第二十七章 相似三角形
课题：相似三角形应用举例（学生用）
（新授课）
【学习目标】
1．知识技能
进一步巩固相似三角形的知识，应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简
单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）．
2．解决问题
通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用，经历应用相似三角
形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程．
3．数学思考
全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解
决实际问题的能力．通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力．
4．情感态度
通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，
使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦．力求培养学生科学，正确的数学观，
体现探索精神．
【学习重难点】
1． 重点：引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决．
2． 难点：通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型．
课前延伸
【知识梳理】
一、基础知识填空
1．相似三角形的性质
相似三角形的对应角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的
三角形与原三角形 ．
（2）两角对应 ，两三角形 ．
（3）两对应边 且夹角 ，两三角形相似．
（4）三组对应边的比 ，两三角形相似．
3．物高与影长
在同一时刻物高与影长 ．
二、预习思考题
（1）如果某一电视塔在地面上的影长为60m，同时一根高为2m的竹竿的影长为3m，
则电视塔高 ．
（2）观察者 眼睛的位置，即观察事物的着眼点叫做视点．
（3）观察者 的区域称为盲区．
课内探究
四、例题精讲点拨：
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的
高度BO． （思考如何测出OA的长？）
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
五、课堂反馈训练：
1．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15cm，AC被分为60等份．
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口
径DE是多大？
2．如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB．
课后提升
一、课后练习题:
1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，
长臂端点升高为 m．
2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m），且落在对方区域离网5m
的位置上，已知他击球的高度是2.4m，则她应站在离网的 m处．
3．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶 米．
4．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿
的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面
上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高
为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 米．
5．如图，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．
6．如图，运河边上移栽了两棵 ( http: / / )老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出
地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以
固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？
PAGE
4第二十七章 相似三角形
课题：相似三角形应用举例课案（教师用）
【理论支持】
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展．它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．考虑到部分学生基础较差，采取小组合作的学习方式有利于共同提高．因此将大部分的时间交给学生，让他们充分动手寻找解决问题的办法，并且能上升为理论：画图形，找相似，得比例．通过问题情境的设置,培养积极的进取精神，增强数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值．
相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化．在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定、性质，这为本节知识的研究奠定了基础．本节课主要是在复习相似三角形的判定、性质等知识的基础上，应用相似三角形的有关知识，计算那些不易直接测量物体的高度和宽度．本节内容，对于培养学生的数形结合、分类讨论及转化思想，起着重要的作用．通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求，同时也为学生在今后的学习和生活中更好的运用数学作准备．随着新课程改革的深入进行，题型更加侧重于应用和创新，相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，有着非常重要的实用价值．
教学对象分析：
从七年级的学习到现在，学生已经历一些平面图形的认识与探究活动，让学生积累了一定的合情合理推理的经验和能力，这是学生顺利完成本节内容的一个有利因素，不利因素在于本节内容对学生从实物图中抽象出数学模型能力的要求较高，学生学习有一定难度．
按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，在本节课的学习过程中，采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，运用所学知识解决实际问题，启发学生从书本知识到社会实践，学以致用，力求促使每个学生都在原有的基础上得到有效的发展．
知识技能 进一步巩固相似三角形的知识，应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）．
数学思考 1．通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用．2．经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程．
解决问题 全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决实际问题的能力．通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力．
情感态度 通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦．力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神．
【教学目标】
【教学重难点】
1．重点：引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决．
2． 难点：通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1．相似三角形的性质
相似三角形的对应角 ，对应边的比 ．
〖答案〗相等，相等．
2．相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的
三角形与原三角形 ．
（2）两角对应 ，两三角形 ．
（3）两对应边 且夹角 ，两三角形相似．
（4）三组对应边的比 ，两三角形相似．
〖答案〗（1）相似． （2）相等，相似．
（3）的比相等，相等． （4）相等．
3．物高与影长
在同一时刻物高与影长 ．
〖答案〗的比相等．
〖设计说明〗让学生复习并回顾已学的相似三角形的判定等知识，为本节课更好地掌握相似三角形的应用作铺垫．以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系．
二、预习思考题及答案
（1）如果某一电视塔在地面上的影长为60m，同时一根高为2m的竹竿的影长为3m，
则电视塔高 ．
（2）观察者 眼睛的位置，即观察事物的着眼点叫做视点．
（3）观察者 的区域称为盲区．
〖答案〗（1）40m． （2）眼睛的位置． （3）看不到．
〖设计说明〗带着问题进入课堂，就会有一种想学、想问、想练的良好心理，课上老师所讲的重点难点就会被同学们所领悟，激发了学生的自主探索和求知欲望． 且有益于培养自学能力，增强创新意识．数学学习重在发现、探索、创新和应用；结合生活中的实际经验，增强学生数学源于生活的意识．
课内探究
一、检查预习情况：
学生口答．
二、导入新课：
1．创设情境，激趣设疑
问题：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之
一” ．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据
考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146．59米，但由于经
过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听
说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔吗的高度的吗？
〖设计说明〗借助古代难题，开门见山，引入新课，能激发学生的好奇
心和求知欲．
2．揭示课题，板书
三、例题精讲点拨：
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的
高度BO． （思考如何测出OA的长？）
〖设计说明〗通过解决测量金字塔高度的问题，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法．培养学生学习数学的兴趣．
〖参考答案〗
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△AOB∽△DEF，
∴．
∴．
∴BO=134．
因此金字塔的高为134cm．
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．
〖设计说明〗让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过
建模培养学生的归纳能力．同时逐步渗透用数学语言进行
说理的能力，较好的培养了学生利用所学数学知识解决问
题的能力，达到教学相长的目的．
〖参考答案〗
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST．
即，，
．
解得PQ=90．
因此河宽大约为90m．
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
〖设计说明〗从实际的生活情景引入，设置问题悬念激发学生的取之欲，
是学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受
数学知识在生活中的广泛应用．学生在运用相似三角形解
决实际问题过程中，进一步加深对相似三角形的性质理解，
同时培养了学生的应用意识和能力，让学生获得了成功体
验．
〖参考答案〗
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的
顶端点A、C恰在一条直线上．由题意可知，
∵，∠P=∠P，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK．
∴，即，
解得FH=8．
由此可知如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8cm时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
四、师生总结提高：
（1）相似三角形的应用主要有如下两个方面：
①测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决．
②测距（不能直接测量的两点的距离）
测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解．
（2）你还有什么疑惑？
五、课堂反馈训练：
1．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15cm，AC被分为60等份．
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口
径DE是多大？
〖设计说明〗教师让学生独立完成这一道题，可以了解学生掌握相似三
角形应用的情况，发现存在问题，以便及时调整教学重点，
突破难点，有利于学生牢固掌握相似三角形的应用．
〖点拨方法〗观察图形，利用相似三角形的基本图形“A”型，由DE∥AB，可得
△CDE∽△CAB，由于对应边成比例，代入已知数据即可求出DE的长．
〖参考答案〗10cm．
2．如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB．
〖设计说明〗这道题是例题的拓展，进一步加深对相似三角形应用意识，
培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力．
〖点拨方法〗正确理解题意，画出图形，地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决．
〖参考答案〗100m．
课后提升
一、课后练习题及答案:
1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，
长臂端点升高为 m．
〖参考答案〗4．
2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m），且落在对方区域离网5m
的位置上，已知他击球的高度是2.4m，则她应站在离网的 m处．
〖参考答案〗10．
3．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶 米．
〖参考答案〗0.5．
4．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿
的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面
上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高
为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 米．
〖参考答案〗11.8．
5．如图，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．
〖参考答案〗14．
6．如图，运河边上移栽了两棵 ( http: / / )老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出
地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以
固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？
〖参考答案〗过P作PH⊥BD于H，由于AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP:PC=AB:CD=3:4，
BP:BC=3:7，又△BPH∽△BCD，=，
所以PH=×4= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，即点P离地面的高度为m．
（这里AB、CD相距20m为多余条件）．
〖设计说明〗通过一定量运用相似三角形解决实际问题的训练，进一步加深对相似三角形的性质的理解，同时培养了学生的应用意识和能力，让学生获得了成功体验．
PAGE
1
