（新人教a版必修4）数学：2.4《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案
文档属性
| 名称 | （新人教a版必修4）数学：2.4《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 51.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-15 19:56:00 | ||
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文档简介
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第二章 平面向量
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 21世纪教育网
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a) b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，[来源:21世纪教育网]
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
1、 设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)[来源:21世纪教育网]
2、 向量垂直的判定
设，，则
3、 两向量夹角的余弦（）
cos =
4、 讲解范例：
5、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝[来源:21世纪教育网]
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
6、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或
C.或? D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
7、 小结（略）
8、 课后作业（略）[来源:21世纪教育网]
9、 板书设计（略）
10、 课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
C
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第二章 平面向量
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 21世纪教育网
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a) b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，[来源:21世纪教育网]
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
1、 设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)[来源:21世纪教育网]
2、 向量垂直的判定
设，，则
3、 两向量夹角的余弦（）
cos =
4、 讲解范例：
5、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝[来源:21世纪教育网]
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
6、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或
C.或? D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
7、 小结（略）
8、 课后作业（略）[来源:21世纪教育网]
9、 板书设计（略）
10、 课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
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