（新人教a版必修4）数学：《3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式》一课一练1

3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式
一、选择题：
1．sincos－cossin的值是( )
A．－ B． C．－sin D．sin
2．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
二、解答题
3．已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．
4．已知非零常数a、b满足=tan，求．
5．已知０＜α＜，sin（－α）=，求的值．
6．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．[来源:21世纪教育网]
7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2．试判断此三角形的形状特征．
[来源:21世纪教育网]
8．化简．
9． 求值：（1）sin75°；
（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．
10． 求sincos－sinsin的值．
11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B）
12． 已知＜α＜β＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．
13． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°+ sin80°·sin40°的值．
14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．
15． 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，
（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；
（2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值．
参考答案
1．B 2． C
3．解：∵＜α＜，
∴＜+α＜π．
又cos（+α）=－，
∴sin（+α）=．
∵0＜β＜，
∴＜+β＜π．
又sin（+β）=，21世纪教育网
∴cos（+β）=－，
∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］
=－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］
=－［×（－）－×］=．
4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出，用、的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可．
解：由于，则．
整理，有=tan=．
5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（+α）+（－α）=，并且（+α）－（－α）=2α．
解：cos（+α）=cos［－（－α）］=sin（－α）=，
又由于０＜α＜，
则0＜－α＜，＜+α＜．
所以cos（－α）=，
sin．
因此
=
=．
6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．
欲求的值，需化切为弦，即，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值．
解：∵sin（α+β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=． ①
∵sin（α－β）=，∴sinαcosβ－cosαsinβ=． ②
由（①+②）÷（①－②）得=－17．
7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征．
解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，
可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，
即lgsinA=lg2sinBcosC，21世纪教育网
sinA=2sinBcosC．
根据内角和定理，A+B+C=π，
∴A=π－（B+C）．
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC．
移项化为sinCcosB－sinBcosC=0，
即sin（B－C）=0．
∴在△ABC中，C=B．
∴△ABC为等腰三角形．
8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式．
解：
=
=
=
=2－．
9．解：（1）原式=sin（30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=
．
（2）原式= sin（13°+17°）=sin30°=．
10．解：观察分析这些角的联系，会发现=－．
sincos－sinsin
=sincos－sin（－）sin
=sincos－cossin
=sin（－）
=sin
=．
11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，∠ACB=α－β＝γ（0＜γ＜），
则tanα=，tanβ=（x＞0，＞0）．
所以tanγ=tan（α－β）=≤．
当且仅当x=，即x=时，上述等式成立．又0＜γ＜，tanγ为增函数，所以当x=时，tanγ达到最大，从而∠ACB达到最大值arctan．
所以边锋C距球门AB所在的直线距离为时，射门可以命中球门的可能性最大．
12．解：此题考查“变角”的技巧．由分析可知2α=（α－β）+（α+β）．
由于＜α＜β＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜．
∴cos（α+β）=－，sin（α－β）=．
∴sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］
=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）
=（－）·+（－）·
=－．
13．证明：sin（α+β）sin（α－β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）
=sin2αcos2β－cos2αsin2β
=sin2α（1－sin2β）－（1－sin2α）sin2β
=sin2α－sin2αsin2β－sin2β+sin2αsin2β[来源:21世纪教育网]
=sin2α－sin2β，
所以左边=右边，原题得证．
计算sin220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系．经观察可知80°=60°+ 20°，40°=60°－20°，
所以sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin（60°+20°）·sin（60°－20°）
=sin220°+sin260°－sin220°
=sin260°
=．
分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．
14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·
=［2sin50°+sin10°（1+）］·
=［2sin50°+sin10°（）］·
=（2sin50°+2sin10°·）·cos10°
=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）
=2sin60°=．
15．解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，
则t2=1+2sinxcosx．
∴2sinxcosx=t2－1．
∴y=t2+t+1=（t+）2+∈［，3+］
∴ymax=3+，ymin=．
（2）若x∈［0，］，则t∈［1，］．
∴y∈［3，3+］，
即ymax=3+ymin=3．