函数基础知识专题
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文科数学专题精练之函数
一、选择题
1．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解题要点：从函数的增减性判断函数图像，与 都为增函数，两者相加仍为增函数，同理与都为减函数，两者相加亦为减函数，则A、D为错误。当取10时，由图知，则C错误，答案为B。
2．已知图1中的图像对应的函数为，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是 （ ）
A． B． C． D．
解题要点：A选项中括号内为，即此函数的图像应为中的部分且函数图像关于轴对称，不符合图2；B选项中，，则有，不符合图2；D选项中，，则的值应为负半轴部分的倒数，不符合图2.综上所述，答案为C，，，则的图像应为图像的负半轴的部分且关于轴对称。此题亦可用特殊值点的方法求解，相对来说更加方便。
3．函数的大致图像为 （ ）．
解题要点：类似此种给出函数具体解析式的函数图像题，我们首相应该想到利用特殊值点的方法解题。当时，，排除A、C选项；当时，，排除B，则正确答案为D。
4．定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有三个解；
（2）方程有且仅有三个解；
（3）方程有且仅有九个解；
（4）方程有且仅有一个解。 图1 图2
那么，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解题要点：由图知的解有三个令其为，且此三个解都在区间中，分析知，只要的值能够取到这三个数，就能有三个解，由图知的值域为且在定义域上单调递减，所以能够取到这三个值，则（1）选项正确。同理的解由图可知有且只有一个令其为，当时，有解，由图1知在定义域内不是一个单调函数，则的解可能有三个或者两个或者一个，所以（2）的说法错误。
以同样的方法分析可知，（3）错误，（4）正确，所以正确答案为B。
5．函数的反函数图像是 （ ）
解题要点：由反函数的定义可知，原函数的定义域为其反函数的值域，原函数的值域为其反函数的定义域。分析可知，定义域为，值域为，所以此函数的反函数的定义域为，值域为，观察选项，只有C符合。
有关函数图像的题，若给出函数的具体解析式，可以利用特殊值点的方法，代入接单易求的特殊点如-1，0，1，2等点，求出相应的值，与题目所给图像加以比对，排除错误选项。对于没有解析式的题，就从函数的最基本定义以及性质进行考虑，首先观察定义域、值域，然后确定在定义域内的单调性和奇偶性互相比对排除错误项，得到正确项。
函数图像题还有一类就是三角函数的平移问题，遵循以下规律：
7、函数的图像关于 （ ）
A．轴对称 B． 直线对称
C．直线对称 D．坐标原点对称
解题要点：关于 轴对称就是偶函数，关于原点对称就是奇函数，关于直线对称，则其反函数就是它本身。由题很容易得出，所以为奇函数，即关于坐标原点对称，答案为D。
8、已知：是上的奇函数，且满足，当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
解题要点：解法一，我们知道当时的函数解析式为，则可以把需要求解的转化为内的点，因为，所以=，又为奇函数，所以=，又=，所以==，答案为B。
解法二，根据函数的周期为4，且为奇函数，由内的图像可以画出整个函数的图像，进而求的。
9、函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（ ）
A． B． C． D．
解题要点：由平面几何知识可知：过圆外一点做圆的切线和割线，则切线的长是割线与圆的两交点到园外那一点距离的比例中项。
本题中，可以转化为，则切线长为，设两交点到圆心的距离分别为，即，，所以，，因为，所以，所以B不可能。
函数的基本性质主要考察的内容就是增减性和奇偶性同时会涉及到周期性的部分知识，在做这一部分题的过程当中，一定不能忘了函数的所有性质都必须在函数的定义域内进行讨论，牢记两个函数相加和复合函数的增减性如何判断，函数奇偶性所涉及的代数意义以及几何意义，在解题时可以互为验证检查。
二，填空题
1、已知对于任意实数，函数满足． 若方程有2009个实数解，
则这2009个实数解之和为 ．
解析：由知为偶函数，函数图像关于轴对称，的解也关于轴对称，且有2009个实数解，所以其中有一解为0，则可得所有实数解之和为0.
2、设是定义在上且以3为周期的奇函数，若，，则实数的取值范围是 ．
解析：由题知，，所以解不等式得或。
3、方程的解____________．
解析：原方程可化为，解之可得。
4、已知函数是偶函数，_____________．
解析：偶函数的定义域必定关于原点对称，则，且，解得，根据定义可得，所以4.
5、函数的单调递减区间为_____________ ．
解析：，则，可知当，，所以单调递减区间为。
对于函数填空题，一般都不会涉及复杂的计算，运用简单的定义法、函数式求导都能得出解答结果，在计算的过程中必须注意细节，由于不考察解答过程所以只要结果错误就没有得分，一定要对计算结果加以检查验证。
三、解答题
1、设函数为实数）.
（1）若为偶函数，求实数的值； （2）设，求函数的最小值.
解：（1）由已知；
（2），
当时，，
由得，从而，
故在时单调递增，的最小值为；
当时，，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
则的最小值为；
由，知的最小值为.
解题要点：遇到含有绝对值的函数题，首先应该想到去掉绝对值号，分类讨论，得到一个分段函数，然后在分段函数的定义域内求解我们所需要的值。
2、设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
.解：因为
（1）令
或，所以的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；
令
的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。
（2）令（舍），由（1）知，连续，
因此可得：恒成立时，
解题要点：对于给出函数具体解析式的题，求其单调区间，直接对解析式求导，原函数递增，原函数递减，原函数取得极值。关于第二问，求一个函数比一个数大或者小，只需要找出这个函数在定义域内的最大最小值，与之相比，就可的出结果。
D．
C．
B．
A．
B．
C．
D．
A．
一、选择题
1．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解题要点：从函数的增减性判断函数图像，与 都为增函数，两者相加仍为增函数，同理与都为减函数，两者相加亦为减函数，则A、D为错误。当取10时，由图知，则C错误，答案为B。
2．已知图1中的图像对应的函数为，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是 （ ）
A． B． C． D．
解题要点：A选项中括号内为，即此函数的图像应为中的部分且函数图像关于轴对称，不符合图2；B选项中，，则有，不符合图2；D选项中，，则的值应为负半轴部分的倒数，不符合图2.综上所述，答案为C，，，则的图像应为图像的负半轴的部分且关于轴对称。此题亦可用特殊值点的方法求解，相对来说更加方便。
3．函数的大致图像为 （ ）．
解题要点：类似此种给出函数具体解析式的函数图像题，我们首相应该想到利用特殊值点的方法解题。当时，，排除A、C选项；当时，，排除B，则正确答案为D。
4．定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有三个解；
（2）方程有且仅有三个解；
（3）方程有且仅有九个解；
（4）方程有且仅有一个解。 图1 图2
那么，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解题要点：由图知的解有三个令其为，且此三个解都在区间中，分析知，只要的值能够取到这三个数，就能有三个解，由图知的值域为且在定义域上单调递减，所以能够取到这三个值，则（1）选项正确。同理的解由图可知有且只有一个令其为，当时，有解，由图1知在定义域内不是一个单调函数，则的解可能有三个或者两个或者一个，所以（2）的说法错误。
以同样的方法分析可知，（3）错误，（4）正确，所以正确答案为B。
5．函数的反函数图像是 （ ）
解题要点：由反函数的定义可知，原函数的定义域为其反函数的值域，原函数的值域为其反函数的定义域。分析可知，定义域为，值域为，所以此函数的反函数的定义域为，值域为，观察选项，只有C符合。
有关函数图像的题，若给出函数的具体解析式，可以利用特殊值点的方法，代入接单易求的特殊点如-1，0，1，2等点，求出相应的值，与题目所给图像加以比对，排除错误选项。对于没有解析式的题，就从函数的最基本定义以及性质进行考虑，首先观察定义域、值域，然后确定在定义域内的单调性和奇偶性互相比对排除错误项，得到正确项。
函数图像题还有一类就是三角函数的平移问题，遵循以下规律：
7、函数的图像关于 （ ）
A．轴对称 B． 直线对称
C．直线对称 D．坐标原点对称
解题要点：关于 轴对称就是偶函数，关于原点对称就是奇函数，关于直线对称，则其反函数就是它本身。由题很容易得出，所以为奇函数，即关于坐标原点对称，答案为D。
8、已知：是上的奇函数，且满足，当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
解题要点：解法一，我们知道当时的函数解析式为，则可以把需要求解的转化为内的点，因为，所以=，又为奇函数，所以=，又=，所以==，答案为B。
解法二，根据函数的周期为4，且为奇函数，由内的图像可以画出整个函数的图像，进而求的。
9、函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（ ）
A． B． C． D．
解题要点：由平面几何知识可知：过圆外一点做圆的切线和割线，则切线的长是割线与圆的两交点到园外那一点距离的比例中项。
本题中，可以转化为，则切线长为，设两交点到圆心的距离分别为，即，，所以，，因为，所以，所以B不可能。
函数的基本性质主要考察的内容就是增减性和奇偶性同时会涉及到周期性的部分知识，在做这一部分题的过程当中，一定不能忘了函数的所有性质都必须在函数的定义域内进行讨论，牢记两个函数相加和复合函数的增减性如何判断，函数奇偶性所涉及的代数意义以及几何意义，在解题时可以互为验证检查。
二，填空题
1、已知对于任意实数，函数满足． 若方程有2009个实数解，
则这2009个实数解之和为 ．
解析：由知为偶函数，函数图像关于轴对称，的解也关于轴对称，且有2009个实数解，所以其中有一解为0，则可得所有实数解之和为0.
2、设是定义在上且以3为周期的奇函数，若，，则实数的取值范围是 ．
解析：由题知，，所以解不等式得或。
3、方程的解____________．
解析：原方程可化为，解之可得。
4、已知函数是偶函数，_____________．
解析：偶函数的定义域必定关于原点对称，则，且，解得，根据定义可得，所以4.
5、函数的单调递减区间为_____________ ．
解析：，则，可知当，，所以单调递减区间为。
对于函数填空题，一般都不会涉及复杂的计算，运用简单的定义法、函数式求导都能得出解答结果，在计算的过程中必须注意细节，由于不考察解答过程所以只要结果错误就没有得分，一定要对计算结果加以检查验证。
三、解答题
1、设函数为实数）.
（1）若为偶函数，求实数的值； （2）设，求函数的最小值.
解：（1）由已知；
（2），
当时，，
由得，从而，
故在时单调递增，的最小值为；
当时，，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
则的最小值为；
由，知的最小值为.
解题要点：遇到含有绝对值的函数题，首先应该想到去掉绝对值号，分类讨论，得到一个分段函数，然后在分段函数的定义域内求解我们所需要的值。
2、设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
.解：因为
（1）令
或，所以的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；
令
的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。
（2）令（舍），由（1）知，连续，
因此可得：恒成立时，
解题要点：对于给出函数具体解析式的题，求其单调区间，直接对解析式求导，原函数递增，原函数递减，原函数取得极值。关于第二问，求一个函数比一个数大或者小，只需要找出这个函数在定义域内的最大最小值，与之相比，就可的出结果。
D．
C．
B．
A．
B．
C．
D．
A．