（新人教a版必修4）数学：1.1.1《任意角的概念》课件
文档属性
| 名称 | （新人教a版必修4）数学：1.1.1《任意角的概念》课件 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 48.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-15 19:58:00 | ||
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文档简介
课件24张PPT。1.1.1 任意角的概念1、角的概念初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0o, 360o)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”、“0o角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0o）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对值可大于360o .于是就会出现720o ， － 540o等角度.3．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、 ?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等4．终边相同的角 ⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)
30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)⑶ 结论：
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z)
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② ?是任意角；
③ k·360o与?之间是“+”号，如k·360o－30o,应看成k·360o+(－30o)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍.例1. 在0o到360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120o；(2) 640o；(3) －950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，
∴240o的角与－120o的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640o=360o+280o，
∴280o的角与640o的角终边相同，
它是第四象限角．⑶ ∵－950o12’=－3×360o+129o48’，
∴129o48’的角与－950o12’的角终边相同，
它是第二象限角．例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o间的角写出来：
(1) 60o；(2) －21o；(3) 363o14′.解：(1) S={β| β=k·360o+60o (k∈Z) },
S中在－360o～720o间的角是
－1×360o+60o=－280o；
0×360o+60o=60o；
1×360o+60o=420o．(2) S={β| β=k·360o－21o (k∈Z) }
S中在－360o～720o间的角是
0×360o－21o=－21o；
1×360o－21o=339o；
2×360o－21o=699o．(3) β| β=k·360o+ 363o14’ (k∈Z) }
S中在－360o～720o间的角是
－2×360o+363o14’=－356o46’；
－1×360o+363o14’=3o14’；
0×360o+363o14’=363o14’．课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90o的角是锐角吗？区间(0o,90o)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90o的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0o,90o)内的角是锐角． 2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420o，(2) －75o，(3)855o，(4) －510o． 答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角. 3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ ）
A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ）
A {β|β=k·360o (k∈Z) }
B {β|β=k·180o (k∈Z) }
C {β|β=k·90o (k∈Z) }
D {β|β=k·180o+90o (k∈Z) } C5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A 第一象限角 B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180o－α是（ ）
A 第一象限角 B 第二象限角
C 第三象限角 D 第四象限角C7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（ ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈ZD8、若90o<β<α<135o，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0o,45o)(180o,270o)9、若β的终边与60o角的终边相同，那么在[0o,360o]范围内，终边与角 的终边相同的角为______________;解：β=k·360o+60o，k∈Z.所以 =k·120o+20o， k∈Z.当k=0时，得角为20o，当k=1时，得角为140o，当k=2时，得角为260o.
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0o, 360o)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”、“0o角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0o）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对值可大于360o .于是就会出现720o ， － 540o等角度.3．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、 ?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等4．终边相同的角 ⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)
30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)⑶ 结论：
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z)
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② ?是任意角；
③ k·360o与?之间是“+”号，如k·360o－30o,应看成k·360o+(－30o)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍.例1. 在0o到360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120o；(2) 640o；(3) －950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，
∴240o的角与－120o的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640o=360o+280o，
∴280o的角与640o的角终边相同，
它是第四象限角．⑶ ∵－950o12’=－3×360o+129o48’，
∴129o48’的角与－950o12’的角终边相同，
它是第二象限角．例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o间的角写出来：
(1) 60o；(2) －21o；(3) 363o14′.解：(1) S={β| β=k·360o+60o (k∈Z) },
S中在－360o～720o间的角是
－1×360o+60o=－280o；
0×360o+60o=60o；
1×360o+60o=420o．(2) S={β| β=k·360o－21o (k∈Z) }
S中在－360o～720o间的角是
0×360o－21o=－21o；
1×360o－21o=339o；
2×360o－21o=699o．(3) β| β=k·360o+ 363o14’ (k∈Z) }
S中在－360o～720o间的角是
－2×360o+363o14’=－356o46’；
－1×360o+363o14’=3o14’；
0×360o+363o14’=363o14’．课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90o的角是锐角吗？区间(0o,90o)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90o的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0o,90o)内的角是锐角． 2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420o，(2) －75o，(3)855o，(4) －510o． 答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角. 3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ ）
A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ）
A {β|β=k·360o (k∈Z) }
B {β|β=k·180o (k∈Z) }
C {β|β=k·90o (k∈Z) }
D {β|β=k·180o+90o (k∈Z) } C5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A 第一象限角 B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180o－α是（ ）
A 第一象限角 B 第二象限角
C 第三象限角 D 第四象限角C7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（ ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈ZD8、若90o<β<α<135o，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0o,45o)(180o,270o)9、若β的终边与60o角的终边相同，那么在[0o,360o]范围内，终边与角 的终边相同的角为______________;解：β=k·360o+60o，k∈Z.所以 =k·120o+20o， k∈Z.当k=0时，得角为20o，当k=1时，得角为140o，当k=2时，得角为260o.