分类计数原理与分步计数原理
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课件20张PPT。分类计数原理 与 分步计数原理问题一 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m+n
种不同的方法分类计数原理完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法……在第ｎ类办法中有 种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝ 种不同的方法（加法原理）关于分类计数原理的几点注记： ⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法
总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原
理； ⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标
准，然后在确定的分类标准下进行分类； ⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别
属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏． 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：A大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学B大学
数学
会计学
信息技术学
法学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？解：在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择方法。由于没有一个专业是两所大学共有，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共有5+4=9(种)问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？所有走法
火车1－汽车1
火车1－汽车2
火车2－汽车1
火车2－汽车2
火车3－汽车1
火车3－汽车2分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m×n
种不同的方法分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第ｎ步有 种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝ 种不同的方法．（乘法原理）关于分步计数原理的几点注记⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤
的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标
准，然后在确定的分步标准下分步； ⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完
成每一个步骤． 例2 设某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一步选男生，第二步选女生。解：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择根据分步乘法计数原理，共有 30×24＝720
种不同的选法。答：共有720种选法。分类计数原理与分步计数原理的区别区别在于：
1.分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；
2.分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例3 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法：
第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3类办法是从第3层取一本体育书，有2种方法．
根据分类计数原理，不同取法的种数是
N=4+3+2=9．
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法. 例3 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解: (2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N=4×3×2=24．
答：从书架的第1，2，3层各取1本书，有24种不同的取法. 第3个步骤是从第3层取一本体育书，有2种方法．第2个步骤是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第1个步骤是从第1层取1本计算机书，有4种方法；例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法。根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是
N=3×2=6第一步，从3幅画中选出1幅挂在左边墙上，有3种选法；答：共有6种不同的挂法。 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？6种选法可以表示如下：
日班 晚班
甲 乙
甲 丙
乙 甲
乙 丙
丙 甲
丙 乙变式：已知直线Ax+By+1=0,若A,B从-5,-3,-1,0,2,4,7这7个数中选取不同的两个数,求斜率小于0的直线有______条.从0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A,B,C,所得经过坐标原点的直线有_______条。 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．
根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是
N=10×10×10×10=10000．
答：可以组成10000个四位数字号码． 4张卡片的正、反面分别0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可以组成多少个不同的三位数？1．（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(假设冠军只有一人)，共有多少种可能的结果2．有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？3．设集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从A到B的所有不同映射的个数是：
A.81 B.64 C.12 D.274．集合M＝｛1，2，3，4｝的子集个数是：
A.6 B.8 C．12 D.16
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m+n
种不同的方法分类计数原理完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法……在第ｎ类办法中有 种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝ 种不同的方法（加法原理）关于分类计数原理的几点注记： ⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法
总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原
理； ⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标
准，然后在确定的分类标准下进行分类； ⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别
属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏． 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：A大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学B大学
数学
会计学
信息技术学
法学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？解：在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择方法。由于没有一个专业是两所大学共有，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共有5+4=9(种)问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？所有走法
火车1－汽车1
火车1－汽车2
火车2－汽车1
火车2－汽车2
火车3－汽车1
火车3－汽车2分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m×n
种不同的方法分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第ｎ步有 种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝ 种不同的方法．（乘法原理）关于分步计数原理的几点注记⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤
的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标
准，然后在确定的分步标准下分步； ⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完
成每一个步骤． 例2 设某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一步选男生，第二步选女生。解：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择根据分步乘法计数原理，共有 30×24＝720
种不同的选法。答：共有720种选法。分类计数原理与分步计数原理的区别区别在于：
1.分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；
2.分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例3 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法：
第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3类办法是从第3层取一本体育书，有2种方法．
根据分类计数原理，不同取法的种数是
N=4+3+2=9．
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法. 例3 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解: (2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N=4×3×2=24．
答：从书架的第1，2，3层各取1本书，有24种不同的取法. 第3个步骤是从第3层取一本体育书，有2种方法．第2个步骤是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第1个步骤是从第1层取1本计算机书，有4种方法；例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法。根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是
N=3×2=6第一步，从3幅画中选出1幅挂在左边墙上，有3种选法；答：共有6种不同的挂法。 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？6种选法可以表示如下：
日班 晚班
甲 乙
甲 丙
乙 甲
乙 丙
丙 甲
丙 乙变式：已知直线Ax+By+1=0,若A,B从-5,-3,-1,0,2,4,7这7个数中选取不同的两个数,求斜率小于0的直线有______条.从0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A,B,C,所得经过坐标原点的直线有_______条。 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．
根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是
N=10×10×10×10=10000．
答：可以组成10000个四位数字号码． 4张卡片的正、反面分别0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可以组成多少个不同的三位数？1．（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(假设冠军只有一人)，共有多少种可能的结果2．有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？3．设集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从A到B的所有不同映射的个数是：
A.81 B.64 C.12 D.274．集合M＝｛1，2，3，4｝的子集个数是：
A.6 B.8 C．12 D.16