位似（一）
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文档简介
课题 27.3位似（一）（教师用）
【理论支持】
以瑞士儿童心理学家皮亚杰为代表的建构主义学习理论认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的．因此，学习是一个积极主动的建构过程；知识是个人经验的合理化；知识是商谈出来的；学习者的建构是多元化的．因此，建构主义学习理论强调教学必须以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识在原有经验基础上的意义生成．同时教师必须调整课程，以便使可能费时很多的建构活动能与一定年级所要求的课程内容保持均衡．
前苏联心理学家维果斯基的“最近发展区”理论是建构主义学习理论的重要分支之一，他强调个体在成人或比他成熟的个体的帮助下，个体可以实现从独立活动所能达到的现实发展水平到潜在的发展水平的飞跃，“最近发展区”就是这两种发展水平之间的区域．
我国现代教育理论的开创者和奠基人叶澜教授的“让课堂充满生命活力”的课堂理论认为要改变现有课堂中常见的见书不见人、人围着书转的局面，只有把课堂教学改革的实践目标定在探索、充满生命活力的教学上，学生才能获得多方面的满足和发展．
“位似”这一节主要是让学生了解位似变换，学会利用位似将一个图形放大或缩小，以及平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点等．
教学对象分析：
初三学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究．在教学过程中创设的问题情境应较直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意，让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知．
总之，通过本节课的研究，旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识．
知识技能 1．了解位似图形和位似中心的概念．2．了解位似与相似的联系和区别,会利用位似的性质将一个图形放大或缩小．
数学思考 1．在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉．2．建立“问题情境—建立数学概念—解释、应用与拓展”的课堂教学模式．
解决问题 利用图形的相似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识，发展初步的演绎推理能力．
情感态度 进一步培养学生动手操作的良好习惯和合作交流意识及和探索精神．
【教学目标】
【教学重难点】
1． 重点：位似图形的概念，位似图形的性质．
2． 难点：位似图形性质的理解和逆向应用．
【课时安排】
第一课时（共2课时）
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
(1) 我们已经学过的图形变换有 变换、 变换、 变换．
(2) 图形的旋转是由 和 两大要素决定的, 在旋转过程中保持不动，图形旋转后, 和 都没有变化．
(3) 下列说法正确的是( )
A．能重合的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必能完全重合
C．平移后能重合的两个图形成中心对称 D．旋转对称图形就是中心对称图形
(4) 如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可作旋转中心的点有 个．
.
〖答案〗（1）平移；轴对称；旋转．
（2）旋转中心；旋转角；旋转中心；形状；大小．
（3）B．
（4）3．
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．让学生进行简单的模仿与类比是一种行之有效的学习方法．
二、预习思考题及答案
（1）你了解放映电影时屏幕上的图形是怎样得到的吗？
（2）给你一个三角形，你能将它按比例放大（或缩小）吗？
〖答案〗（1）放映幻灯片时，通过光源发出的光照射在幻灯片上，在屏幕
上得到放大的图形；
（2）可以利用相似三角形的判定定理，结合相似比概念进行说明（答案不唯一）．
〖设计说明〗 引导学生自然而迫切地感受到生活中存在很多需将图形放大（或缩小）的实例，同时让学生动手操作将三角形放大（或缩小），其参与意识很快从潜伏状态转变为活跃状态．
课内探究
一、 创设情境，诱发新知
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形．例如，如图1，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，你能理解它的工作原理吗？
再观察下面图2中五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1 都是相似图形．分别观察这五个图形，你发现它们有什么共同特征
图2
特点：（1）两个图形相似；
（2）每组对应点所在的直线交于一点；
（3）对应边互相平行或在同一条直线上．
〖探讨策略〗学生经过小组讨论交流的方式总结得出．
〖设计说明〗在新知诱发阶段，以源于学生生活的幻灯片放映问题作为教学的出发点，设置情境，激发学生的兴趣，自然导入新课，引领学生对新知识—－“位似图形”的探索．
二．揭示课题，整理概念
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心,这时两个图形的相似比又称为位似比．
三．预习反馈，明确方法
学生口答后论证．
四、动手探究，发现规律
继续观察图2中的五个图形，回答下列问题：
（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离．它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试．
结论：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．
〖探讨策略〗每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出．
五．应用性质，放缩图形
提出问题：可否应用位似图形的性质放大或缩小图形呢？
(1)如何把△ ABC放大为原来的2倍
〖点拨方法1〗任取点O，在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,连接D,E,F．（如图3）
图3
还有其他方法吗
〖点拨方法2〗
任取点O，连接OA,OB,OC，在 AO, BO, CO延长线上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,连接D,E,F．（如图4）
图4
小结画位似图形的步骤：
①任意选取位似中心，
②经过位似中心和对应点作射线（或直线），
③按照位似比确定对应点，
④顺次连接各对应点，
概括：选心、作线、定点、连线
六．指导应用，深化理解
例 如图5，D，E分别是AB，AC上的点．
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗 为什么
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗 为什么 图5
〖点拨方法〗小组讨论如何解这道题：
(1) 问题1，证明位似图形的根据是什么？需要哪几个条件？
根据位似图形的定义，需要三个条件：
(Ⅰ) △ADE和△ABC相似；
(Ⅱ) 对应点所在的直线交于一点；
(Ⅲ) 对应边互相平行或在同一条直线上．
(2)问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们由此能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1.对应点和位似中心在同一条直线上；
2.它们到位似中心的距离之比等于相似比．
（一生口述师板书：）
〖参考答案〗（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形．
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
七．教师精讲，要义点拨：
1．知识点辨析：
（1）位似图形的含义：必须由三个条件才能确定．
位似中心的含义：位似中心是位似图形对应顶点的连线交点；其位置可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，还可以在其中一个图形的边上或顶点．
位似变换与相似变换的联系与区别：位似变换时相似变换的特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．
（2）位似比顺序：位似图形的位似比与两个图形的顺序有关．
2．规律总结：
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．
（2）画位似图形的步骤概括为：选心、作线、定点、连线．
3．方法指导
类比迁移的思想方法．
八、反馈练习 落实新知
挑战自我:1．下面每组图形中都有两个图形．
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形 百货 (2）作出位似图形的位似中心
图6
〖参考答案〗（1）图1，3，5．
（2）
〖讲评策略〗让学生动手尝试，结合相关定义判定．
2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？
〖参考答案〗△ACE和△BDE是位似图形.理由是：
∵AC∥BD
∴∠A=∠B, ∠C=∠D.
∵△ACE∽△BDE.
又∵点E是△ACE和△BDE的公共点，点A和点B是对应点，点C和点D是对应点，直线AB与CD交于点E，
∴△ACE和△BDE是位似图形．
〖讲评策略〗此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正．
九、归纳小结 反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，如何确定位似中心，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论．观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看对应点所在的直线交于一点，三要看对应边互相平行或在同一条直线上．
课后提升
1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．
（1）把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（2）把绕点按顺时针方向旋转后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（3）把以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出的图形．
〖参考答案〗（1）画出的如图所示，点的坐标为（-9，-1）．
（2）画出的的图形如图所示，点的坐标为（5,5）．
（3）画出的的图形如图所示．
2.阅读并解答问题．
在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'．
第二步：连结BF'，并延长交AC于点F；
第三步：过F点作FE⊥BC于E；
第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：过G点作GD⊥BC于点D．
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG为正方形．
问题：
（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；
（2）在△ABC中，如果，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的边长．
〖参考答案〗（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC，∴∠FED＝∠EDC＝900
∵FG∥BC，∴∠FEG＝900，
∴四边形DEFG是矩形，
∵∥EF，∥FG ，
∴，
∴＝ ，
又∵＝， ∴EF＝FG．
∴DEFG是正方形
（2）∠ABC＝450，∠BAC＝900，∴∠ACB＝600
设正方形DEFG的边长为，则BD＝DG＝，EC＝
∴＋＋＝，解得＝3
∴正方形DEFG的边长为3．
〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，联系实际拓展位似图形的内涵，为实际问题建立函数模型做铺垫．
教师对课后提升题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．
(5)
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
B1
C1
D1
A
B
C
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(3)
(4)
（1）
（2）
（3）
(4)
(5)
(6)
E
B
D
A
C
B3
A2
C1
B1
A1
C3
B2
C
B
A
O
y
x
C
B
A
O
y
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【理论支持】
以瑞士儿童心理学家皮亚杰为代表的建构主义学习理论认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的．因此，学习是一个积极主动的建构过程；知识是个人经验的合理化；知识是商谈出来的；学习者的建构是多元化的．因此，建构主义学习理论强调教学必须以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识在原有经验基础上的意义生成．同时教师必须调整课程，以便使可能费时很多的建构活动能与一定年级所要求的课程内容保持均衡．
前苏联心理学家维果斯基的“最近发展区”理论是建构主义学习理论的重要分支之一，他强调个体在成人或比他成熟的个体的帮助下，个体可以实现从独立活动所能达到的现实发展水平到潜在的发展水平的飞跃，“最近发展区”就是这两种发展水平之间的区域．
我国现代教育理论的开创者和奠基人叶澜教授的“让课堂充满生命活力”的课堂理论认为要改变现有课堂中常见的见书不见人、人围着书转的局面，只有把课堂教学改革的实践目标定在探索、充满生命活力的教学上，学生才能获得多方面的满足和发展．
“位似”这一节主要是让学生了解位似变换，学会利用位似将一个图形放大或缩小，以及平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点等．
教学对象分析：
初三学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究．在教学过程中创设的问题情境应较直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意，让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知．
总之，通过本节课的研究，旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识．
知识技能 1．了解位似图形和位似中心的概念．2．了解位似与相似的联系和区别,会利用位似的性质将一个图形放大或缩小．
数学思考 1．在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉．2．建立“问题情境—建立数学概念—解释、应用与拓展”的课堂教学模式．
解决问题 利用图形的相似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识，发展初步的演绎推理能力．
情感态度 进一步培养学生动手操作的良好习惯和合作交流意识及和探索精神．
【教学目标】
【教学重难点】
1． 重点：位似图形的概念，位似图形的性质．
2． 难点：位似图形性质的理解和逆向应用．
【课时安排】
第一课时（共2课时）
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
(1) 我们已经学过的图形变换有 变换、 变换、 变换．
(2) 图形的旋转是由 和 两大要素决定的, 在旋转过程中保持不动，图形旋转后, 和 都没有变化．
(3) 下列说法正确的是( )
A．能重合的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必能完全重合
C．平移后能重合的两个图形成中心对称 D．旋转对称图形就是中心对称图形
(4) 如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可作旋转中心的点有 个．
.
〖答案〗（1）平移；轴对称；旋转．
（2）旋转中心；旋转角；旋转中心；形状；大小．
（3）B．
（4）3．
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．让学生进行简单的模仿与类比是一种行之有效的学习方法．
二、预习思考题及答案
（1）你了解放映电影时屏幕上的图形是怎样得到的吗？
（2）给你一个三角形，你能将它按比例放大（或缩小）吗？
〖答案〗（1）放映幻灯片时，通过光源发出的光照射在幻灯片上，在屏幕
上得到放大的图形；
（2）可以利用相似三角形的判定定理，结合相似比概念进行说明（答案不唯一）．
〖设计说明〗 引导学生自然而迫切地感受到生活中存在很多需将图形放大（或缩小）的实例，同时让学生动手操作将三角形放大（或缩小），其参与意识很快从潜伏状态转变为活跃状态．
课内探究
一、 创设情境，诱发新知
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形．例如，如图1，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，你能理解它的工作原理吗？
再观察下面图2中五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1 都是相似图形．分别观察这五个图形，你发现它们有什么共同特征
图2
特点：（1）两个图形相似；
（2）每组对应点所在的直线交于一点；
（3）对应边互相平行或在同一条直线上．
〖探讨策略〗学生经过小组讨论交流的方式总结得出．
〖设计说明〗在新知诱发阶段，以源于学生生活的幻灯片放映问题作为教学的出发点，设置情境，激发学生的兴趣，自然导入新课，引领学生对新知识—－“位似图形”的探索．
二．揭示课题，整理概念
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心,这时两个图形的相似比又称为位似比．
三．预习反馈，明确方法
学生口答后论证．
四、动手探究，发现规律
继续观察图2中的五个图形，回答下列问题：
（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离．它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试．
结论：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．
〖探讨策略〗每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出．
五．应用性质，放缩图形
提出问题：可否应用位似图形的性质放大或缩小图形呢？
(1)如何把△ ABC放大为原来的2倍
〖点拨方法1〗任取点O，在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,连接D,E,F．（如图3）
图3
还有其他方法吗
〖点拨方法2〗
任取点O，连接OA,OB,OC，在 AO, BO, CO延长线上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,连接D,E,F．（如图4）
图4
小结画位似图形的步骤：
①任意选取位似中心，
②经过位似中心和对应点作射线（或直线），
③按照位似比确定对应点，
④顺次连接各对应点，
概括：选心、作线、定点、连线
六．指导应用，深化理解
例 如图5，D，E分别是AB，AC上的点．
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗 为什么
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗 为什么 图5
〖点拨方法〗小组讨论如何解这道题：
(1) 问题1，证明位似图形的根据是什么？需要哪几个条件？
根据位似图形的定义，需要三个条件：
(Ⅰ) △ADE和△ABC相似；
(Ⅱ) 对应点所在的直线交于一点；
(Ⅲ) 对应边互相平行或在同一条直线上．
(2)问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们由此能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1.对应点和位似中心在同一条直线上；
2.它们到位似中心的距离之比等于相似比．
（一生口述师板书：）
〖参考答案〗（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形．
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
七．教师精讲，要义点拨：
1．知识点辨析：
（1）位似图形的含义：必须由三个条件才能确定．
位似中心的含义：位似中心是位似图形对应顶点的连线交点；其位置可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，还可以在其中一个图形的边上或顶点．
位似变换与相似变换的联系与区别：位似变换时相似变换的特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．
（2）位似比顺序：位似图形的位似比与两个图形的顺序有关．
2．规律总结：
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．
（2）画位似图形的步骤概括为：选心、作线、定点、连线．
3．方法指导
类比迁移的思想方法．
八、反馈练习 落实新知
挑战自我:1．下面每组图形中都有两个图形．
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形 百货 (2）作出位似图形的位似中心
图6
〖参考答案〗（1）图1，3，5．
（2）
〖讲评策略〗让学生动手尝试，结合相关定义判定．
2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？
〖参考答案〗△ACE和△BDE是位似图形.理由是：
∵AC∥BD
∴∠A=∠B, ∠C=∠D.
∵△ACE∽△BDE.
又∵点E是△ACE和△BDE的公共点，点A和点B是对应点，点C和点D是对应点，直线AB与CD交于点E，
∴△ACE和△BDE是位似图形．
〖讲评策略〗此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正．
九、归纳小结 反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，如何确定位似中心，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论．观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看对应点所在的直线交于一点，三要看对应边互相平行或在同一条直线上．
课后提升
1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．
（1）把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（2）把绕点按顺时针方向旋转后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（3）把以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出的图形．
〖参考答案〗（1）画出的如图所示，点的坐标为（-9，-1）．
（2）画出的的图形如图所示，点的坐标为（5,5）．
（3）画出的的图形如图所示．
2.阅读并解答问题．
在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'．
第二步：连结BF'，并延长交AC于点F；
第三步：过F点作FE⊥BC于E；
第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：过G点作GD⊥BC于点D．
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG为正方形．
问题：
（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；
（2）在△ABC中，如果，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的边长．
〖参考答案〗（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC，∴∠FED＝∠EDC＝900
∵FG∥BC，∴∠FEG＝900，
∴四边形DEFG是矩形，
∵∥EF，∥FG ，
∴，
∴＝ ，
又∵＝， ∴EF＝FG．
∴DEFG是正方形
（2）∠ABC＝450，∠BAC＝900，∴∠ACB＝600
设正方形DEFG的边长为，则BD＝DG＝，EC＝
∴＋＋＝，解得＝3
∴正方形DEFG的边长为3．
〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，联系实际拓展位似图形的内涵，为实际问题建立函数模型做铺垫．
教师对课后提升题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．
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