1.1.3 导数的几何意义
一、【学习目标】 1．通过作函数图像上过点的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。
2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。
3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。
二、【复习引入】
1．对于函数的曲线上的定点和动点，直线称为这条函数曲线上过点的一条__________；其斜率＝_________________；当时，直线就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过P点的__________；其斜率＝________________=___________________（其中），切线方程为________________________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条。
2．函数的平均变化率的几何意义是___________________________；函数的导数的几何意义是______________________________。
3．当函数在处的导数，函数在附近的图像自左而右是__________的，并且的值越大，图像上升的就越________；当函数在处的导数，函数在附近的图像自左而右是__________的，并且的值越小，图像下降的就越________；，函数在附近几乎______________________。
三、【例题精讲】
例1.如图（见课本.5），试描述函数在附近的变化情况。
变式 ：根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状：
（1）；（2）；（3）。
例2．如图（见课本.6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。
变式：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
例3．已知曲线上的一点，求（1）点P处切线的斜率；（2）点P处的切线方程。
变式：已知曲线，求与直线垂直，并与该曲线相切的直线方程。
四、【随堂练习】
1．曲线在处的（ ）
A 切线斜率为1 B 切线方程为 C 没有切线 D 切线方程为
2．已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ）
A 4 B 16 C 8 D 2
3．函数在处的导数的几何意义是（ ）
A 在点处的函数值
B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C 曲线在点处的切线的斜率
D 点与点（0，0）连线的斜率
4．已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）
A －1 B 1 C －2 D 2
5．若，则＝（ ）
A －3 B －6 C －9 D －12
6．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点
（1，1）处的切线的斜率为（ ）
A 2 B －1 C D －2
7． 已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。
8．．如果函数在处的切线的倾斜角是钝角，那么函数在附近的变化情况是__________________。
9．在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；（3）与轴成的倾斜角；
（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。
五、【课后巩固】
1．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系为，则秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为（ ）
A 2 B 1 C D
2． 已知曲线上一点P，则过点P的切线的倾斜角为（ ）
A B C D
3．曲线在P点处的切线平行于直线，则此切线方程为（ ）
A B C D 或
4．已知曲线在点P（1，4）处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为（ ）
A 或 B
C 或 D 以上都不对
5．曲线与在他们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积为_______。
6．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则的值为___________。
7．已知曲线。
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与C是否还有其它的公共点。
8．已知曲线上两点。
求：（1）曲线在P点、Q点处的切线的斜率；
（2）曲线在P、Q点的切线方程。
9．已知点M（0，－1），F（0，1），过点M的直线与曲线在处的切线平行。
（1）求直线的方程；（2）求以点F为焦点，为准线的抛物线C的方程。
10．判断下列函数在的切线是否存在，若存在，求出切线方程，否则说明理由。
（1）；（2）；（3）；（4）。
【参考答案】
1－4 CBDC 5． 6． 7．（1）（2）有 8．（1）在P、Q两点的斜率分别为1，；（2）在P处的切线方程为；（2）在Q处的切线方程为。9．（1）；（2）；10（1）；（2）在处不可导，但切线为；（3）在处不可导，没有切线；（4）在处不可导，但切线为。1.1.1变化率问题
一、【学习目标】
理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
二、【新知探究】
平均变化率概念:
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
直线AB的斜率
三、【例题精讲】
例1．已知质点按照规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，求：
（1）质点开始运动后3秒内的平均速度；
（2）质点在2秒到3秒内的平均速度。
例2．求函数在区间和的平均变化率。
变式1.求函数在区间（或）的平均变化率，并探索表达式的值（平均变化率）与函数图象之间的关系。
变式2.过曲线上两点P（1,1）和作曲线的割线，求出当时割线的斜率。
四、【课后巩固】
1.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A B C D
2.一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（ ）
A －4 B －8 C 6 D －6
3.将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（ ）
A B C D
4.在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（ ）
A B C D
5.在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是，则下列说法不正确的是（ ）
A在这段时间里，平均速度是
B 在这段时间里，平均速度是
C运动员在时间段内，上升的速度越来越慢
D运动员在内的平均速度比在的平均速度小
6．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的
7．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、
连线的
8．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是
9．正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？
10．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出
（1）求t＝2秒时，P点转过的角度
（2）求在时间段内P点转过的平均角速度，其中①，②③
f(x2)
y=f(x)
y
△y =f(x2)-f(x1)
f(x1)
△x= x2-x1
x2
x1
x
O
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31.2.2 导数的运算法则（一）
一、【学习目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.
二、【新知探究】
（1）= ；
推广：= ；
（2）= ； （）；
（3）= . .
三、【例题精讲】
例1 . 求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4）（5）
例2.求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4）
例3 . 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）；（2）.
例4. 已知函数
（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点处的切线方程.
四、【巩固练习】
1．下列四组函数中导数相等的是（ ）
2．下列运算中正确的是（ ）
3．设则等于（ ）
4．对任意的，有则此函数解析式可以为（ ）
5．函数在点处的切线方程为（ ）
6．函数的导数 ，
.
7．已知函数且则 .
8．过原点作曲线的切线，则切点坐标为 ，
切线的斜率为 .
9．求曲线在点处的切线的方程.
10．求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4） （5）
11．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有克氡气，那么天后，氡气的剩余量为 （注：，）
（1）氡气的散发速度是多少？（2）的值是什么（精确到）？它表示什么意义？1.3.3函数的最大（小）值与导数
一、【学习目标】
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。
二、【复习引入】
1． 极大值、极小值的概念：
2．求函数极值的方法：
三、【新知探究】
例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？
变式：1 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）则函数的最大值为______，最小值为______。
变式：2 求下列函数的最值：
（1） （2）
例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
四、【巩固练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．函数，下列结论中正确的是（ ）
A 有极小值0，且0也是最小值 B 有最小值0，但0不是极小值
C 有极小值0，但0不是最小值
D 因为在处不可导，所以0即非最小值也非极值
3．函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）
A B C D
4．函数的最小值是（ ）
A 0 B C D
5．给出下面四个命题：
（1）函数的最大值为10，最小值为；
（2）函数的最大值为17，最小值为1；
（3）函数的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数无最大值，无最小值。
其中正确的命题有
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
6．函数的最大值是__________，最小值是_____________。
7．函数的最小值为____________。
8．已知为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间
[－2，2]上的最小值。
9．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的极值。
五、【课后巩固】
1．设为常数，求函数在区间上的最大值和最小值。
2.设，（1）求函数的单调递增，递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。
3．已知函数，
（1）当，求函数的最小值；
（2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围。
4．已知函数，
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若是的极值点，求在上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有3个交点，若存在 ，求出实数的取值范围；取不存在，试说明理由。
5．当时，函数恒大于正数，试求函数的最小值。
【参考答案】
1．（1）若在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0。（2）当，在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0。2．（1）递增区间为和，递减区间为；（2）。
3．（1）（2）。4．（1），（2），（3）且。
5．当时，。
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61.3.2函数的极值与导数
一、【学习目标】
1. 理解极小值,极大值,极值点,极值定义.
2. 掌握求极小值和极大值的过程.
二、【复习引入】
1._______________,我们把点叫做函数的极小值点,的极小值.
2._______________,我们把点叫做函数的极大值点,的极大值.
3.求函数的极值过程是:_____________
4.注意极大值和极小值统称为极值,极值刻画的是函数的局部性质.
三、【例题精讲】
例1.函数的定义域为R,导函数的图像如图所示,则函数
A. 无极大值点,有四个极小值点
B. 有三个极大值点,两个极小值点
C. 有两个极大值点,两个极小值点
D. 有四个极大值点,无极小值点
例2.分别用二次函数和导数方法求的极小值.
例3.求函数的极值.
四、【随堂练习】
1.关于函数的极值,下列说法正确的是( )
A.导数为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值
D.若在内有极值,那么在内不是单调函数.
2.函数,已知在时取得极值,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.的极小值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.不存在
4.有( )
A.极大值为5,极小值为-27 B.极大值为5,极小值为-11
C.极大值为5,无极小值 D.极大值为-27,无极小值
5.函数时有极值10,则的值为( )
A. B.
C. D.以上都不正确
6.若函数在内有极小值,则( )
A.0< B. C. D.
7.有极___值是____.
8.有极__值是_____
9.求极大值
10.已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值.求(1)的值；(2)函数的极小值.
五、【课后巩固】
1.已知函数的图像与轴切与(1,0)点,则的极值为( )
A.极大值为,极小值为0. B.极大值为0,极小值为
C.极小值为_,极大值为0. D.极小值为0,极大值为_
2.设函数在处取得极大值,则
3.已知函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围是______________
4.已知是函数的一极值点,其中
(1) 求的关系表达式
(2) 求的单调区间.
5.求函数的极值,并结合单调性,极值作出该函数的图像.
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31.2.1几个常用函数的导数
一、【学习目标】
1.能根据导数定义,求函数的导数;
2.熟记基本初等函数的导数公式.
二、【复习引入】
1.函数在处的导数定义为________________________;
2 .导数的几何意义和物理意义分别是什么
三、【例题精讲】
例1.根据导数的定义求下列函数的导数,并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理意义.
（1）(为常数); (2)
(3) (4)
(5) (6)
对任意幂函数,当时,都有=_______________.
例2.画出函数和的图象,结合图象以及例1中所求结果,分别描述它们的变化情况.
例3.利用上述结论,求下列函数的导数:
(1) (2) (3) (4)
例4.求曲线(1)在点(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,3)的切线方程.
四、【课后巩固】
1．熟记教材第14页基本初等函数的导数公式，并默写如下：
2．函数的导数是________________.
3．函数在处的导数为_______;
4．物体的运动方程为,则物体在时的瞬时速度为______.
5．给出下列命题,其中正确的命题是___________________(填序号)
(1)任何常数的导数都为零;(2)直线上任一点处的切线方程是这条直线本身;
(3)双曲线上任意一点处的切线斜率都是负值;
(4)函数和函数在(上函数值增长的速度一样快吗？
6.函数在处的切线方程为________________________________.
7．函数的导数为( )
A. B.
C. D.
8.函数的导数为( )
A. B. C. D.
9.求三次曲线过点(2,8)的切线方程.
10.求证两曲线和在点处的切线互相垂直.
11.某小型企业最初在年初投资10000元生产某种产品,在今后10年内估计资金年平均增长率为50％。问第5年末该企业的资金增长速度大约是每年多少万元？（精确到0.01）
12.过点作曲线的切线,求此切线的方程.
11.2.2 导数的运算法则（二）
一、【学习目标】理解复合函数概念，记住复合函数的求导法则.理解导数的物理及几何意义；会求曲线上某点处的切线.
二、【复习引入】
1.一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的 ，那么称这个函数为函数和的 ，记作 .
2. 如果函数和它们的复合函数的导数分别记为那么 .
即对的导数等于对 的导数与对 的导数的 .
三、【例题精讲】
例1 . 求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4）（其中均为常数）
例2.求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例3.已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求的值.
四、【巩固练习】
1．函数则=（ ）
2．若函数则=（ ）
3．函数的导数为（ ）
4．函数在点处的切线方程为（ ）
5．函数的导数是（ ）
6．若函数，则= .
7．已知函数，则= .
8．曲线在点处的切线方程是 .
9．曲线的切线中，斜率最小的切线方程是 .
10．求曲线上的点到直线的最短距离.
11．求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4） （5）
（6） （7）
五、【课后巩固】
1、已知，求= .
2、，则= .
3、已知直线是的切线，求的值.
4、求函数在点处的切线方程.
5、已知直线与抛物线相交于两点，是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点，使的面积最大.
6、已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线和轴所围成的三角形的面积.
【参考答案】
1、；2、；3、；4、
5、；6、（1） （2）1.1.2导数的概念
一、【学习目标】
1.了解瞬时速度，瞬时变化率（导数）的定义。
2.掌握瞬时速度，瞬时变化率的求法。
二、【复习引入】
1．瞬时速度
物体在时的瞬时速度就是运动物体在到一段时间内的平均速度，当时的极限，即
2．导数的概念
在处的导数的定义：一般地，在处的瞬时变化率是 我们称之为在处的 记作或即
3．求导数的步骤。
①求函数的增量：
②求平均变化率：
③取极限，得导数：
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限。
三、【新知探究】
1．掌握求导方法:
例（1）以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度。
（2）求在到之间的平均变化率。
（3）设+1，求，，
2.掌握瞬时变化率的求法及实际意义.
例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。如果在第h时原油的温度为 .计算第2 h和第6 h时，原油的瞬时变化率，并说明意义。
四、【随堂练习】
1．自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A 在区间上的平均变化率 B 在处的变化率
C 在处的变化率 D 在区间上的导数
2．下列各式中正确的是（ ）
A B
C D
3．设，若，则的值（ ）
A 2 B . －2 C 3 D －3
4．任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是
（ ）
A 0 B 3 C －2 D
5．函数， 在处的导数是
6．，当时 ，
7．设圆的面积为A，半径为，求面积A关于半径的变化率。
掌握导数定义及变形:
8．（1）已知在处的导数为,求及的值。
（2）若,求的值.
9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口，射出的时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
掌握瞬时速度的求法:
（选作）某一物体的运动方程如下： ，求此物体在和时的瞬时速度。
五、【课后巩固】
1．一物体的运动方程是，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（ ）
A 0.41 B 3 C 4 D 4.1
2．设函数可导，则等于（ ）
A B 不存在
C D 以上都不对
3．设，则等于（ ）
A B C D
4．若，，则的值是（ ）
A 1 B －1 C D
5．设函数，若，则__________。
6．求函数的瞬时变化率。
7．设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度。
8．已知，求适合的的值。
【参考答案】
复习引入：
1. 2.瞬时变化率，
3.
新知探究：1.（1） （2） （3）
2.（1）在2h时原油以3的速度下降
（2）在6h时原油以5的速度上升
随堂练习1.A 2.D 3.A 4.B 5. 0 6.12 7.A=8.（1）A,-2A(2)-4 9.
选作（1）4 (2)0
1－4 DCCC．5．1 6． 7．开始的速度为2，第5秒末的速度为42．
8．或
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11.3.2函数的单调性与导数
一、【学习目标】
1.会熟练用求导,求函数单调区间,证明单调性;
2.会从导数的角度解释增减及增减的快慢情况
二、【复习引入】
1.用求导求函数单调区间的过程是___________
2.用求导证明函数在某区间上的单调性的过程是_____________-
3.函数在某区间上增时,则其导函数在该区间是_______________________
函数在某区间上减时,则其导函数在该区间时_______________________
函数在某区间上增的越来越快,其导函数在此区间是_________________
函数在某区间上减的越来越快,其导函数在此区间是_________________
三、【例题精讲】
例1.判断函数的单调性,并求出单调区间
(1)
(2)
例2.证明函数在(0,2)内是减函数.
例3.课本P25,例3
四、【巩固练习】
1.是减函数的区间为( )
A.(2,+). B.(- ,2) C.(- ,0) D.(0,2)
2.若函数的图像顶点在第四象限,则其导数的图像可能是( )
3.某工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示,现有下列四种说法:
(1) 前三年该产品产量增长速度越来越快.
(2) 前三年该产品产量增长速度越来越慢.
(3) 第三年后该产品停止生产.
(4) 第三年后该产品年产量保持不变.
其中说明正确的是__________________________________
4.判断下列函数的单调性,并求出单调区间
(1)
(2)
(3)
(4)
6.证明函数在(0,2)内是减函数.
7.已知汽车在笔直的公路上行驶
(1) 如果表示时间时汽车与起点的距离,请标出汽车速度等于0时的点:
如果表示时间时汽车的速度,指出(1)中标出的点的意义是什么.
五、【课后巩固】
1.函数的单调增区间为( )
A.(0,+) B.(- ,-1) C.(-1,1) D.(1,+ )
2.在(0,5)上是( )
A.单调增函数 B.单调减函数
C.在(0,)上是递减函数,在(,5)上是递增函数.
D.在(0,)上是递减函数, 在(,5)上是递减函数.
3.在下面哪个区间内是增函数.
A.( B.( C.( , D.(2
4.已知向量,若函数在区间(-1,1)上是增函数,求的取值范围.
5.已知函数均为闭区间上的可导函数,且,证明当时,
