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随机事件的概率
教学目标:
通过试验,体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,由此给出概率的统计定义。
教学重点:了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。
教学难点:理解频率与概率的关系。
教学过程:
[设置情景]
1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。
1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。
为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后得出,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性。一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大。
美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应。
在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类:一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象。
确定性现象,一般有着较明显得内在规律,因此比较容易掌握它。而随机现象,由于它具有不确定性,因此它成为人们研究的重点。
随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果,我们把随机现象的结果称为随机事件。
[探索研究]
1.随机事件
下列哪些是随机事件?
(1)导体通电时发热;
(2)某人射击一次,中靶;
(3)抛一石块,下落;
(4)在常温下,铁熔化;21世纪教育网
(5)抛一枚硬币,正面朝上;
(6)在标准大气压下且温度低于时,冰融化。
由学生回答,然后教师归纳:
必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
可让学生再分别举一些例子。
2.随机事件的概率
由于随机事件具有不确定性,因而从表面上看,似乎偶然性在起着支配作用,没有什么必然性。但是,人们经过长期的实践并深入研究后,发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性,然而在大量重复试验中,它却呈现出一种完全确定的规律性。
下面由学生做试验得出随机事件的频率,试验过程如下:
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时 哪一个面朝上
第一步:全班同学做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例。
思考:试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗?为什么
第二步:由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表。
思考:与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗?为什么?
第三步: 用横轴为实验结果,仅取两个值:1(正面)和0(反面),纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么?
第四步: 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性。
结论:
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上。
思考:这个条形图有什么特点?如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗?为什么?
例如,历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表
抛掷次数() 正面向上次数(频数) 频率()
2048 1061 0.5181
4040 2048 0.5069
1200021世纪教育网 6019 0.5016
24000 12012 05005
30000 14984 0.4996
72088 36124 0.5011
我们可以看到,当抛掷硬币的次数很多时,出现正面的频率值是稳定的,接近于常数0.5,在它左右摆动。
概率的定义:
对于给定的随机事件A,如果随着实验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率。
对于概率的统计定义,注意以下几点:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验;
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件的概率;
(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;21世纪教育网
(5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。因此。
3.例题分析
例1指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是随机事件?
(1)若都是实数,则;
(2)没有空气,动物也能生存下去;
(3)在标准大气压下,水在温度时沸腾;
(4)直线过定点;
(5)某一天内电话收到的呼叫次数为0;
(6)一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球,从中任意摸出1个球则为白球。
(由学生口答,答案:(1)(4)是必然事件;(2)(3)是不可能事件;(5)(6)是随机事件。)
例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
抽取台数 50 100 200 300 500 1000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)计算表中优等品的各个频率;
(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少?
(由一名学生板演后,教师纠正)
解:(1)各次优等品的概率为
0.8, 0.92, 0.96, 0.95, 0.956, 0.954
(2)优等品的概率是0.95。
4.课堂练习
(1).某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数() 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数() 9 19 44 91 178 451
击中靶心频率()
(I)计算表中击中靶心的各个频率;
(II)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?
(由一名学生板演后,教师讲解)
(2).问答:
(I)试举出两个必然事件和不可能事件的实例;
(II)不可能事件的概率为什么是0?
(III)必然事件的概率为什么是1?
(IV)随机事件的概率为什么是小于1的正数?它是否可能为负数?
[参考答案]21世纪教育网
(1).解:(I)击中靶心的各个频率依次是:0.9,0.95,0.88,0.91,0.89,0.902
(II)这个射手击中靶心的概率约为0.90。
(2).略。
5.总结提炼
(1).随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。
(2).随机事件的概率的统计定义
(3).概率的范围:。
组次
试验总次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
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