（新人教a版必修4）数学：1.2.1任意角的三角函数示范教案
文档属性
| 名称 | （新人教a版必修4）数学：1.2.1任意角的三角函数示范教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 80.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-15 19:56:00 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.1任意角的三角函数
教学目的：
1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义；
2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；
3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）；
4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。
教学重点、难点
重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值
难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲授新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
21世纪教育网
注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样.
3．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
4．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
5．当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角
的终边或其反向延长线交与点.
21世纪教育网
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
三、典型例题
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
；
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以21世纪教育网
， ， ，
（2）因为当时，，，所以
， ， ，
（3）因为当时，，，所以
， ， 不存在。
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；
；
当；
；．
例4． 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
…………Ⅲ、Ⅳ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
例5．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan
解： 如图可知：
[来源:21世纪教育网]
tan tan
四、课堂练习：
课本第17页练习第1、2、3、5、6题
五、课堂小结
本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式；
4、三角函数线。
六、作业
课本第23页习题第7、9题21世纪教育网
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
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1.2.1任意角的三角函数
教学目的：
1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义；
2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；
3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）；
4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。
教学重点、难点
重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值
难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲授新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
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注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样.
3．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
4．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
5．当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角
的终边或其反向延长线交与点.
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由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
三、典型例题
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
；
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以21世纪教育网
， ， ，
（2）因为当时，，，所以
， ， ，
（3）因为当时，，，所以
， ， 不存在。
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；
；
当；
；．
例4． 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
…………Ⅲ、Ⅳ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
例5．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan
解： 如图可知：
[来源:21世纪教育网]
tan tan
四、课堂练习：
课本第17页练习第1、2、3、5、6题
五、课堂小结
本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式；
4、三角函数线。
六、作业
课本第23页习题第7、9题21世纪教育网
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
A
B
o
T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
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