实际问题与一元一次方程
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实际问题与一元一次方程
教学目标
（1）建立实际问题的方程模型，运用一元一次方程分析和解决实际问题．
（2）根据问题的实际背景进行检验，利用方程进行简单推理判断．
价值．
教学重点、难点：
重点：建立实际问题的方程模型，运用一元一次方程分析和解决实际问题．
难点：正确地建立方程．
一、创设情景
男生都喜欢看NBA，激烈的对抗中比分交替上升，最终由积分显示牌上的各队积分进行排位.下面我们来看一个2000赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜……
二、提出并解决问题：
想一想
（1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
如果一个队胜m场， 则负＿＿＿＿＿＿场，
胜场积分为 ＿＿＿＿＿＿，负场积分为＿＿＿＿＿＿
总积分为 ＿＿＿＿＿＿
议一议
（2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
设一个队胜了x场，则负了＿＿＿＿＿＿场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程 ＿＿＿＿＿＿
计算得 ＿＿＿＿＿＿
问题：x表示什么量？它可以是分数吗？
x表示某队获胜的场数，它应该是自然数，不能是分数22/3．所以x=22/3不符合实际．
问题：由此你得出什么结论？
可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分．
（3） 问题：“观察积分表，你能选择出其中一行说明负一场积几分吗？”
设胜一场积x分的话，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值
从第一行得出方程：
18x+1×4=40
由此得出
x=2
用表中其他行可以验证，得出结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
小注：（！）
（2）
三 总结质疑：
这节课有哪些收获？你还有哪些问题？
四 练习尝试
《A》大家一起做
一、选择题：
1．陈华以8折的优惠价购得一双鞋子节省了20元，则他买鞋子实际用了( )
A．60元 B．80元 C．100元 D．150元
2．甲仓库存煤200吨，乙仓库存煤70吨，若甲仓库每天运出15吨煤，乙仓库每天运进25吨煤，几天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍？设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，则有( )
A．2×15x = 25x B．70+25x 15x = 200×2
C．2(200 15x) = 70+25x D．200 15x = 2(70+25x) ．
3．某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个，则可以超额5个，问规定时间是多少？设规定的时间为x，则有( )
A．38x 15 = 42x+5 B．38x+15 = 42x 5
C．42x+38x = 15+5 D．42x 28x = 15 5
4．三少年年龄之和为33，多少年后三人的年龄之和为现在年龄之和的两倍？设x年后三人年龄之和为现在年龄的2倍，则有( )
A．3x = 2×33 B．3x 33 = 2× 33
C．3x+33 = 2×33 D．3x = 3×33
〈B〉相信你能行
二、列方程解应用题：
1．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务，已知甲每小时比乙每小时多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少零件？
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31株，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多1株，求两班各植树多少株？
3．某商店购买大件商品实行分期付款，小明的爸爸买了一台9000元的电脑，第一次付款30%，以后每月付450元，需要多长时间才能付完？
4．服装厂要生产某种型号的学生服装一批，已知 3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这样的布料 600m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
5．甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午是3时到达B地；问乙是在什么时间追上甲的？
6．有一架飞机，最多能在空中连续飞行6h，它在飞出和返回时的速度分别是 900km/h和 850km/h，这架飞机最远飞出多少千米就应返回？(精确到 1km)
7．某校组织初一学生外出进行科技活动，需租用客车若干辆，现有50座的和45座的两种客车，若租用50座的客车刚好坐满，若租用同样数量的45座的客车则有30人无座位．
(1)初一年级有多少学生？
(2)若50座、45座车的日租金分别为每辆300元和250元，且只能租用一种型号的客车，哪种方案合算？
8．某售楼中心对某住宅楼的标价是：基价为2580元/m2，楼层差价如下表：(“+”表示上浮，“ ”表示下浮)．
某人买了面积为 90平方米的三楼，若他花同样多的钱去买六楼，则可多买几平方米？
9．航船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回到达A、B之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为 7.5千米/小时，水流速度为 2.5千米/小时，A、C码头间的航程为 10千米，求A、B码头间的航程．如果A码头在B、C码头之间，那么A、B码头间的航程又是多少千米？
一、选择题：
1．陈华以8折的优惠价购得一双鞋子节省了20元，则他买鞋子实际用了( )
A．60元 B．80元 C．100元 D．150元
说明：设他买鞋子实际用了x元，则根据题意鞋子的原价则是(x+20)元，因此有(x+20) 80% = x，化简得0.8x+16 = x，解得x = 80，所以答案为B．
2．甲仓库存煤200吨，乙仓库存煤70吨，若甲仓库每天运出15吨煤，乙仓库每天运进25吨煤，几天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍？设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，则有( )
A．2×15x = 25x B．70+25x 15x = 200×2
C．2(200 15x) = 70+25x D．200 15x = 2(70+25x)
说明：乙仓库存煤比甲仓库多1倍，即乙仓库存煤是甲仓库的2倍；根据题意x天后乙仓库的存煤为70+25x，甲仓库x天后的存煤为200 15x，则70+25x = 2(200 15x)，所以正确答案为C．
3．某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个，则可以超额5个，问规定时间是多少？设规定的时间为x，则有( )
A．38x 15 = 42x+5 B．38x+15 = 42x 5
C．42x+38x = 15+5 D．42x 28x = 15 5
说明：每小时生产38个零件，则规定时间可生产38x个零件，总零件数为38x+15；每小时生产42个，规定时间则可生产42x个，总零件数为42x 5，因此，38x+15 = 42x 5，答案为B．
4．三少年年龄之和为33，多少年后三人的年龄之和为现在年龄之和的两倍？设x年后三人年龄之和为现在年龄的2倍，则有( )
A．3x = 2×33 B．3x 33 = 2× 33 C．3x+33 = 2×33 D．3x = 3×33
说明：三个x年后年龄之和比现在增长3x，因此，现在的年龄之和增长3x后，应该是现在年龄之和的两倍，即33+3x = 2×33，答案为C．
二、列方程解应用题：
1．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务，已知甲每小时比乙每小时多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少零件？
解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工(x+2)个零件
由题意得
5(x+2)+4(x+x+2) = 200
∴x = 14，x+2 = 16
答：甲每小时加工16个，乙每小时加工14个零件．
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31株，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多1株，求两班各植树多少株？
解：设甲班植树x株，则乙班植树(31 x)株
由题意得x = 2(31 x)+1
∴x = 21，31 x = 10
答：甲班植树21株，乙班植树10株．
3．某商店购买大件商品实行分期付款，小明的爸爸买了一台9000元的电脑，第一次付款30%，以后每月付450元，需要多长时间才能付完？
解：设需x个月可以付完
则450x+9000×30% = 9000，解得x = 14
答：14个月付完．
4．服装厂要生产某种型号的学生服装一批，已知 3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这样的布料 600m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600 x)m；由题意知
×2 =×3
∴x = 360，600 x = 240
答：取 360m做上衣，剩下做裤子．
5．甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午是3时到达B地；问乙是在什么时间追上甲的？
解：甲从上午6时到下午5时，共11小时走完全程，乙用5小时走完全程
设乙出发后x小时与甲相遇，则x =x+
∴x = 3(小时)(3小时20分钟)
答：在下午1：20分乙追上甲．
6．有一架飞机，最多能在空中连续飞行6h，它在飞出和返回时的速度分别是 900km/h和 850km/h，这架飞机最远飞出多少千米就应返回？(精确到 1km)
解：设最远飞出s km就应返回；
则+= 6
∴s = 2622.857
∴取s = 2622
答：飞机飞出的最远距离为2622 km．
7．某校组织初一学生外出进行科技活动，需租用客车若干辆，现有50座的和45座的两种客车，若租用50座的客车刚好坐满，若租用同样数量的45座的客车则有30人无座位．
(1)初一年级有多少学生？
(2)若50座、45座车的日租金分别为每辆300元和250元，且只能租用一种型号的客车，哪种方案合算？
解析：(1)设计划租用50座客车x辆，则初一学生人数为50x，按租用45座客车计算，初一学生人数为45x+30．由题意得
50x = 45x+30
5x = 30
x = 6．
∴初一学生人数为50×6 = 300．
另法：设初一学生人数为x，则需租用50座客车辆，从总人数中减去30，需租用45座客车的辆数是，由题意得
=
9x = 10(x 30)
9x = 10x 300
x = 300．
评注：这两种解法中，应用的等量关系分别是初一学生的人数，租用客车的辆数．
(2)∵租用50座客车的总租金是300×6 = 1800(元)
租用45座客车的总租金是250×(6+1) = 1750(元)
∴租用45座客车7辆合算．
8．某售楼中心对某住宅楼的标价是：基价为2580元/m2，楼层差价如下表：(“+”表示上浮，“ ”表示下浮)．
某人买了面积为 90平方米的三楼，若他花同样多的钱去买六楼，则可多买几平方米？
解析：设买六楼可多买x平方米，则买(90+x)平方米的六楼的房花钱2580×(1 10%)×(90+x)元，这钱数和买 90平方米三楼房花钱2580×(1+18%)×90元相等．
于是得
2580×(1 10%)×(90+x) = 2580×(1+18%)×90
0.9×(90+x) = 1.18×90
81+0.9x = 106.2
0.9x = 25.2
x = 28．
答：买六楼房子可多买 28平方米．
9．航船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回到达A、B之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为 7.5千米/小时，水流速度为 2.5千米/小时，A、C码头间的航程为 10千米，求A、B码头间的航程．如果A码头在B、C码头之间，那么A、B码头间的航程又是多少千米？
解析：当C在A、B间时，如图
设B、C间的航程为x千米，则航船从A到B顺流而下的时间时小时，然后从B到C逆流而上的时间是小时，由题意得
+= 7
+=7
(10+x)+2x = 70
3x = 60
x = 20
x+10 = 30
解析：当A在B、C间时，如图
设A、B间的航程为x千米，则航船从A到B顺流而下的时间是小时，然后从B到C逆流而上的时间是小时，由题意得
+= 7
+= 7
x+2(10+x) = 70
x+20+2x = 70
3x = 50
x = 16．
答：当C在A、B间时，A、B间的航程是 30千米；当A在B、C间时，A、B间的航程是 16 千米．
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实际问题与一元一次方程
教学目标
（1）建立实际问题的方程模型，运用一元一次方程分析和解决实际问题．
（2）根据问题的实际背景进行检验，利用方程进行简单推理判断．
价值．
教学重点、难点：
重点：建立实际问题的方程模型，运用一元一次方程分析和解决实际问题．
难点：正确地建立方程．
一、创设情景
男生都喜欢看NBA，激烈的对抗中比分交替上升，最终由积分显示牌上的各队积分进行排位.下面我们来看一个2000赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜……
二、提出并解决问题：
想一想
（1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
如果一个队胜m场， 则负＿＿＿＿＿＿场，
胜场积分为 ＿＿＿＿＿＿，负场积分为＿＿＿＿＿＿
总积分为 ＿＿＿＿＿＿
议一议
（2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
设一个队胜了x场，则负了＿＿＿＿＿＿场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程 ＿＿＿＿＿＿
计算得 ＿＿＿＿＿＿
问题：x表示什么量？它可以是分数吗？
x表示某队获胜的场数，它应该是自然数，不能是分数22/3．所以x=22/3不符合实际．
问题：由此你得出什么结论？
可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分．
（3） 问题：“观察积分表，你能选择出其中一行说明负一场积几分吗？”
设胜一场积x分的话，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值
从第一行得出方程：
18x+1×4=40
由此得出
x=2
用表中其他行可以验证，得出结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
小注：（！）
（2）
三 总结质疑：
这节课有哪些收获？你还有哪些问题？
四 练习尝试
《A》大家一起做
一、选择题：
1．陈华以8折的优惠价购得一双鞋子节省了20元，则他买鞋子实际用了( )
A．60元 B．80元 C．100元 D．150元
2．甲仓库存煤200吨，乙仓库存煤70吨，若甲仓库每天运出15吨煤，乙仓库每天运进25吨煤，几天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍？设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，则有( )
A．2×15x = 25x B．70+25x 15x = 200×2
C．2(200 15x) = 70+25x D．200 15x = 2(70+25x) ．
3．某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个，则可以超额5个，问规定时间是多少？设规定的时间为x，则有( )
A．38x 15 = 42x+5 B．38x+15 = 42x 5
C．42x+38x = 15+5 D．42x 28x = 15 5
4．三少年年龄之和为33，多少年后三人的年龄之和为现在年龄之和的两倍？设x年后三人年龄之和为现在年龄的2倍，则有( )
A．3x = 2×33 B．3x 33 = 2× 33
C．3x+33 = 2×33 D．3x = 3×33
〈B〉相信你能行
二、列方程解应用题：
1．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务，已知甲每小时比乙每小时多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少零件？
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31株，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多1株，求两班各植树多少株？
3．某商店购买大件商品实行分期付款，小明的爸爸买了一台9000元的电脑，第一次付款30%，以后每月付450元，需要多长时间才能付完？
4．服装厂要生产某种型号的学生服装一批，已知 3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这样的布料 600m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
5．甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午是3时到达B地；问乙是在什么时间追上甲的？
6．有一架飞机，最多能在空中连续飞行6h，它在飞出和返回时的速度分别是 900km/h和 850km/h，这架飞机最远飞出多少千米就应返回？(精确到 1km)
7．某校组织初一学生外出进行科技活动，需租用客车若干辆，现有50座的和45座的两种客车，若租用50座的客车刚好坐满，若租用同样数量的45座的客车则有30人无座位．
(1)初一年级有多少学生？
(2)若50座、45座车的日租金分别为每辆300元和250元，且只能租用一种型号的客车，哪种方案合算？
8．某售楼中心对某住宅楼的标价是：基价为2580元/m2，楼层差价如下表：(“+”表示上浮，“ ”表示下浮)．
某人买了面积为 90平方米的三楼，若他花同样多的钱去买六楼，则可多买几平方米？
9．航船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回到达A、B之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为 7.5千米/小时，水流速度为 2.5千米/小时，A、C码头间的航程为 10千米，求A、B码头间的航程．如果A码头在B、C码头之间，那么A、B码头间的航程又是多少千米？
一、选择题：
1．陈华以8折的优惠价购得一双鞋子节省了20元，则他买鞋子实际用了( )
A．60元 B．80元 C．100元 D．150元
说明：设他买鞋子实际用了x元，则根据题意鞋子的原价则是(x+20)元，因此有(x+20) 80% = x，化简得0.8x+16 = x，解得x = 80，所以答案为B．
2．甲仓库存煤200吨，乙仓库存煤70吨，若甲仓库每天运出15吨煤，乙仓库每天运进25吨煤，几天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍？设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，则有( )
A．2×15x = 25x B．70+25x 15x = 200×2
C．2(200 15x) = 70+25x D．200 15x = 2(70+25x)
说明：乙仓库存煤比甲仓库多1倍，即乙仓库存煤是甲仓库的2倍；根据题意x天后乙仓库的存煤为70+25x，甲仓库x天后的存煤为200 15x，则70+25x = 2(200 15x)，所以正确答案为C．
3．某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个，则可以超额5个，问规定时间是多少？设规定的时间为x，则有( )
A．38x 15 = 42x+5 B．38x+15 = 42x 5
C．42x+38x = 15+5 D．42x 28x = 15 5
说明：每小时生产38个零件，则规定时间可生产38x个零件，总零件数为38x+15；每小时生产42个，规定时间则可生产42x个，总零件数为42x 5，因此，38x+15 = 42x 5，答案为B．
4．三少年年龄之和为33，多少年后三人的年龄之和为现在年龄之和的两倍？设x年后三人年龄之和为现在年龄的2倍，则有( )
A．3x = 2×33 B．3x 33 = 2× 33 C．3x+33 = 2×33 D．3x = 3×33
说明：三个x年后年龄之和比现在增长3x，因此，现在的年龄之和增长3x后，应该是现在年龄之和的两倍，即33+3x = 2×33，答案为C．
二、列方程解应用题：
1．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务，已知甲每小时比乙每小时多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少零件？
解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工(x+2)个零件
由题意得
5(x+2)+4(x+x+2) = 200
∴x = 14，x+2 = 16
答：甲每小时加工16个，乙每小时加工14个零件．
2．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31株，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多1株，求两班各植树多少株？
解：设甲班植树x株，则乙班植树(31 x)株
由题意得x = 2(31 x)+1
∴x = 21，31 x = 10
答：甲班植树21株，乙班植树10株．
3．某商店购买大件商品实行分期付款，小明的爸爸买了一台9000元的电脑，第一次付款30%，以后每月付450元，需要多长时间才能付完？
解：设需x个月可以付完
则450x+9000×30% = 9000，解得x = 14
答：14个月付完．
4．服装厂要生产某种型号的学生服装一批，已知 3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这样的布料 600m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600 x)m；由题意知
×2 =×3
∴x = 360，600 x = 240
答：取 360m做上衣，剩下做裤子．
5．甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午是3时到达B地；问乙是在什么时间追上甲的？
解：甲从上午6时到下午5时，共11小时走完全程，乙用5小时走完全程
设乙出发后x小时与甲相遇，则x =x+
∴x = 3(小时)(3小时20分钟)
答：在下午1：20分乙追上甲．
6．有一架飞机，最多能在空中连续飞行6h，它在飞出和返回时的速度分别是 900km/h和 850km/h，这架飞机最远飞出多少千米就应返回？(精确到 1km)
解：设最远飞出s km就应返回；
则+= 6
∴s = 2622.857
∴取s = 2622
答：飞机飞出的最远距离为2622 km．
7．某校组织初一学生外出进行科技活动，需租用客车若干辆，现有50座的和45座的两种客车，若租用50座的客车刚好坐满，若租用同样数量的45座的客车则有30人无座位．
(1)初一年级有多少学生？
(2)若50座、45座车的日租金分别为每辆300元和250元，且只能租用一种型号的客车，哪种方案合算？
解析：(1)设计划租用50座客车x辆，则初一学生人数为50x，按租用45座客车计算，初一学生人数为45x+30．由题意得
50x = 45x+30
5x = 30
x = 6．
∴初一学生人数为50×6 = 300．
另法：设初一学生人数为x，则需租用50座客车辆，从总人数中减去30，需租用45座客车的辆数是，由题意得
=
9x = 10(x 30)
9x = 10x 300
x = 300．
评注：这两种解法中，应用的等量关系分别是初一学生的人数，租用客车的辆数．
(2)∵租用50座客车的总租金是300×6 = 1800(元)
租用45座客车的总租金是250×(6+1) = 1750(元)
∴租用45座客车7辆合算．
8．某售楼中心对某住宅楼的标价是：基价为2580元/m2，楼层差价如下表：(“+”表示上浮，“ ”表示下浮)．
某人买了面积为 90平方米的三楼，若他花同样多的钱去买六楼，则可多买几平方米？
解析：设买六楼可多买x平方米，则买(90+x)平方米的六楼的房花钱2580×(1 10%)×(90+x)元，这钱数和买 90平方米三楼房花钱2580×(1+18%)×90元相等．
于是得
2580×(1 10%)×(90+x) = 2580×(1+18%)×90
0.9×(90+x) = 1.18×90
81+0.9x = 106.2
0.9x = 25.2
x = 28．
答：买六楼房子可多买 28平方米．
9．航船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回到达A、B之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为 7.5千米/小时，水流速度为 2.5千米/小时，A、C码头间的航程为 10千米，求A、B码头间的航程．如果A码头在B、C码头之间，那么A、B码头间的航程又是多少千米？
解析：当C在A、B间时，如图
设B、C间的航程为x千米，则航船从A到B顺流而下的时间时小时，然后从B到C逆流而上的时间是小时，由题意得
+= 7
+=7
(10+x)+2x = 70
3x = 60
x = 20
x+10 = 30
解析：当A在B、C间时，如图
设A、B间的航程为x千米，则航船从A到B顺流而下的时间是小时，然后从B到C逆流而上的时间是小时，由题意得
+= 7
+= 7
x+2(10+x) = 70
x+20+2x = 70
3x = 50
x = 16．
答：当C在A、B间时，A、B间的航程是 30千米；当A在B、C间时，A、B间的航程是 16 千米．
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