（苏教版必修2）数学： 2.2圆与方程（教案）

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圆与方程预习提纲
1．圆的标准方程：
2．圆的一般方程：
3．直线与圆的位置关系的判断：
4．圆与圆的位置关系的判断：
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
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例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
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例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
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圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：
a＝＝5，b＝＝6
再根据两点的距离公式，得圆的半径是：
r＝︱CP1︱＝＝
∴所求圆的方程是：（x－5）2 +（y－6）2 ＝10
∵︱CM︱＝，︱CN︱＝＞，︱CQ︱＝3＜
∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6
∴两圆相交
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
解：设圆的方程为 （x－a）2 +（y－b）2 ＝r 2
则：（3－a）2 +（1－b）2 ＝r 2，（－1－a）2 +（3－b）2 ＝r 2，3a－b－2 ＝0
解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）
则 kAB＝＝－
所以，线段AB的垂直平分线方程为：
y－2＝2（x－1） 即：2x－y＝0
由
得圆心坐标为C（2，4）， 又r＝︱AC︱＝
∴圆的方程是：（x－2）2 +（y－4）2 ＝10
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
解：设圆心坐标为C（x 0，y 0），则
eq \b\lc\{(\a\al( ·（－）＝－1,（x 0－10）2 +（y 0－10）2 ＝100))
解得：x 0＝2，y 0＝4或x 0＝18，y 0＝16
∴所求圆的方程是：
（x－2）2 +（y－4）2 ＝100或（x－18）2 +（y－16）2 ＝100
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，
于是k=－ .
经过点M的切线方程是：
整理得：
因为点M（x0，,y0）在圆上，所以
所求切线方程为：
当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
解法一：设切线方程为 y－4＝k(x－2) 即 kx－y＋4－2k＝0
由 得：
（k 2＋1）x 2＋4k（2－k）x＋4k 2－16k＋12＝0
由△＝0得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法二：设切线方程为 kx－y＋4－2k＝0
则：＝2 得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法三：设切点为（x 0，y 0），则：
x 0x＋y0y＝4 ∴2x 0＋4y0＝4
又：x02 + y02＝4
∴x 0＝2，y 0＝0 或x 0＝－，y 0＝
得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点
则有l1：＋= 1，l2：＋= 1
得：b＝，b′＝
∴bb′＝·＝4
x2 + y2 ＝4（y≠0）
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
解：设圆心C（3a，a）
∵圆与y轴相切 ∴r＝3︱a︱
又：︱CD︱＝＝︱a︱ ︱BD︱＝︱AB︱＝
由勾股定理得：a＝±1[21世纪教育网]
∴所求圆的方程为：
（x＋3）2 +（y＋1）2 ＝9或（x－3）2 +（y－1）2 ＝9
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为
用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得
解得
于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0
化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52
所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）
说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.
由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ①
将①式两边平方，得
化简得x2+y2+2x－3=0 ②
化为标准形式得：（x+1）2+y2=4
所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为
圆心，2为半径的圆。
说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一直线；
当a≠－1时，（x－）2 +（y＋）2 ＝表示圆。
（2）方程变形为：x2 + y2－4x ＋a（x2 + y2 + 8y）＝0
∴C过定点A（0，0），B（，－）
（3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？）
得圆的方程：（x－）2 +（y＋）2 ＝
∴＝，＝，＝
解得：a＝
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
解：（1）当P在圆内，即a2 + b2＜1时，无切线方程；
（2）当P在圆上，即a2 + b2＝1时，方程为：ax＋by＝1；
（3）当P在圆外，即a2 + b2＞1时，设直线方程为 y－b＝k（x－a），
即 kx－y－ka＋b＝0
由d＝＝1，得
（a 2－1）k 2－2abk＋b2－1＝0
当a≠±1时，k＝；当a＝±1时，k＝±
∴当a≠±1时，y－b＝(x－a)
当a＝1时，y－b＝ (x－1)或x＝1
当a＝－1时，y－b＝－ (x＋1)或x＝－1
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
解：（1）设所求方程为：y＝－x＋b，圆的方程可化为：
（x－2）2＋（y－1）2＝25
∴圆心C（2，1），半径r＝5
圆心到直线的距离为：d＝＝＝3
∴ b＝－或b＝
所求直线方程为：y＝－x－或y＝－x＋
即：4x＋3y＋4＝0或4x＋3y－26＝0
（2）解法一：设l′∥l且l′与圆相切，则所述距离即为l′与l间的距离，切点即为所求点。
设l′：4x＋3y＋m＝0 则由：
得：
25x 2＋4（2m－3）x＋m 2＋6m－180＝0
△＝16（2m－3）2－100（m 2＋6m－180）＝0
得：m＝14或m＝－36
又：x＝＝
∴x＝－2（m＝14时）或x＝6（m＝－36时）
得A（－2，－2），B（6，4）
解法二：过圆心作与直线l垂直的直线l′与圆交于A、B两点即为所求。
∵kl＝－ ∴k l′＝
∴l′：y－1＝（x－2） 即：3x－4y－2＝0
由 解出x、y即为A、B坐标
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
解：圆的方程可化为 （x－2）2＋（y－2）2＝1
所以圆心C（2，2），半径r＝1
设直线l的斜率为k，则l：y－3＝k（x＋3）且反射光线l′的斜率为k′＝－k，
又l交x轴于（－－3，0）
所以，反射光线方程为：y＝－k（x＋＋3）
即：k x＋y＋3＋3 k＝0
圆心到l′的距离＝1
得：k＝－或k＝－
所以，所求直线l的方程为：
y－3＝－（x＋3）或 y－3＝－（x＋3）
即：4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0
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