盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试
数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
参考公式：锥体的体积公式，其中是底面面积，是高.
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．已知集合，，则 ▲ .
2．已知复数，则 ▲ .
3．双曲线的离心率是 ▲ .
4．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意
选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ .
5．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，
若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和
的，则正中间一组的频数为 ▲ .
6．执行如图算法框图,若输入,,则输出的值为 ▲ .
7．在中，已知，
则 ▲ .
8．在等比数列中，已知，，
则 ▲ .
9．函数的单调减区间为 ▲ .
10．已知命题①：函数为奇函数；命题②：函数在其定义域上是增函数；命题③：“, 若, 则或”的逆命题；命题④：已知，“”是“”成立的充分不必要条件. 上述命题中，真命题的序号有 ▲ .（请把你认为正确命题的序号都填上）
11．已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为，则其体积为 ▲ .
12．过点作圆的弦，其中长度为整数的弦共有 ▲ 条.
13．在等差数列中，若，公差，则有. 类比此性质，在等比数列 中，若，公比，可得之间的一个不等关系为 ▲ .
14．已知是定义在上的奇函数，当时，. 若函数在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分14分)
在中，已知角所对的边分别为，且，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：直线∥平面；
（Ⅱ）求证：直线平面.
17．(本小题满分14分)
经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（件）与时间（天）的函数关系近似满足，且第25天的销售金额为13000元.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额关于时间的函数关系式；
（Ⅲ）该商品的日销售金额的最小值是多少？
18．(本小题满分16分)
如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为8且位于轴上方的点. 到抛物线准线的距离等于10，过作垂直于轴，垂足为，的中点为（为坐标原点）.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过作，垂足为，求点的坐标；
（Ⅲ）以为圆心，4为半径作圆，点是轴
上的一个动点，试讨论直线与圆的位置关系.
19．(本小题满分16分)
公差的等差数列的前项和为，已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；
（Ⅱ）记，若自然数满足，并且
成等比数列，其中，求（用表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列中是否存在三项恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.
20．(本小题满分16分)
对于函数，如果是一个三角形的三边长，那么也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．
对于函数，如果是任意的非负实数，都有是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．
（Ⅰ）判断三个函数“（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（Ⅱ）若函数是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”.
盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，是⊙的直径，、为⊙上的点，且平分，过点作
交的延长线于点.
求证：是⊙的切线.
．
B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵,矩阵对应的变换把曲线变为曲线，求曲线的方程．
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知两个圆的极坐标方程分别是和，求这两个圆的圆心距.
D.（选修4—5：不等式选讲）
设是正数，求证：.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
（Ⅰ）求与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的余弦值的大小.
23．（本小题满分10分）
一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响. 设表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值.
（Ⅰ）求的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.
盐城市2010/2011学年度高三年级摸底
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2.5 3. 4. 5.30 6. 7.120° 8. 9.
（也可以写成） 10.①③ 11. 12.8 13. 14.
解答题：本大题共6小题，计90分.
15．解：（Ⅰ）在中，…………………………3分
由正弦定理，得．所以…………………………7分
（Ⅱ）因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是……9分
所以,………………………………11分
∴……………………………………… 14分
16．证明：（Ⅰ）连结,在中,因为,分别为,的中点,所以// …3分
而平面，平面,∴直线∥平面……………………………7分
（Ⅱ）因为面面,面面,面,且,
所以平面,……………………………………………………………10分
又，，且、面,所以面……………12分
而∥,所以直线平面 ……………………………………………………14分
17．解：（Ⅰ）由题意,得,即,解得……3分
（Ⅱ）……………………………………………5分
= ……………………………………………………7分
（Ⅲ）①当时,因为,所以当时,有最小值12100………10分
②当时,∵在上递减,∴当时,有最小值12400 …13分
∵12100〈12400，∴当时，该商品的日销售金额取得最小值为12100 …14分
18．解：（Ⅰ）抛物线的准线为,于是,,抛物线方程为…4分
（Ⅱ）点的坐标为（8,8），由题意得，，又，……6分
又,,则直线的方程为,直线的方程为……8分 联立方程组，解得，∴点N的坐标为……10分
（Ⅲ）由题意得，圆的圆心坐标为，半径为4.
当时，直线的方程为，此时，直线与圆相离 ………………………12分
当时，直线的方程为，即为，所以圆心到直线的距离，令，解得；令，解得；令，解得…………………………………………………………………………… 14分
综上所述，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；
当时，直线与圆相交………………………………………………………………16分
（说明：“当时”这种情形没有列出的，扣2分）
19．解：（Ⅰ），，………………………… 2分
所以，………………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意，，首项，又数列的公比 ……………7分
，又，……………………………………………………10分
（Ⅲ）易知，假设存在三项成等比数列，则，
即,整理得…12分
①当时，，，是
有理数，这与为无理数矛盾………………………………………………………………14分
②当时,则,从而,解得,这与矛盾.
综上所述，不存在满足题意的三项 ……………………………………………………16分
20．解：（Ⅰ）对于，它在上是增函数，不妨设，则，因为，所以，故是“保三角形函数”……2分
对于，它在上是增函数，不妨设，则，因为，所以 ，故是“保三角形函数”………………………………………………………4分
对于，取，显然是一个三角形的三边长，但因为，所以不是三角形的三边长，故不是“保三角形函数”……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：∵，∴当时,；当时，.
当时，因为，适合题意…………………………………………………8分
②当时，因为，所以，
从而当时，，由，得，所以………9分
当时，因为，所以，
从而当时，，由，得，所以，
综上所述，所求的取值范围是…………………………………………………11分
法二:∵=,
当时，因为，适合题意; ②当时，可知在上递增,在上递减,而,,且当时, ,所以此时; ③当时，可知在上递减,在上递增,而,,且当时, ,所以此时.
（以下同法一. 按此方法求解的，类似给分.）
（Ⅲ）①因为的值域为，∴存在正实数,使得，显然这样的不是一个三角形的三边长，故不是“恒三角形函数”……13分
②因为是值域为的周期函数，所以存在，使得，
设的最小正周期为，令，其中，且，
则,又显然，所以是一个三角形的三边长，但因为，所以不是一个三角形的三边长，
故也不是“保三角形函数”………………………………………………………………16分
（说明：也可以先证不是“保三角形函数”，然后据此知也不是“恒三角形函数”）
数学附加题部分
21．A.解：证明:连结OC，所以∠OAC=∠OCA. 又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，
于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD……………………………………………………………6分
又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线…………………………………… 10分
B. 解：设是所求曲线C上的任意一点，它是曲线上点在矩阵 变换下的对应点，则有，即，因此………………5分
又点在曲线上，故，从而，即,
所以曲线C的方程为………………………………………………………………10分
C. 解：因为表示以点（3，0）为圆心，3为半径的圆…………………………3分
表示以点为圆心，4为半径的圆……………………………………………6分
所以这个两个圆的圆心距为5 …………………………………………………………………10分
D. 证明：∵，∴， ，…………5分
三个同向正值不等式相乘得…………………………………10分
22.解：以A为坐标原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0,0,0），B（0,2,0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0,1），M（0,1,）……2分
（Ⅰ）因=（1,1,0），=（0,2,－1），故||=,||=,=2,
所以,即与所成的角的余弦值为 …6分
（Ⅱ）由=（0,1, ），=（1,0, ），=（1,－1,0）,设平面AMC与面BMC的法向量分别为=（x,y,z），=（p,q,v），则·=·=0,解得=（1，－1，2），
同理=（1，1，2），…………………………………………………8分
由题意可知,二面角的平面角为钝角，所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为……10分
23.解:（I）分别记“客人参观甲展览馆”，“客人参观乙展览馆”，“客人参观丙展览馆”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.
客人参观的展览馆数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有参观的展览馆数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）
1
3
P
0.76
0.24
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（=1）=1－0.24=0.76，所以的概率分布表为
………5分 ∴ E=1×0.76+3×0.24=1.48………6分
（Ⅱ）因为所以函数在区间上单调递增，要使上单调递增，当且仅当
从而………………………………………………………10分
!
盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试
数学必做题答题纸
准 考 证 号
姓 名
条 形 码 区 域
班 级
!
学 校
缺考考生，由监考员粘贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考违纪标记。缺考涂1，违纪涂2。考生禁涂。
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真贴好条形码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，解答题必须使用黑色的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔做解答题，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效，在草稿纸、试题纸上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破。
!
1 2
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
1
常州慧光科技有限公司 设计
!
!
!
!
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2
常州慧光科技有限公司 设计
!
!
!
盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试数学附加题答题纸
姓名
班级
学校
准 考 证 号
!
缺考考生，由监考员粘贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考违纪标记。缺考涂1，违纪涂2。考生禁涂。
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真贴好条形码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，解答题要认真书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效，在草稿纸、试题纸上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破。
条 形 码 区 域
!
1 2
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
1
常州慧光科技有限公司 设计
!
!
!
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2
常州慧光科技有限公司 设计
!
!
