第6课时 教师版-函数的单调性（1）

第六课时 函数的单调性（1）
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学习要求
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．；
自学评价
1．单调增函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增　函数，称为的单调　增　区间．
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
2．单调减函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有　，那么就说在区间上是单调　减函数，称为的单调　减　区间．
3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是　上升　　图像；而函数在其单调减区间上的图像是　下降　　的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）
4．函数单调性证明的步骤：
（1） 根据题意在区间上设 ；
（2） 比较大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间：
例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．
（1）；
（2）；
（3）．
【解】
（图略）
（１）函数的单调增区间为，单调减区间为；
（２）函数在和上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是和．
（３）函数在实数集上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)= －x3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数
证明：设x1，x2∈R且x1=(x2－x1)(x22+x1x2+x12)
因为x2>x1，x22+x1x2+x12>0
所以f(x1) －f(x2)>0即
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
追踪训练一
1. 函数 (C)
在内单调递增
在内单调递减
在内单调递增
在内单调递减
2. 函数的单调增区间为　　　．.
3. 求证：在区间上是减函数．
证明：设，则
∴
即
故在区间上是减函数．
【选修延伸】
如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３: 函数在其定义域上是减函数吗？
分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的，并加以说明．
【解】
该命题是假命题；例如时， ，显然且，所以＂函数在其定义域上是减函数＂是不成立的．
点评:
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。
思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．
追踪训练
1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是
（B　）
2. 若函数是上的增函数，对于实数，若，则有(A　)
3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是，则f(x)的单调递减区间是________．
4. 函数y=的单调减区间为(－∞，0).
5．讨论函数在上的单调性.
解：
设，则
∴
∵
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数；
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
证明函数单调性
求函数单调区间
函数单调性
单调性定义
单调区间定义
单调性与图像
听课随笔
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