（新人教a版必修4）数学：第一章《三角函数》教案1
文档属性
| 名称 | （新人教a版必修4）数学：第一章《三角函数》教案1 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 289.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-15 19:56:00 | ||
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文档简介
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人教A版数学必修4 第一章 三角函数教学设计
一、教材分析
1、本单元教学内容的范围
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
1.2.2 单位圆与三角函数线
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.2.4 诱导公式
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
1.3.3 已知三角函数值求角
本章知识结构如下：
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标
（1）任意角的概念、弧度制
了解任意角的概念．
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
（2）任意角的三角函数
理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： ，；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
（3）三角函数的图像和性质
能结合三角函数的图象或单位圆理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，特别要深入领会三角函数的周期性与最小正周期的意义。
能正确使用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解的实际意义，了解中的参数对函数图象变化的影响以及它们的物理意义，会用变换法说明有关函数图象间的关系。
会用三角函数解决简单的实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要模型，领会它在描述自然界周期现象中的作用。
会由已知三角函数值求角
4、本单元教学内容重点和难点分析
本单元教学内容的重点：任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数的图象和正弦函数图象间的关系。
本单元教学内容的难点：
（1）弧度制概念的建立
一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性；另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。
（2）周期函数的概念
三角函数是学生在中学阶段学习的各类函数中唯一具有周期性的函数，而函数的周期性，由于数学刻画比较抽象，逻辑上比较严谨，所以较难理解。在教学中应遵循从具体到抽象，由简单到复杂，从理解到应用的原则，逐步引入这个概念，加深对这个性质的理解。
（3）正弦型函数的图象变换
由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解，明白不论是图象的平移还是图象的伸缩，中的都是针对而言的，达到真正掌握的目的。
（4）综合运用公式进行求值、化简、证明
在这里，教学难点主要表现为：如何培养学生根据题目的不同特点，选择适当的公式，设计简捷合理的解题方法；初中代数中学习过的算术根、绝对值等基本概念和三角式结合起来，如何使学生适应这种新的变化，顺利地把二者结合起来，并熟练地掌握和应用；如何训练学生减少乃至避免三角计算中的符号错误，最好让学生养成随时判别三角式应取的符号的习惯，并熟练掌握三角函数符号的规律。
5、其他相关问题
（1）原人教版第一册（下）中三角函数相关内容的结构安排：
（一）任意角的三角函数
4．1角的概念的推广
4．2 弧度制
4．3任意角的三角函数
4．4同角三角函数的基本关系式
4．5正弦、余弦的诱导公式
（三）三角函数的图象与性质
4．8 正弦函数、余弦函数的图象与性质
4．9 函数的图象
4．10正切函数的图象与性质
4．11已知三角函数值求角
（2）本单元内容《课标》与《大纲》的目标表述与变化
项目 课标（16课时）[来源:21世纪教育网] 大纲（约24课时）21世纪教育网 区别[21世纪教育网][来源:21世纪教育网]21世纪教育网
必修4-1 第一册（下）第四章（一）（三）
任意角的概念与弧度制 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 由理解任意角的概念改为了解，《课标》降低了要求。增加了“转角”的概念以及旋转的合成与角度的加法运算关系，更加重视算法，鼓励学生使用计算器。
任意角的三角函数 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义.了解如何利用单位圆中 《课标》更加突出三角函数线解决三角问题的作用，所以专门有一节来讲述单位圆与三
任意角的三角函数 中的有向线段表示正弦、余弦和正切，掌握正弦、余弦和正切函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号。借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质。理解同角三角函数的基本关系式： ，借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，并掌握这四组诱导公式的应用。 的有向线段表示正弦、余弦和正切，掌握正弦、余弦和正切函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号，掌握诱导公式一。掌握同角三角函数的基本关系式：，，.掌握正弦、余弦的诱导公式. 角函数线。在这部分内容没有讲诱导公式一，更加注重知识的系统性。《大纲》依据三角函数的定义推出了同角三角函数的基本关系式，而《课标》利用单位圆的直观推导同角三角函数的基本关系式，体现了数形结合的思想。《课标》对诱导公式的写法与《大纲》不同，如将原来的写为现在的，更加突出旋转的合成与对称的关系。尤其是第四组诱导公式的证明，与《大纲》截然不同，使学生初步形成用对称变换思想思考问题的习惯。
三角函数的图像与性质 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，理解周期函数与最小正周期的意义。能正确使用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解的实际意义，了解中的参数对函数图象变化的影响以及它们的物理意义。会由已知三角函数值求角，了解符号，的意义并能正确使用它们。 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，了解周期函数与最小正周期的意义.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义。会由已知三角函数数值求角，并会用符号表示。 《课标》将《大纲》中的4.8,4.9,4.10重新进行整合，完整地研究了正弦及正弦型函数，更加突出重点。
（3）初、高中衔接问题
1. 知识内容的衔接：在初中，三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。受此局限，角度只能限制在0度到90度。而在高中阶段，从函数的角度来研究三角函数，强调的是变化规律。因此，在高中教三角函数时会受到一定的影响。
2. 教学方式的衔接：2007届的这一批学生已经接受了初中三年的课改理念，他们应该更加习惯于“情境——问题——探究——反思——提高”的教学模式，反而是我们老师要努力克服旧的教学模式的影响，真正以学生为主体来设计和组织课堂教学。
3. 学习方式的衔接：学生们已经具备了一定的自主学习、合作学习的能力，也具备了一定的实践与探索的能力。因此，如何保护好并延续学生们的这些学习方式是非常重要的。作为老师，要充分重视学生良好习惯的培养以及学习基本方法的传授。
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
针对不同的教学内容，针对不同学生的实际，针对所处的不同的环境条件，必然会形成不同形式的教学方法。
1. 建议充分利用教材中所提供的问题情境。如在学习角的概念推广，单位圆和三角函数线时所给出的“观览车”的问题情境；书上所附的“思考与讨论”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。
2. 要重视数学思想方法的渗透。本单元的教学应始终贯穿着旋转、对称变换及数形结合的思想方法，使学生初步形成用运动变化的观点以及借助图形的直观性来分析问题、解决问题。
3。恰当地使用信息技术。信息技术应为数学的教与学服务，教学中不应为用信息技术而用，而关键要看其在课堂上能否为教学目标服务，起到传统方法达不到的效果。在本单元，还是有相当多的章节适合使用信息技术。如周期性的教学，函数的图像及其变换，等等。
三、本单元所需教学资源概述
使用计算器解决计算有关弧度制角度制转化的问题、非特殊角求值等问题；使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
四、本单元学时建议
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广 1课时
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 1课时
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义 2课时
1.2.2 单位圆与三角函数线 1课时
1.2.3 同角三角函数的基本关系式 1课时
1.2.4 诱导公式 3课时
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质 3课时
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 2课时
1.3.3 已知三角函数值求角 1课时
本章小结 1课时 （共计16课时）
五. 本章各节的教学设计
1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
五、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、角的概念2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。 1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动） 1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。2、为引入正角与负角的概念做好准备。
新概念产生 1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1 角有正负之分 如：=210 =150 =6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样． 1、教师用多媒体演示角的形成。2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：（1）正角与负角有何本质区别？（2）正角与负角的实际意义有何不同？（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。 1、使学生通过亲手作图获取对新概念的直观印象。2、促使学生从本质上认识角的形成以及角的分类。3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。
新概念形成 2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等 提出问题，学生讨论回答：（1）在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。 学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。
新概念形成 3．终边相同的角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和： 390=30+360 330=30360 30=30+0×360 1470=30+4×360 1770=305×360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1) (2) 是任意角；(3)与之间是“+”号，如-30°，应看成+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍 引导学生观察分析：（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）。（2）试表示出与30终边相同的角。（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。 从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。
讲解范例 例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角解：⑴∵-120 =-360 +240 ，∴240 的角与-140 的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640 =360 +280 ，∴280 的角与640 的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵-950 12’=-3360 +129 48’，∴129 48’的角与-950 12’的角终边相同，它是第三象限角．例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来： 解：(1) S中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．(2) S中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．(3) S中在-360°～720°间的角是-2×360°+363 14’=-356 46’；-1×360°+363 14’=3 14’；0×360°+363 14’=363 14’． 1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学生板演，，其他学生在下面自己完成，针对板演同学所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳。2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法。 1、例1主要让学生学会如何在0°到360°范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。2、例4主要想解决：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。在这里：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。
课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示． 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。
归纳小结 ?从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义. 请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。
课后作业 1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ. 9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900° 本次作业主要涉及以下重要内容：1、正角、负角、象限角的基本概念；2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。 通过作业让学生巩固以下三点：1、角的概念推广后的范围；2、弄清角的分类；3、终边相同的角的集合表示法。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系.2、复习角的概念推广：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．角分为正角、负角、零角。 教师提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？学生回答：② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？学生回答：③ 角的范围是什么？如何分类的？ 温故而知新
概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？通过自学，老师引导，总结1弧度角的定义、角的弧度与角的关系。①1弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 1．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题：① 角的弧度制是如何引入的？② 为什么要引入弧度制？好处是什么？③ 1弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联 1．引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性.2．通过学生自学、老师引导加深学
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．②平角、周角的弧度数：平角= rad、周角=2 rad③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0④角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3．角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1=用弧度制表示弧长及扇形面积公式：① 弧长公式：由公式： 比公式简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 ②扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 系.2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 生对弧度制的理解。3．学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制都是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在圆的半径无关。引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式。4．进一步巩固弧度定义，从不同角度加深学生对弧度制的理解。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例1：（1）把化成弧度（精确到0.001）（2）把化成弧度（用π表示）解：（1）n＝，π＝3.1416； （2）n＝＝67.5； （3）a＝≈0.0175； （4）α＝na＝1.18125 ∴ α≈1.18125 rad 例2： 把化成度解：例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴ ⑵ 1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：① 给变量n和圆周率π的近似值赋值；② 如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③ 计算（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④ 计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。4．例3学生自行完成，若有错误，由学生检查订正.5．例4由学生完成，老师指导 1．让学生跟随老师规范书写格式，加强算法训练。2．让学生掌握换算过程并提高学生计算的准确性.3．弧度制换算为角度制比较简单，注意书写规范一些特殊角的弧度数应加强记忆.5．巩固公式，加强计算。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 ∴例5： 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，由题意： ∴ 或 ∴ =3 或 6．师生共同分析，寻找解决问题的方法 6．弧长公式、扇形面积公式中涉及四个量α、l、r、S 知二求二.让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。
归纳小结 从知识和方法两个方面对本节课进行归纳总结 1．1弧度的定义2．弧度与角度的换算公式（注意算法）3．弧长及扇形面积公式4．引入弧度制的必要性及角的集合与实数集的一一对应关系 学生跟随老师回顾本节课的重点内容
布置作业 练习A的2、3的（1）、（3）、（5）练习B的3、4（2）、5（3）（4）思考：习题1—1B的4、5 巩固本节课所学过的重点内容。 通过完成作业巩固本节知识点，并加强书写训练及提高计算的准确性。
1．21 任意三角函数的定义（一）
一。、教学目标
1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般函数的抽象美。
二、教学重点
（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2） 三角函数的定义域；
（3） 根据任意角的三角函数定义求三角函数值。
（4） 判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 角的概念 初中学过的锐角三角函数的定义 教师运用多媒体展示在初中学习的锐角三角函数的定义。 师：前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。 共同回顾，点明主题
概念形成概念形成概念形成 1．用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 设点P (x,y)是锐角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）, 则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是：
sinα=，cosα=，tanα=。2．任意角的三角函数（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边；；（2）在其终边上任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得： 由此得 三角函数定义如下：叫做角α的余弦，记作cosα ,即cosα=； 叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=； 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=角α的其他三种函数：角α的正割：secα==角α的余割：=角α的余切： = 1．以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。学生作图，教师在此过程中要引导学生在坐标系中作出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形。该过程中要适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与流。回答问题：教师通过多媒体将此过程展示给学生，明确坐标与三角函数的关系。2．教师提出问题：问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意三角的三角函数定义吗？教师一边鼓励学生大胆说出自己的想法，一边组织学生讨论，并及时肯定。回答问题：通过鼓励和肯定一些好的想法，让一位能代表大多数意见的学生主动说出自己对任意角三角函数的定义。问题2：角α的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？这是一个较有思考价值的问题，教师要注意正确地引导和必要地提示，锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关。类似地……（留给学生思考）教师边引导，边结合多媒体演示。问题3.依据函数的定义,这几个比值可以分别构成函数吗 若能构成,它们的自变量是什么 X还是y r还是角α 将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。2、通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。 通过分组讨论，加强学生间的交流与合作，充分发挥学生学习的主动性。
概念深化概念深化 角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数。对于正弦函数sinα=,因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα, 因为x=0时，无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是{α∣α≠kπ+（k∈K）}从而有y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα ,α≠kπ+（k∈K） 对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题：谈到函数，定义域要先行。在此，对三角函数的定义域要进一步明确，确定三角函数的定义域的依据是任意三角函数的定义。三角函数是以角为自变量的函数，如何去确定这些函数的定义域（即限定角的变化范围）？它们的定义域是什么？ 由学生讨论回答。 1、让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的。使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别。任意角的三角函数包含锐角三角函数。实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数定义是一致的，锐角三角函数定义是任意角三角函数定义的特例。所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数定义是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。3、让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。使学生进一步巩固和应用所学知识。
应用举例 已知角α的终边过点P（-2，3），求α的其他三角函数值。求下列各角六个三角函数值：（1）0；（2）π（3） 学生板演，教师对学生在解题思路和规范方面进行指导。 让学生巩固六种三角函数的概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。熟记0到2π范围内的某些特殊角的三角函数值。
归纳小结 知识：三角函数的定义及其定义域。数学思想方法：数形结合思想；类比法。 学生反思本节内容，对知识进行总结，教师对思想方法进行提炼。 让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。
布置作业 层次一：教材练习A，1―3层次二：教材习题1―2A，1，2。 层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平以上的学生完成。 使学生进一步巩固和应用所学知识。
1．21 任意三角函数的定义（二）
一。、教学目标
1．知识目标：
（1）. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
（2）三角函数定义及符号的应用
2．能力目标：（1）培养学生分析数学问题的能力；
（2） 判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
二、教学重点；
（1）判断.三角函数值在各象限内的符号.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2．比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数. 教师提出问题学生回答 温故知新
概念形成 角是“任意角”， 由三角函数定义可知，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦. 在初讲三角函数正负号规律时一定要充分重视让学生明白道理也就是如何确定比值的正负号。要让学生自己去观察、思考、总结。正弦余弦正切函数值的符号是根据这三种函数的定义和各象限内坐标的符号导出的。由学生讨论回答 1让学生从本质上理解任意角三角函数的符号2总结三角函数符号的规律
应用举例 例3 确定下列三角函数值的符号?(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)例4设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角例5已知角终边上一点P（-15a，8a）（a∈R且a≠0）例6当为第二象限角时，求-的值 让学生上黑板板书解题过程，让其他学生给他挑错误 让学生能够准确判断三角函数的符号并能正确的应用
归纳小结 知识上：判断三角函数的符号 让学生谈本节课程的收获并进行反思
布置作业 层次一：P18练习A第4题，练习B第2、3、4题层次二：B组第5题，习题A1-2 第3、5题
1.2.2 单位圆与三角函数线
一、学习目标
(一)知识目标?
1.单位圆的概念.?
2.有向线段的概念.?
3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.?
(二)能力目标?
1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.?
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.?
(三)德育目标?
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
二、教学重点、难点
重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
三、教学方法
（一）讲授法?
讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.?
（二）教具准备?
幻灯片1张：?
多媒体课件：课本P19?图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).?
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题导入 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法? 可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。 三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。
新概念教学 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).?（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).?在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.?显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.?当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：?如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.?如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP与ｙ轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段?于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有?这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.?类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.?注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.?(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.?(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.?(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.? 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.? 充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。 1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。2、单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。3、单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。4、结合图形，引导学生弄清以下几点：（1）三角函数线的位置；（2）三角函数线的方向；（3）三角函数线的正负；
例题讲解 例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。 因此在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。 此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解，
课堂练习 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：（1）（2）（3）（4） 在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为单位共同完成。 加深理解三角函数线的有关知识。
课时小结 ?本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示. 以提纲形式对本节重点内容再总结。 学习单位圆的目的在于利用它解决问题，在教学中，应尽量引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质，这样，不仅有助于加深对于三角函数线的理解，对后续内容的学习也有很大的促进作用。
课后作业 课本第21页A组练习2 本次作业只针对三角函数线知识进行巩固，因此，要求学生保质保量认真完成。 落实本课时的重点，突破难点，抓落实。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
1、 教学目标
知识目标：
1、利用单位圆推导出sin2α+cos2α=1和tanα=，并让学生在推导过程中体会数形结合的思想的应用
2、能让学生学会利用同角三角函数关系式求值、化简、证明
能力目标：
培养学生用数学的思想方法分析和解决数学问题的能力并发展学生的推理能力和运算能力
3、情感目标：
通过关系式的推导和应用让学生自己发现：世界万物之间内在联系
2、 教学重点难点
重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用
难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养
3、 教学方法
本节课采用启发探究教学的方法，通过设置问题引导学生导出公式，近而应用，在应用中注意学生的书写及选择公式是否恰当，通过例题和习题的解决和处理深化对公式的理解记忆及应用的灵活性
4、 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1让学生自己画单位圆给出任意角画出正弦线余弦线2回顾三角函数的定义 师：哪两位同学主动到黑板上画出单位圆中的正余弦线和写出三角函数定义式生甲，生乙 温故知新，通过设疑引导学生思维，为下面公式的推导做好铺垫
公式推导 引导学生自己导出今天的两个重要的三角函数关系式平方关系sin2α+cos2α=1 商数关系tanα= 师：首先观察单位圆正余弦线段和半径所处的三角形形状？生：直角三角形师：那么直角三角形中有什么重要的定理？生：勾股定理：导出平方关系sin2α+cos2α=1师：这个公式还有另外的推导方法吗？生：用定义也可以导出，有学生自己推导，并板书师：tanα和相等吗？生：相等，由定义直接可以得到 利用单位圆推导关系式让学生体会什么是数形结合的思想，该思想在高中课程中无处不在，也让学生体会积极的思维劳动给他们带来的快乐
公式深化理解 1注意是否同角2注意公式的限制条件3公式可以灵活变形 师：sin2α+cos2β =1成立吗？生：不一定成立，因为α和β可能相等也可能不等师：sin24α+cos24α=1成立吗？生：成立师：tanα=有限制条件吗？有：cosα≠0即α≠，K∈Z师：另外公式还可以做一些变形 1强调公式中的同角的重要性否则公式可能不成立，2注意同角不要拘泥与形式α，，6α等等都可以3注意商数关系在应用时的限制条件
公式的应用 例1、已知sinα=，且α是第二象限的角，求cosα,tanα的值例2、已知tanα=-，且α是第二象限的角，求sinα，cosα的值例3、化简例4、求证：练习：选择书上的A、B组题目 例1让学生板书，老师注意提醒学生书写规范特别是在特定象限内函数值的符号取舍例2稍难一些，老师板书并讲解如学生能力强可以把平方关系的另外两个公式给学生以节省时间例3让学生板书过程，教师讲解化简的原则，告诉学生何为最简。例4恒等式证明由教师板书 强调特定象限内函数值的符号取舍题目设置贯彻方程的思想强化学生的运算能力给出恒等式证明的方法让学生体会恰当选用，让学生了解何为分析法证明及证明步骤4、在应用中理解记忆公式
归纳小结 在知识和思想方法两方面进行总结（也可以让学生简单总结这两方面） 在课堂上师生在语言和形体语言上多交流，提问覆盖面要尽量做到少留死角，让你的关注和爱滋润你的每一个教育对象 1让学生清楚我们今天学习了什么2用到了什么数学的思想方法3学习过程中需要注意什么
课后作业 P25A组练习 1、3、4思考：1+tan2α、1+cot2α、sec2α、csc2α这四个式子是否存在相等关系？
课后反思 课后填写
1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握+，-角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 初中我们已经会求锐角的三角函数值。和30°、45°、60°终边相同的角如何表示？ 本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。 教师提问：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切的三角函数值是多少？学生回答我们如何求360°、390°、－315°的三角函数值呢？ 温故知新
公式导入 1.公式(一) （其中）诱导公式（一）的作用：把把绝对值大于360 的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数问题转化为绝对值小于360 角的正弦、余弦、正切三角函数问题，其方法是先在绝对值小于360 角找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果2．公式（二）: 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P (x，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα公式二的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P 的坐标是关键，这里充分利用了对称性质．事实上，在图1，点P 与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．公式(三) 由公式（一）可以看出，角和加上偶数倍的所有三角函数值相等。角和加上奇数倍的正，余弦值互为相反数； 角和加上奇数倍的正切函数值相等。 让学生在单位圆中画出α角与－α角，观察两个角的位置关系。引导学生在单位圆中画出α角与π＋α角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三） 1．根据任意角的三角函数定义可知两个角若终边相同，那么它们的三角函数值也应该相同。由此导出公式（一）2．学生在单位圆中画出α角与－α角，观察出角的终边关于x轴对称，结合三角函数定义可得到公式（二）3．利用角的终边在单位圆中的不同位置关系而得到相应的诱导公式。
应用举例 例1．下列三角函数值： （1）cos210 ； (2)sin解：（1）cos210 =cos(180 +30 )=－cos30 =－；（2）sin=sin()=－sin=－例2．求下列各式的值： （1）sin(－)；(2)cos(－60 )－sin(－210 )解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；（2）原式=cos60 +sin(180 +30 )=cos60 －sin30 =－=0例3．化简解：原式 = ==－1例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．（A） (B) (C)－ (D)±选A 分析：本题是诱导公式三的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180 +或（π+），为锐角即可．分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式二把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式三把它们化为锐角的正弦、余弦来求．分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式三把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和二把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函数的平方关系即可．
课堂练习 1．求下式的值：2sin(－1110 ) －sin960 +答案：－2提示：原式=2sin(－30 )+sin60 －=－22．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C 选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用．使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度． 加强格式的规范化，减少计算错误。
课堂小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性． 本节课我们学习了哪些诱导公式？它们角的终边具有什么几何特征？如何记住公式？ 师生共同回顾本节课所学习的诱导公式，加强记忆，熟能生巧。
布置作业 练习A、练习B 通过完成作业巩固诱导公式的（一）、（二）、（三），达到熟练运用。 记准公式，计算准确
1.2.4 诱导公式（二）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握+，角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习提问： 诱导公式（一），（二）及（三）的内容公式(一) （其中）公式二: 公式(三) 学生默写 温故知新
新课讲授 公式（四） 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。 1、在上一课时的基础上，可以请学生先讨论探索性的进行讲解，充分发挥学生学习的潜能，既有助于激发学习数学的积极性，又便于在学生的讲解过程中发现他们理解知识上的不足，最后再由老师进行纠正和深入讲解。
例题讲解归纳小结 例1 求证：证： 左边 = 右边 ∴等式成立例2 例3 解： 从而例4 解： 四、课堂练习：1．计算：sin315sin(480)+cos(330) 解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30)= sin45 + sin60 + cos30 =2．已知解： 3．求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：∴原式成立4．已知方程sin( 3) = 2cos( 4)，求的值。解： ∵sin( 3) = 2cos( 4) ∴ sin(3 ) = 2cos(4 )∴ sin( ) = 2cos( ) ∴sin = 2cos 且cos 0 ∴5．已知解：由题设： 由此：当a 0时，tan < 0, cos < 0, 为第二象限角， 当a = 0时，tan = 0, = k, ∴cos = ±1， ∵ ∴cos = 1 , 综上所述：6．若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0∴∵ 1≤sinx≤1 ∴； ∴a的取值范围是[]五、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“ ”公式化为正角的三角函数；2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数六、课后作业：习题及补充练习七、板书设计 以教师适当的分析为主，学生自练为辅。 1、例题1-3主要是对诱导公式（一）和（四）的直接运用，检验学生是否已正确掌握，既是检测，又是下一步教学的辅助。2、例2是一道综合性较强的题目，既有对诱导公式的灵活应用，又有与函数知识的结合，意在使学生建立知识之间的综合练习。3、课堂练习仍然紧紧围绕本节的重点内容设置，因此，主要以学生自练为主，适当可以小组为单位进行互查，对于习题的解答过程中反映出来的错误，及时给予纠正，同时，对解答步骤也必须给予规范。4、作业的布置照顾到了不同层次学生的需求，既有对基础知识的巩固反馈，又有对前面所学知识的综合练习。
1.2.4 诱导公式（三）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
复习课。通过由浅入深的例题，讲练结合。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习提问： 四组诱导公式的内容 老师提问，学生回答。 温故知新
例题讲授 例1．求下列三角函数的值(1) sin240 ； (2)；(3) cos(-252 )；(4) sin（-）解：（1）sin240 =sin(180 +60 )＝－sin60 =(2) =cos==；(3) cos(-252 )=cos252 = cos(180 +72 )=－cos72 =－03090；(4) sin（-）=－sin=－sin=sin=例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119 45′)；(2)cos；(3)cos(-150 )；(4)sin解：(1)sin(－119 45′)=－sin119 45′=－sin(180 -60 15′)= －sin60 15′=－08682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150 )=cos150 =cos(180 -30 ) =－cos30 =；(4)sin=sin()=－sin=例3．求值：sin－cos－sin略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+cos+sin =++03090=13090 例4．求值：sin(-1200 )·cos1290 +cos(-1020 )·sin(-1050 )+tan855 解：原式＝－sin(120 +3·360 )cos(210 +3·360 )+cos(300 +2·360 )[-sin(330 +2·360 )]+tan(135 +2·360 )＝－sin120 ·cos210 －cos300 ·sin330 +tan135 ＝－sin(180 －60 )·cos(180 +30 )－ cos(360 －60 )·sin(360 -30 )+=sin60 ·cos30 +cos60 ·sin30 －tan45 =·+·-1=0例5．化简：略解：原式===1例6．化简：解：原式== = =例7．求证：证明：左边= === =，右边==，所以，原式成立．例8．求证证明：左边＝ ＝＝tan3α＝右边，所以，原式成立．例9．已知．求：的值．解：已知条件即， 又，所以：=例10．已知,求:的值解：由，得，所以故 ==1＋tan＋2tan2=1+例11．已知的值．解：因为，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan= 例12．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 ===三、课堂练习：1．已知sin(+π)＝ －，则的值是（ ）（A） (B) －2 (C)－ (D)±2．式子的值是 （ ）（A） (B) (C) (D)- 3．，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)- cos(C)sin(+γ)-cos(-β)tanβ (D)cos(2β+γ)+ cos24．已知：集合，集合，则P与Q的关系是 （ ）．（A）PQ (B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ5．已知对任意角均成立．若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）．（A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x6．已知，则的值等于 ．7．= ．8．化简：所得的结果是 ．9．求证．10．设f(x)=， 求f ()的值．答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．± 7．0 8．－2cosα9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所以左边=右边．10．．提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x．故f()=．四、小结 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。五、课后作业： 学生先做，老师对答案。重点问题 重点讲解。学生观察分析，老师启发，边讲边练。 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题是公式二，三的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=-（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．
1.3.1正弦函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）掌握“五点法”、“几何法”、“图像变换法”做出正弦函数及正弦型函数的图象；
（2）理解正弦函数及正弦型函数的图象与性质；
（3）了解的实际意义；了解中参数对图像变化的影响以及它们的物理意义。
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据诱导公式推导出正弦函数的图象，根据图像推导相关性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，运用几何画板，研究正弦型函数的图象与性质；
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解正弦函数的图象和性质，难点是，理解弧度值到x轴上点的对应和正弦型函数。
三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程
（参考教材和教学用书自行发挥）
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。
三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习的图象和性质和图象变换的有关知识 教师提出问题，学生回答诱导公式、的图象和性质，函数图象的变换等问题 为学生推导的图象做准备
余弦函数的图象 1、2、图象平移、作图3、找关键点 教师引导，学生自己完成先画出的图象，然后向左平移一个单位即得到y=cosx的图象 推导学生画出余弦函数的图象
余弦函数的性质 定义域：R值域：周期：奇偶性：偶函数单调性： 是减函数； 是减函数；例1、求下列函数的最大值和最小值（1）（2）例2、判断下列函数的奇偶性（1）（2）例3、求函数的周期 教师与学生一起推理，完成：由函数图象观察，定义域，值域，周期，奇偶性，由图象观察并用定义证明单调性：由图象观察，并提醒学生注意书写格式通过例题讲解深化学生的任意，综合学过的知识解决实际问题 引导学生寻找正弦函数的性质，并且利用所学知识，会去研究一些三角函数的性质
正切函数的图象 1、2、利用正切线画出一个周期内的图象3、正切函数图象特点 教师引导，学生自己完成先用三角函数线画出一个周期的图象再平移得到y=tanx的图象 理解正切函数的图象
正切函数的性质 定义域：值域：R周期：奇偶性：奇函数单调性：在开区间是增函数例4、求函数的定义域例5、求函数的周期 教师引导，与学生一起完成由函数图象观察，定义域，值域，周期，奇偶性，由图象观察并用定义证明单调性：由图象观察，并提醒学生注意书写格式通过例题讲解深化学生的任意，综合学过的知识解决实际问题 找出正切函数的性质，并能够利用这些性质和所学知识解决三角函数中的一些问题
归纳小结 从知识方法两方面对本节知识进行总结 让学生来总结知识，进行反思，找出收获，教师归纳 关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获
布置作业 层次一：教材57页，练习A3，4，5层次二：57页教材，练习B3，4，5 作业分两个层次，第一层次要所有学生完成，第二层次要学有余力的学生完成 通过分层教学使学生更好的完成本课学习
1.3.3 已知三角函数值求角
一、教学目标
会由已知三角函数值求角。
二、教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点是：① 根据范围确定有已知三角函数值的角；② 对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③ 用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
三、教学方法
在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。 提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？ 复习旧知识，引入新问题
应用举例 例1、已知，（1）若，求x；（2）若，求x；（3）若，求x的取值集合。 1、学生回答，老师板书，老师及时指出学生解法中的不足。2、进一步将问题深化：① 若，怎么办？② 若sinx=0.3，怎么办？3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正弦，指出前两者不是精确值，应使用第三种。 从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
概念形成 若sin=t，则=arcsint，其中，t[-1 , 1]。 1、让学生思考对、t范围进行限制的理由。2、用反函数的知识解释范围的由来。3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。4、完成sinx=0.3的处理。 强化角的表示，淡化反三角函数概念。
应用举例 例2、（1）已知cosx=0.5，，求x；（2）已知，求x的取值集合；（3）已知tanx=，，求x；（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。巩固练习：练习A 1、3、5 指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。 让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归纳小结 已知三角函数值t求角的解题步骤：（1）确定角所在的象限(有时不止一个象限)。（2）求上的角：1°先求出与对应的锐角；2°根据α所在的象限，求出上的角：若在第一象限，则=若在第二象限，则=π-若在第三象限，则=π+若在第四象限，则=2π-（3）写出所有与终边相同的角。
布置作业 1、练习A 2、4； 练习B 1、2、32、思考：已知余切、正割、余割的三角函数值，怎么求角？ 巩固本节课所学，并引导学生做深一步的思考。
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正角
零角
负角
正实数
零
负实数
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人教A版数学必修4 第一章 三角函数教学设计
一、教材分析
1、本单元教学内容的范围
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
1.2.2 单位圆与三角函数线
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.2.4 诱导公式
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
1.3.3 已知三角函数值求角
本章知识结构如下：
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标
（1）任意角的概念、弧度制
了解任意角的概念．
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
（2）任意角的三角函数
理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： ，；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
（3）三角函数的图像和性质
能结合三角函数的图象或单位圆理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，特别要深入领会三角函数的周期性与最小正周期的意义。
能正确使用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解的实际意义，了解中的参数对函数图象变化的影响以及它们的物理意义，会用变换法说明有关函数图象间的关系。
会用三角函数解决简单的实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要模型，领会它在描述自然界周期现象中的作用。
会由已知三角函数值求角
4、本单元教学内容重点和难点分析
本单元教学内容的重点：任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数的图象和正弦函数图象间的关系。
本单元教学内容的难点：
（1）弧度制概念的建立
一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性；另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。
（2）周期函数的概念
三角函数是学生在中学阶段学习的各类函数中唯一具有周期性的函数，而函数的周期性，由于数学刻画比较抽象，逻辑上比较严谨，所以较难理解。在教学中应遵循从具体到抽象，由简单到复杂，从理解到应用的原则，逐步引入这个概念，加深对这个性质的理解。
（3）正弦型函数的图象变换
由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解，明白不论是图象的平移还是图象的伸缩，中的都是针对而言的，达到真正掌握的目的。
（4）综合运用公式进行求值、化简、证明
在这里，教学难点主要表现为：如何培养学生根据题目的不同特点，选择适当的公式，设计简捷合理的解题方法；初中代数中学习过的算术根、绝对值等基本概念和三角式结合起来，如何使学生适应这种新的变化，顺利地把二者结合起来，并熟练地掌握和应用；如何训练学生减少乃至避免三角计算中的符号错误，最好让学生养成随时判别三角式应取的符号的习惯，并熟练掌握三角函数符号的规律。
5、其他相关问题
（1）原人教版第一册（下）中三角函数相关内容的结构安排：
（一）任意角的三角函数
4．1角的概念的推广
4．2 弧度制
4．3任意角的三角函数
4．4同角三角函数的基本关系式
4．5正弦、余弦的诱导公式
（三）三角函数的图象与性质
4．8 正弦函数、余弦函数的图象与性质
4．9 函数的图象
4．10正切函数的图象与性质
4．11已知三角函数值求角
（2）本单元内容《课标》与《大纲》的目标表述与变化
项目 课标（16课时）[来源:21世纪教育网] 大纲（约24课时）21世纪教育网 区别[21世纪教育网][来源:21世纪教育网]21世纪教育网
必修4-1 第一册（下）第四章（一）（三）
任意角的概念与弧度制 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 由理解任意角的概念改为了解，《课标》降低了要求。增加了“转角”的概念以及旋转的合成与角度的加法运算关系，更加重视算法，鼓励学生使用计算器。
任意角的三角函数 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义.了解如何利用单位圆中 《课标》更加突出三角函数线解决三角问题的作用，所以专门有一节来讲述单位圆与三
任意角的三角函数 中的有向线段表示正弦、余弦和正切，掌握正弦、余弦和正切函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号。借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质。理解同角三角函数的基本关系式： ，借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，并掌握这四组诱导公式的应用。 的有向线段表示正弦、余弦和正切，掌握正弦、余弦和正切函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号，掌握诱导公式一。掌握同角三角函数的基本关系式：，，.掌握正弦、余弦的诱导公式. 角函数线。在这部分内容没有讲诱导公式一，更加注重知识的系统性。《大纲》依据三角函数的定义推出了同角三角函数的基本关系式，而《课标》利用单位圆的直观推导同角三角函数的基本关系式，体现了数形结合的思想。《课标》对诱导公式的写法与《大纲》不同，如将原来的写为现在的，更加突出旋转的合成与对称的关系。尤其是第四组诱导公式的证明，与《大纲》截然不同，使学生初步形成用对称变换思想思考问题的习惯。
三角函数的图像与性质 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，理解周期函数与最小正周期的意义。能正确使用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解的实际意义，了解中的参数对函数图象变化的影响以及它们的物理意义。会由已知三角函数值求角，了解符号，的意义并能正确使用它们。 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，了解周期函数与最小正周期的意义.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义。会由已知三角函数数值求角，并会用符号表示。 《课标》将《大纲》中的4.8,4.9,4.10重新进行整合，完整地研究了正弦及正弦型函数，更加突出重点。
（3）初、高中衔接问题
1. 知识内容的衔接：在初中，三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。受此局限，角度只能限制在0度到90度。而在高中阶段，从函数的角度来研究三角函数，强调的是变化规律。因此，在高中教三角函数时会受到一定的影响。
2. 教学方式的衔接：2007届的这一批学生已经接受了初中三年的课改理念，他们应该更加习惯于“情境——问题——探究——反思——提高”的教学模式，反而是我们老师要努力克服旧的教学模式的影响，真正以学生为主体来设计和组织课堂教学。
3. 学习方式的衔接：学生们已经具备了一定的自主学习、合作学习的能力，也具备了一定的实践与探索的能力。因此，如何保护好并延续学生们的这些学习方式是非常重要的。作为老师，要充分重视学生良好习惯的培养以及学习基本方法的传授。
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
针对不同的教学内容，针对不同学生的实际，针对所处的不同的环境条件，必然会形成不同形式的教学方法。
1. 建议充分利用教材中所提供的问题情境。如在学习角的概念推广，单位圆和三角函数线时所给出的“观览车”的问题情境；书上所附的“思考与讨论”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。
2. 要重视数学思想方法的渗透。本单元的教学应始终贯穿着旋转、对称变换及数形结合的思想方法，使学生初步形成用运动变化的观点以及借助图形的直观性来分析问题、解决问题。
3。恰当地使用信息技术。信息技术应为数学的教与学服务，教学中不应为用信息技术而用，而关键要看其在课堂上能否为教学目标服务，起到传统方法达不到的效果。在本单元，还是有相当多的章节适合使用信息技术。如周期性的教学，函数的图像及其变换，等等。
三、本单元所需教学资源概述
使用计算器解决计算有关弧度制角度制转化的问题、非特殊角求值等问题；使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
四、本单元学时建议
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广 1课时
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 1课时
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义 2课时
1.2.2 单位圆与三角函数线 1课时
1.2.3 同角三角函数的基本关系式 1课时
1.2.4 诱导公式 3课时
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质 3课时
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 2课时
1.3.3 已知三角函数值求角 1课时
本章小结 1课时 （共计16课时）
五. 本章各节的教学设计
1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
五、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、角的概念2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。 1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动） 1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。2、为引入正角与负角的概念做好准备。
新概念产生 1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1 角有正负之分 如：=210 =150 =6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样． 1、教师用多媒体演示角的形成。2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：（1）正角与负角有何本质区别？（2）正角与负角的实际意义有何不同？（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。 1、使学生通过亲手作图获取对新概念的直观印象。2、促使学生从本质上认识角的形成以及角的分类。3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。
新概念形成 2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等 提出问题，学生讨论回答：（1）在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。 学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。
新概念形成 3．终边相同的角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和： 390=30+360 330=30360 30=30+0×360 1470=30+4×360 1770=305×360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1) (2) 是任意角；(3)与之间是“+”号，如-30°，应看成+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍 引导学生观察分析：（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）。（2）试表示出与30终边相同的角。（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。 从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。
讲解范例 例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角解：⑴∵-120 =-360 +240 ，∴240 的角与-140 的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640 =360 +280 ，∴280 的角与640 的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵-950 12’=-3360 +129 48’，∴129 48’的角与-950 12’的角终边相同，它是第三象限角．例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来： 解：(1) S中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．(2) S中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．(3) S中在-360°～720°间的角是-2×360°+363 14’=-356 46’；-1×360°+363 14’=3 14’；0×360°+363 14’=363 14’． 1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学生板演，，其他学生在下面自己完成，针对板演同学所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳。2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法。 1、例1主要让学生学会如何在0°到360°范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。2、例4主要想解决：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。在这里：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。
课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示． 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。
归纳小结 ?从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义. 请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。
课后作业 1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ. 9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900° 本次作业主要涉及以下重要内容：1、正角、负角、象限角的基本概念；2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。 通过作业让学生巩固以下三点：1、角的概念推广后的范围；2、弄清角的分类；3、终边相同的角的集合表示法。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系.2、复习角的概念推广：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．角分为正角、负角、零角。 教师提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？学生回答：② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？学生回答：③ 角的范围是什么？如何分类的？ 温故而知新
概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？通过自学，老师引导，总结1弧度角的定义、角的弧度与角的关系。①1弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 1．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题：① 角的弧度制是如何引入的？② 为什么要引入弧度制？好处是什么？③ 1弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联 1．引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性.2．通过学生自学、老师引导加深学
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．②平角、周角的弧度数：平角= rad、周角=2 rad③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0④角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3．角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1=用弧度制表示弧长及扇形面积公式：① 弧长公式：由公式： 比公式简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 ②扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 系.2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 生对弧度制的理解。3．学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制都是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在圆的半径无关。引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式。4．进一步巩固弧度定义，从不同角度加深学生对弧度制的理解。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例1：（1）把化成弧度（精确到0.001）（2）把化成弧度（用π表示）解：（1）n＝，π＝3.1416； （2）n＝＝67.5； （3）a＝≈0.0175； （4）α＝na＝1.18125 ∴ α≈1.18125 rad 例2： 把化成度解：例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴ ⑵ 1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：① 给变量n和圆周率π的近似值赋值；② 如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③ 计算（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④ 计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。4．例3学生自行完成，若有错误，由学生检查订正.5．例4由学生完成，老师指导 1．让学生跟随老师规范书写格式，加强算法训练。2．让学生掌握换算过程并提高学生计算的准确性.3．弧度制换算为角度制比较简单，注意书写规范一些特殊角的弧度数应加强记忆.5．巩固公式，加强计算。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 ∴例5： 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，由题意： ∴ 或 ∴ =3 或 6．师生共同分析，寻找解决问题的方法 6．弧长公式、扇形面积公式中涉及四个量α、l、r、S 知二求二.让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。
归纳小结 从知识和方法两个方面对本节课进行归纳总结 1．1弧度的定义2．弧度与角度的换算公式（注意算法）3．弧长及扇形面积公式4．引入弧度制的必要性及角的集合与实数集的一一对应关系 学生跟随老师回顾本节课的重点内容
布置作业 练习A的2、3的（1）、（3）、（5）练习B的3、4（2）、5（3）（4）思考：习题1—1B的4、5 巩固本节课所学过的重点内容。 通过完成作业巩固本节知识点，并加强书写训练及提高计算的准确性。
1．21 任意三角函数的定义（一）
一。、教学目标
1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般函数的抽象美。
二、教学重点
（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2） 三角函数的定义域；
（3） 根据任意角的三角函数定义求三角函数值。
（4） 判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 角的概念 初中学过的锐角三角函数的定义 教师运用多媒体展示在初中学习的锐角三角函数的定义。 师：前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。 共同回顾，点明主题
概念形成概念形成概念形成 1．用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 设点P (x,y)是锐角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）, 则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是：
sinα=，cosα=，tanα=。2．任意角的三角函数（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边；；（2）在其终边上任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得： 由此得 三角函数定义如下：叫做角α的余弦，记作cosα ,即cosα=； 叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=； 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=角α的其他三种函数：角α的正割：secα==角α的余割：=角α的余切： = 1．以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。学生作图，教师在此过程中要引导学生在坐标系中作出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形。该过程中要适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与流。回答问题：教师通过多媒体将此过程展示给学生，明确坐标与三角函数的关系。2．教师提出问题：问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意三角的三角函数定义吗？教师一边鼓励学生大胆说出自己的想法，一边组织学生讨论，并及时肯定。回答问题：通过鼓励和肯定一些好的想法，让一位能代表大多数意见的学生主动说出自己对任意角三角函数的定义。问题2：角α的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？这是一个较有思考价值的问题，教师要注意正确地引导和必要地提示，锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关。类似地……（留给学生思考）教师边引导，边结合多媒体演示。问题3.依据函数的定义,这几个比值可以分别构成函数吗 若能构成,它们的自变量是什么 X还是y r还是角α 将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。2、通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。 通过分组讨论，加强学生间的交流与合作，充分发挥学生学习的主动性。
概念深化概念深化 角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数。对于正弦函数sinα=,因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα, 因为x=0时，无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是{α∣α≠kπ+（k∈K）}从而有y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα ,α≠kπ+（k∈K） 对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题：谈到函数，定义域要先行。在此，对三角函数的定义域要进一步明确，确定三角函数的定义域的依据是任意三角函数的定义。三角函数是以角为自变量的函数，如何去确定这些函数的定义域（即限定角的变化范围）？它们的定义域是什么？ 由学生讨论回答。 1、让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的。使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别。任意角的三角函数包含锐角三角函数。实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数定义是一致的，锐角三角函数定义是任意角三角函数定义的特例。所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数定义是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。3、让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。使学生进一步巩固和应用所学知识。
应用举例 已知角α的终边过点P（-2，3），求α的其他三角函数值。求下列各角六个三角函数值：（1）0；（2）π（3） 学生板演，教师对学生在解题思路和规范方面进行指导。 让学生巩固六种三角函数的概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。熟记0到2π范围内的某些特殊角的三角函数值。
归纳小结 知识：三角函数的定义及其定义域。数学思想方法：数形结合思想；类比法。 学生反思本节内容，对知识进行总结，教师对思想方法进行提炼。 让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。
布置作业 层次一：教材练习A，1―3层次二：教材习题1―2A，1，2。 层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平以上的学生完成。 使学生进一步巩固和应用所学知识。
1．21 任意三角函数的定义（二）
一。、教学目标
1．知识目标：
（1）. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
（2）三角函数定义及符号的应用
2．能力目标：（1）培养学生分析数学问题的能力；
（2） 判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
二、教学重点；
（1）判断.三角函数值在各象限内的符号.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2．比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数. 教师提出问题学生回答 温故知新
概念形成 角是“任意角”， 由三角函数定义可知，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦. 在初讲三角函数正负号规律时一定要充分重视让学生明白道理也就是如何确定比值的正负号。要让学生自己去观察、思考、总结。正弦余弦正切函数值的符号是根据这三种函数的定义和各象限内坐标的符号导出的。由学生讨论回答 1让学生从本质上理解任意角三角函数的符号2总结三角函数符号的规律
应用举例 例3 确定下列三角函数值的符号?(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)例4设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角例5已知角终边上一点P（-15a，8a）（a∈R且a≠0）例6当为第二象限角时，求-的值 让学生上黑板板书解题过程，让其他学生给他挑错误 让学生能够准确判断三角函数的符号并能正确的应用
归纳小结 知识上：判断三角函数的符号 让学生谈本节课程的收获并进行反思
布置作业 层次一：P18练习A第4题，练习B第2、3、4题层次二：B组第5题，习题A1-2 第3、5题
1.2.2 单位圆与三角函数线
一、学习目标
(一)知识目标?
1.单位圆的概念.?
2.有向线段的概念.?
3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.?
(二)能力目标?
1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.?
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.?
(三)德育目标?
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
二、教学重点、难点
重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
三、教学方法
（一）讲授法?
讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.?
（二）教具准备?
幻灯片1张：?
多媒体课件：课本P19?图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).?
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题导入 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法? 可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。 三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。
新概念教学 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).?（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).?在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.?显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.?当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：?如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.?如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP与ｙ轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段?于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有?这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.?类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.?注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.?(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.?(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.?(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.? 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.? 充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。 1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。2、单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。3、单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。4、结合图形，引导学生弄清以下几点：（1）三角函数线的位置；（2）三角函数线的方向；（3）三角函数线的正负；
例题讲解 例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。 因此在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。 此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解，
课堂练习 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：（1）（2）（3）（4） 在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为单位共同完成。 加深理解三角函数线的有关知识。
课时小结 ?本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示. 以提纲形式对本节重点内容再总结。 学习单位圆的目的在于利用它解决问题，在教学中，应尽量引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质，这样，不仅有助于加深对于三角函数线的理解，对后续内容的学习也有很大的促进作用。
课后作业 课本第21页A组练习2 本次作业只针对三角函数线知识进行巩固，因此，要求学生保质保量认真完成。 落实本课时的重点，突破难点，抓落实。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
1、 教学目标
知识目标：
1、利用单位圆推导出sin2α+cos2α=1和tanα=，并让学生在推导过程中体会数形结合的思想的应用
2、能让学生学会利用同角三角函数关系式求值、化简、证明
能力目标：
培养学生用数学的思想方法分析和解决数学问题的能力并发展学生的推理能力和运算能力
3、情感目标：
通过关系式的推导和应用让学生自己发现：世界万物之间内在联系
2、 教学重点难点
重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用
难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养
3、 教学方法
本节课采用启发探究教学的方法，通过设置问题引导学生导出公式，近而应用，在应用中注意学生的书写及选择公式是否恰当，通过例题和习题的解决和处理深化对公式的理解记忆及应用的灵活性
4、 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1让学生自己画单位圆给出任意角画出正弦线余弦线2回顾三角函数的定义 师：哪两位同学主动到黑板上画出单位圆中的正余弦线和写出三角函数定义式生甲，生乙 温故知新，通过设疑引导学生思维，为下面公式的推导做好铺垫
公式推导 引导学生自己导出今天的两个重要的三角函数关系式平方关系sin2α+cos2α=1 商数关系tanα= 师：首先观察单位圆正余弦线段和半径所处的三角形形状？生：直角三角形师：那么直角三角形中有什么重要的定理？生：勾股定理：导出平方关系sin2α+cos2α=1师：这个公式还有另外的推导方法吗？生：用定义也可以导出，有学生自己推导，并板书师：tanα和相等吗？生：相等，由定义直接可以得到 利用单位圆推导关系式让学生体会什么是数形结合的思想，该思想在高中课程中无处不在，也让学生体会积极的思维劳动给他们带来的快乐
公式深化理解 1注意是否同角2注意公式的限制条件3公式可以灵活变形 师：sin2α+cos2β =1成立吗？生：不一定成立，因为α和β可能相等也可能不等师：sin24α+cos24α=1成立吗？生：成立师：tanα=有限制条件吗？有：cosα≠0即α≠，K∈Z师：另外公式还可以做一些变形 1强调公式中的同角的重要性否则公式可能不成立，2注意同角不要拘泥与形式α，，6α等等都可以3注意商数关系在应用时的限制条件
公式的应用 例1、已知sinα=，且α是第二象限的角，求cosα,tanα的值例2、已知tanα=-，且α是第二象限的角，求sinα，cosα的值例3、化简例4、求证：练习：选择书上的A、B组题目 例1让学生板书，老师注意提醒学生书写规范特别是在特定象限内函数值的符号取舍例2稍难一些，老师板书并讲解如学生能力强可以把平方关系的另外两个公式给学生以节省时间例3让学生板书过程，教师讲解化简的原则，告诉学生何为最简。例4恒等式证明由教师板书 强调特定象限内函数值的符号取舍题目设置贯彻方程的思想强化学生的运算能力给出恒等式证明的方法让学生体会恰当选用，让学生了解何为分析法证明及证明步骤4、在应用中理解记忆公式
归纳小结 在知识和思想方法两方面进行总结（也可以让学生简单总结这两方面） 在课堂上师生在语言和形体语言上多交流，提问覆盖面要尽量做到少留死角，让你的关注和爱滋润你的每一个教育对象 1让学生清楚我们今天学习了什么2用到了什么数学的思想方法3学习过程中需要注意什么
课后作业 P25A组练习 1、3、4思考：1+tan2α、1+cot2α、sec2α、csc2α这四个式子是否存在相等关系？
课后反思 课后填写
1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握+，-角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 初中我们已经会求锐角的三角函数值。和30°、45°、60°终边相同的角如何表示？ 本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。 教师提问：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切的三角函数值是多少？学生回答我们如何求360°、390°、－315°的三角函数值呢？ 温故知新
公式导入 1.公式(一) （其中）诱导公式（一）的作用：把把绝对值大于360 的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数问题转化为绝对值小于360 角的正弦、余弦、正切三角函数问题，其方法是先在绝对值小于360 角找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果2．公式（二）: 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P (x，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα公式二的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P 的坐标是关键，这里充分利用了对称性质．事实上，在图1，点P 与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．公式(三) 由公式（一）可以看出，角和加上偶数倍的所有三角函数值相等。角和加上奇数倍的正，余弦值互为相反数； 角和加上奇数倍的正切函数值相等。 让学生在单位圆中画出α角与－α角，观察两个角的位置关系。引导学生在单位圆中画出α角与π＋α角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三） 1．根据任意角的三角函数定义可知两个角若终边相同，那么它们的三角函数值也应该相同。由此导出公式（一）2．学生在单位圆中画出α角与－α角，观察出角的终边关于x轴对称，结合三角函数定义可得到公式（二）3．利用角的终边在单位圆中的不同位置关系而得到相应的诱导公式。
应用举例 例1．下列三角函数值： （1）cos210 ； (2)sin解：（1）cos210 =cos(180 +30 )=－cos30 =－；（2）sin=sin()=－sin=－例2．求下列各式的值： （1）sin(－)；(2)cos(－60 )－sin(－210 )解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；（2）原式=cos60 +sin(180 +30 )=cos60 －sin30 =－=0例3．化简解：原式 = ==－1例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．（A） (B) (C)－ (D)±选A 分析：本题是诱导公式三的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180 +或（π+），为锐角即可．分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式二把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式三把它们化为锐角的正弦、余弦来求．分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式三把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和二把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函数的平方关系即可．
课堂练习 1．求下式的值：2sin(－1110 ) －sin960 +答案：－2提示：原式=2sin(－30 )+sin60 －=－22．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C 选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用．使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度． 加强格式的规范化，减少计算错误。
课堂小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性． 本节课我们学习了哪些诱导公式？它们角的终边具有什么几何特征？如何记住公式？ 师生共同回顾本节课所学习的诱导公式，加强记忆，熟能生巧。
布置作业 练习A、练习B 通过完成作业巩固诱导公式的（一）、（二）、（三），达到熟练运用。 记准公式，计算准确
1.2.4 诱导公式（二）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握+，角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习提问： 诱导公式（一），（二）及（三）的内容公式(一) （其中）公式二: 公式(三) 学生默写 温故知新
新课讲授 公式（四） 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。 1、在上一课时的基础上，可以请学生先讨论探索性的进行讲解，充分发挥学生学习的潜能，既有助于激发学习数学的积极性，又便于在学生的讲解过程中发现他们理解知识上的不足，最后再由老师进行纠正和深入讲解。
例题讲解归纳小结 例1 求证：证： 左边 = 右边 ∴等式成立例2 例3 解： 从而例4 解： 四、课堂练习：1．计算：sin315sin(480)+cos(330) 解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30)= sin45 + sin60 + cos30 =2．已知解： 3．求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：∴原式成立4．已知方程sin( 3) = 2cos( 4)，求的值。解： ∵sin( 3) = 2cos( 4) ∴ sin(3 ) = 2cos(4 )∴ sin( ) = 2cos( ) ∴sin = 2cos 且cos 0 ∴5．已知解：由题设： 由此：当a 0时，tan < 0, cos < 0, 为第二象限角， 当a = 0时，tan = 0, = k, ∴cos = ±1， ∵ ∴cos = 1 , 综上所述：6．若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0∴∵ 1≤sinx≤1 ∴； ∴a的取值范围是[]五、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“ ”公式化为正角的三角函数；2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数六、课后作业：习题及补充练习七、板书设计 以教师适当的分析为主，学生自练为辅。 1、例题1-3主要是对诱导公式（一）和（四）的直接运用，检验学生是否已正确掌握，既是检测，又是下一步教学的辅助。2、例2是一道综合性较强的题目，既有对诱导公式的灵活应用，又有与函数知识的结合，意在使学生建立知识之间的综合练习。3、课堂练习仍然紧紧围绕本节的重点内容设置，因此，主要以学生自练为主，适当可以小组为单位进行互查，对于习题的解答过程中反映出来的错误，及时给予纠正，同时，对解答步骤也必须给予规范。4、作业的布置照顾到了不同层次学生的需求，既有对基础知识的巩固反馈，又有对前面所学知识的综合练习。
1.2.4 诱导公式（三）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
复习课。通过由浅入深的例题，讲练结合。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习提问： 四组诱导公式的内容 老师提问，学生回答。 温故知新
例题讲授 例1．求下列三角函数的值(1) sin240 ； (2)；(3) cos(-252 )；(4) sin（-）解：（1）sin240 =sin(180 +60 )＝－sin60 =(2) =cos==；(3) cos(-252 )=cos252 = cos(180 +72 )=－cos72 =－03090；(4) sin（-）=－sin=－sin=sin=例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119 45′)；(2)cos；(3)cos(-150 )；(4)sin解：(1)sin(－119 45′)=－sin119 45′=－sin(180 -60 15′)= －sin60 15′=－08682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150 )=cos150 =cos(180 -30 ) =－cos30 =；(4)sin=sin()=－sin=例3．求值：sin－cos－sin略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+cos+sin =++03090=13090 例4．求值：sin(-1200 )·cos1290 +cos(-1020 )·sin(-1050 )+tan855 解：原式＝－sin(120 +3·360 )cos(210 +3·360 )+cos(300 +2·360 )[-sin(330 +2·360 )]+tan(135 +2·360 )＝－sin120 ·cos210 －cos300 ·sin330 +tan135 ＝－sin(180 －60 )·cos(180 +30 )－ cos(360 －60 )·sin(360 -30 )+=sin60 ·cos30 +cos60 ·sin30 －tan45 =·+·-1=0例5．化简：略解：原式===1例6．化简：解：原式== = =例7．求证：证明：左边= === =，右边==，所以，原式成立．例8．求证证明：左边＝ ＝＝tan3α＝右边，所以，原式成立．例9．已知．求：的值．解：已知条件即， 又，所以：=例10．已知,求:的值解：由，得，所以故 ==1＋tan＋2tan2=1+例11．已知的值．解：因为，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan= 例12．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 ===三、课堂练习：1．已知sin(+π)＝ －，则的值是（ ）（A） (B) －2 (C)－ (D)±2．式子的值是 （ ）（A） (B) (C) (D)- 3．，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)- cos(C)sin(+γ)-cos(-β)tanβ (D)cos(2β+γ)+ cos24．已知：集合，集合，则P与Q的关系是 （ ）．（A）PQ (B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ5．已知对任意角均成立．若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）．（A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x6．已知，则的值等于 ．7．= ．8．化简：所得的结果是 ．9．求证．10．设f(x)=， 求f ()的值．答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．± 7．0 8．－2cosα9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所以左边=右边．10．．提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x．故f()=．四、小结 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。五、课后作业： 学生先做，老师对答案。重点问题 重点讲解。学生观察分析，老师启发，边讲边练。 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题是公式二，三的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=-（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．
1.3.1正弦函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）掌握“五点法”、“几何法”、“图像变换法”做出正弦函数及正弦型函数的图象；
（2）理解正弦函数及正弦型函数的图象与性质；
（3）了解的实际意义；了解中参数对图像变化的影响以及它们的物理意义。
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据诱导公式推导出正弦函数的图象，根据图像推导相关性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，运用几何画板，研究正弦型函数的图象与性质；
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解正弦函数的图象和性质，难点是，理解弧度值到x轴上点的对应和正弦型函数。
三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程
（参考教材和教学用书自行发挥）
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。
三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习的图象和性质和图象变换的有关知识 教师提出问题，学生回答诱导公式、的图象和性质，函数图象的变换等问题 为学生推导的图象做准备
余弦函数的图象 1、2、图象平移、作图3、找关键点 教师引导，学生自己完成先画出的图象，然后向左平移一个单位即得到y=cosx的图象 推导学生画出余弦函数的图象
余弦函数的性质 定义域：R值域：周期：奇偶性：偶函数单调性： 是减函数； 是减函数；例1、求下列函数的最大值和最小值（1）（2）例2、判断下列函数的奇偶性（1）（2）例3、求函数的周期 教师与学生一起推理，完成：由函数图象观察，定义域，值域，周期，奇偶性，由图象观察并用定义证明单调性：由图象观察，并提醒学生注意书写格式通过例题讲解深化学生的任意，综合学过的知识解决实际问题 引导学生寻找正弦函数的性质，并且利用所学知识，会去研究一些三角函数的性质
正切函数的图象 1、2、利用正切线画出一个周期内的图象3、正切函数图象特点 教师引导，学生自己完成先用三角函数线画出一个周期的图象再平移得到y=tanx的图象 理解正切函数的图象
正切函数的性质 定义域：值域：R周期：奇偶性：奇函数单调性：在开区间是增函数例4、求函数的定义域例5、求函数的周期 教师引导，与学生一起完成由函数图象观察，定义域，值域，周期，奇偶性，由图象观察并用定义证明单调性：由图象观察，并提醒学生注意书写格式通过例题讲解深化学生的任意，综合学过的知识解决实际问题 找出正切函数的性质，并能够利用这些性质和所学知识解决三角函数中的一些问题
归纳小结 从知识方法两方面对本节知识进行总结 让学生来总结知识，进行反思，找出收获，教师归纳 关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获
布置作业 层次一：教材57页，练习A3，4，5层次二：57页教材，练习B3，4，5 作业分两个层次，第一层次要所有学生完成，第二层次要学有余力的学生完成 通过分层教学使学生更好的完成本课学习
1.3.3 已知三角函数值求角
一、教学目标
会由已知三角函数值求角。
二、教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点是：① 根据范围确定有已知三角函数值的角；② 对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③ 用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
三、教学方法
在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。 提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？ 复习旧知识，引入新问题
应用举例 例1、已知，（1）若，求x；（2）若，求x；（3）若，求x的取值集合。 1、学生回答，老师板书，老师及时指出学生解法中的不足。2、进一步将问题深化：① 若，怎么办？② 若sinx=0.3，怎么办？3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正弦，指出前两者不是精确值，应使用第三种。 从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
概念形成 若sin=t，则=arcsint，其中，t[-1 , 1]。 1、让学生思考对、t范围进行限制的理由。2、用反函数的知识解释范围的由来。3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。4、完成sinx=0.3的处理。 强化角的表示，淡化反三角函数概念。
应用举例 例2、（1）已知cosx=0.5，，求x；（2）已知，求x的取值集合；（3）已知tanx=，，求x；（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。巩固练习：练习A 1、3、5 指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。 让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归纳小结 已知三角函数值t求角的解题步骤：（1）确定角所在的象限(有时不止一个象限)。（2）求上的角：1°先求出与对应的锐角；2°根据α所在的象限，求出上的角：若在第一象限，则=若在第二象限，则=π-若在第三象限，则=π+若在第四象限，则=2π-（3）写出所有与终边相同的角。
布置作业 1、练习A 2、4； 练习B 1、2、32、思考：已知余切、正割、余割的三角函数值，怎么求角？ 巩固本节课所学，并引导学生做深一步的思考。
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正角
零角
负角
正实数
零
负实数
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