+2=11,k=±3,
当k=3时,△=-3<0, 原方程无实数解;当k=-3时,△=21>0,原方程有实数解,故k=-3.
(2)当k=-3时, 原方程为x2+x-5=0,设所求方程为y2+py+q=0,两根为y1,y2,
则y1=x1+x2=-1,y2=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=11+10=21,
∴y1+y2=20,y1y2=-21,故所求方程是y2-20y-21=0.
点拨:要求k的值,须利用根与系数的关系及条件x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2,构造关于k的方程,同时,要注意所求出的k值,应使方程有两个实数根,即先求后检.
(2)构造方程时,要利用p=-(y1+y2),q=y1y2,则以y1,y2为根的一元二次方程为y2+py+q=0.
3.(1)证明:方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实根,
∴△=0,即△=(2)2-4×(2c-a)=0,
解得a+b=2c,方程3cx+2b=2a的根为0,则2b=2a,a=b,
∴2a=2c,a=c,
∴a=b=c,故△ABC为等边三角形.
(2)解:∵a、b相等,∴x2+mx-3m=0有两个相等的实根,
∴△=0,∴△=m2+4×1×3m=0,
即m1=0,m2=-12.
∵a、b为正数,
∴m1=0(舍),故m=-12；4．（1）直角三角形；（2）a=9，b=12，c=15 5．(1)S=2m-6；(2)S<-3且S≠-6 ；6．设BC=x米，AB=y米，则①②由②-①，得x+y=5（米），即原标杆高5米。
五、应用题
1. 1、6，8，10或-2，0，2
2．设买进x套，则（舍去），故有110套。
3．解:根据题意得70(100-10x).x%=168,x2-10x+24=0,解得 x1=6, x2=4,
当x2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x1=6时,100-10×6=40<50,
∴税率应确定为6%.
点拨:这是有关现实生活知识应用题,是近几年中考题的重要类型, 要切实理解,掌握.
B
A
D
C
x
隔墙
隔墙
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