（新人教b版必修4）数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义1》教案

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2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系
（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别
（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法
3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点
重点：平面向量数量积的定义
难点：数量积的性质及运算率
三、教学方法：
探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角 教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系21世纪教育网
定义形成 问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； [来源:21世纪教育网]（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量 让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性
定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1、ea = ae =|a|cos2、ab ab = 03、 aa = |a|2或4、cos =5、|ab| ≤ |a||b|问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。（不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c) ）结论：向量数量积满足的运算率：[来源:21世纪教育网]；[来源:21世纪教育网]； 学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案 养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯
应用举例 已知|a|＝5，|b|＝4，=，求a·b练习1、 已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）a·＝；②0·a＝０；③－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠，则对任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，则a与b中至少有一个为；⑦对任意向量a，b，c都有（a·b）c＝a（b·c）；⑧a与b是两个单位向量，则求证：（1）.;(2).；(3).例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值练习：P109 练习A（分组做） 学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算） 让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入
课堂小结 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）对于平面向量的几种运算进行比较总结 让学生写出基本框架，然后添加具体内容 进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯
作业 看书反思本节内容；P111 练习A---1、2、3 练习B---2 养成学生看书的习惯
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