平方根
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课件27张PPT。第 十 三 章实 数徐学林本章内容13.1 平方根13.2 立方根13.3 实数知识导航
随着人类对数的认识的不断发展，人们从现实世界抽象出一种不同于有理数的数——无理数。有理数和无理数合起来形成一种新的数——实数。本章将从平方根与立方根等说起，学习有关实数的初步知识，并用这些知识解决一些实际问题。
互为逆运算 开 方乘 方平方根立方根开平方开立方知识导航特别注意
本章的热点题型常以填空题、选择题和低档的解答题形式出现。这类试题的难度不大，所占的分数也不多，但在解答这些基础题时，容易失分，究其原因是考生对有关概念的理解似是而非，似懂非懂。因此，在学习和复习时，对有关知识一定要牢固掌握，切勿眼高手低，急于求成。
找规律题、实际应用题，这两类题型是各地中考考题的趋向，因为它们既能考查学生分析问题、解决问题的能力，又有利于学生发散思维的形成。因此希望同学们平时要有意识地加强这方面的训练。
教学目标：
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并
了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算
术平方根。教学重点：
算术平方根的概念。
教学难点：
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？ 5cm问题情景x应该是, 2 = 25 又：面积为16，则边长为 4 ； a5边长所以, 其边长为 5cm 4 面积为9，则边长为 3 ； 3 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 根据正方形的面积公式， 这时，可设其边长为 x ， 得到 x2 = a . 新知概念如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根. 就是说, 当 x2 =a 时, 称 x 是 a 的平方根. (a≥0)例练1求下列各数的平方根: ⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69
⑷ ⑸ 2 ⑴解：因为102=100,且(-10)2=100,所以100的平方根为 ±10.下列各数的平方根会是怎样的? ⑴ 121 ⑵ 232 ⑶ (-4)2
⑷ 0 ⑸ -25 平方根的情况:⑴一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 想一想 就是它本身0; ⑶负数没有平方根. 例练2口答下列各数的平方根: ⑴ 49 ⑵ 1600 ⑶ 196 ⑺ 0 ⑻ 0.09 ⑼ 1.44 ⑽ 0.81 ⑾ 0.0121 ⑿ 1.69 辨一辨 下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √⑵ ±7是49的平方根 ; ( ) √⑶ 112的平方根是11; ( ) ×⑷ -9是81的平方根; ( ) √⑸ 52的平方根是±25; ( ) ×⑹ -9的平方根是 -3; ( ) ×⑺ 0的平方根是 0; ( ) √⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( ) ×⑼ 只有一个平方根的数是0; ( ) √回顾小结1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、相关概念:而a称为x的平方数.即平方根是利用平方数来说的. 任何数都有平方数, 且只有一个; 都有平方根, 根, 3、求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.但并不是任何数只有非负数才有平方根, 负数没有平方且正数的平方根是互为相反数的两个数.例练31. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B±8 36 ±9 思维拓展求下列各式中的x: 1. x2=16 2. 64x2=25 3. (x-1)2=9 x=±4 x=± x-1=±3 x=4 或x= -2 1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、口答下列数的平方根:知识精要3、平方根的情况:⑴一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根. （例: x2=49 =±7) 新知概念正数 a 的正的平方根叫做a的算术 平方根， , 读作：根号a a 称为被开方数. 注：1. 被开方数应为非负数的条件. 算术平方根的意义：（a≥0）算术平方根具有双重非负性≥0 正数的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根。0的算术平方根是0 ，即 例练11. 求下列各数的算术平方根: ⑴ 196 ⑵ 0.09 ⑶ 0
⑷ ⑸ 2 ⑹(-5)2⑴解：2. 口答下列各式的值: 100-12±0.23例练2计算下列各数的算术平方根: ⑴ 2 ⑵ 529 ⑶ 1225 ⑷ 44.81 注: 对不是平方数的数和较大的数通常利用计算器 操作求它的算术平方根, 近似数常取四个有效数字.≈1.414 解:=23 =35 ≈6.694 操作: ≈7.071 ≈6.557 = 9= 0≈11.09 ≈31.62 ≈2.646 试一试 比较: ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 0 ＜ 7 ＜ 43 ＜ 50 ＜ 81 ＜ 123 ＜ 1000 x x 的值随着x的增大而增大。 结论: 叙述: 非负数的算术平方根随着被开方数
的增大而增大。 例练3估算下列各值在哪两个整数之间: 解:∵1 <2 <4 注: 一般先找出被开方数前后的两个完全平方数, 再进行算术平方根的比较估算. 回顾小结1、算术平方根与平方根:算术平方根是平方根中正的一个值, 平方根一般有互为相反数的两个值.3、进行算术平方根估值时, 先找出被开方数的前后 只有一个值; 2、计算器操作算术平方根时, 根据精度要求取小数, 没有要求的默认取四个有效数字.两个完全平方数, 再根据非负数的算术平方根随被开方数的增大而增大进行估算.平方根与算术平方根的联系与区别
联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为
± ，正数a的算术平方根表示为 .
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.填一填 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 身的数是______. 0 0 、1 2. 4的平方是_____; 4的平方根是_____. 16 ±2 3 ±2 5 -6 ±7 5. 81的算术平方根是____; (-9)2的平方根是____.9 81 ±9 ±3 ±9 2 4 求一个数a的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root)，其中a叫被开方数. 我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答. 我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 谢 谢 !
随着人类对数的认识的不断发展，人们从现实世界抽象出一种不同于有理数的数——无理数。有理数和无理数合起来形成一种新的数——实数。本章将从平方根与立方根等说起，学习有关实数的初步知识，并用这些知识解决一些实际问题。
互为逆运算 开 方乘 方平方根立方根开平方开立方知识导航特别注意
本章的热点题型常以填空题、选择题和低档的解答题形式出现。这类试题的难度不大，所占的分数也不多，但在解答这些基础题时，容易失分，究其原因是考生对有关概念的理解似是而非，似懂非懂。因此，在学习和复习时，对有关知识一定要牢固掌握，切勿眼高手低，急于求成。
找规律题、实际应用题，这两类题型是各地中考考题的趋向，因为它们既能考查学生分析问题、解决问题的能力，又有利于学生发散思维的形成。因此希望同学们平时要有意识地加强这方面的训练。
教学目标：
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并
了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算
术平方根。教学重点：
算术平方根的概念。
教学难点：
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？ 5cm问题情景x应该是, 2 = 25 又：面积为16，则边长为 4 ； a5边长所以, 其边长为 5cm 4 面积为9，则边长为 3 ； 3 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 根据正方形的面积公式， 这时，可设其边长为 x ， 得到 x2 = a . 新知概念如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根. 就是说, 当 x2 =a 时, 称 x 是 a 的平方根. (a≥0)例练1求下列各数的平方根: ⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69
⑷ ⑸ 2 ⑴解：因为102=100,且(-10)2=100,所以100的平方根为 ±10.下列各数的平方根会是怎样的? ⑴ 121 ⑵ 232 ⑶ (-4)2
⑷ 0 ⑸ -25 平方根的情况:⑴一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 想一想 就是它本身0; ⑶负数没有平方根. 例练2口答下列各数的平方根: ⑴ 49 ⑵ 1600 ⑶ 196 ⑺ 0 ⑻ 0.09 ⑼ 1.44 ⑽ 0.81 ⑾ 0.0121 ⑿ 1.69 辨一辨 下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √⑵ ±7是49的平方根 ; ( ) √⑶ 112的平方根是11; ( ) ×⑷ -9是81的平方根; ( ) √⑸ 52的平方根是±25; ( ) ×⑹ -9的平方根是 -3; ( ) ×⑺ 0的平方根是 0; ( ) √⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( ) ×⑼ 只有一个平方根的数是0; ( ) √回顾小结1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、相关概念:而a称为x的平方数.即平方根是利用平方数来说的. 任何数都有平方数, 且只有一个; 都有平方根, 根, 3、求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.但并不是任何数只有非负数才有平方根, 负数没有平方且正数的平方根是互为相反数的两个数.例练31. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B±8 36 ±9 思维拓展求下列各式中的x: 1. x2=16 2. 64x2=25 3. (x-1)2=9 x=±4 x=± x-1=±3 x=4 或x= -2 1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、口答下列数的平方根:知识精要3、平方根的情况:⑴一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根. （例: x2=49 =±7) 新知概念正数 a 的正的平方根叫做a的算术 平方根， , 读作：根号a a 称为被开方数. 注：1. 被开方数应为非负数的条件. 算术平方根的意义：（a≥0）算术平方根具有双重非负性≥0 正数的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根。0的算术平方根是0 ，即 例练11. 求下列各数的算术平方根: ⑴ 196 ⑵ 0.09 ⑶ 0
⑷ ⑸ 2 ⑹(-5)2⑴解：2. 口答下列各式的值: 100-12±0.23例练2计算下列各数的算术平方根: ⑴ 2 ⑵ 529 ⑶ 1225 ⑷ 44.81 注: 对不是平方数的数和较大的数通常利用计算器 操作求它的算术平方根, 近似数常取四个有效数字.≈1.414 解:=23 =35 ≈6.694 操作: ≈7.071 ≈6.557 = 9= 0≈11.09 ≈31.62 ≈2.646 试一试 比较: ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 0 ＜ 7 ＜ 43 ＜ 50 ＜ 81 ＜ 123 ＜ 1000 x x 的值随着x的增大而增大。 结论: 叙述: 非负数的算术平方根随着被开方数
的增大而增大。 例练3估算下列各值在哪两个整数之间: 解:∵1 <2 <4 注: 一般先找出被开方数前后的两个完全平方数, 再进行算术平方根的比较估算. 回顾小结1、算术平方根与平方根:算术平方根是平方根中正的一个值, 平方根一般有互为相反数的两个值.3、进行算术平方根估值时, 先找出被开方数的前后 只有一个值; 2、计算器操作算术平方根时, 根据精度要求取小数, 没有要求的默认取四个有效数字.两个完全平方数, 再根据非负数的算术平方根随被开方数的增大而增大进行估算.平方根与算术平方根的联系与区别
联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为
± ，正数a的算术平方根表示为 .
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.填一填 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 身的数是______. 0 0 、1 2. 4的平方是_____; 4的平方根是_____. 16 ±2 3 ±2 5 -6 ±7 5. 81的算术平方根是____; (-9)2的平方根是____.9 81 ±9 ±3 ±9 2 4 求一个数a的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root)，其中a叫被开方数. 我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答. 我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 谢 谢 !