第7课时 教师版-函数的单调性（2）

第七课时 函数的单调性（2）
【学习导航】
学习要求
1．熟练掌握证明函数单调性的方法；
2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；
3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．
【精典范例】
一．较复杂函数的单调性证明：
例1：判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【证明】函数是增函数．证明如下：
设，则
，
∵，∴，，∴，
即，∴函数是增函数．
说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数在上是单调减函数．
【证明】
设 ，则
，
∵，∴；
∵，∴，
同理，
∴，∴，即，
∴在上是单调减函数．
例３：(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；
（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；
（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．
解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
（２）由题意可以知道即；
（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
追踪训练一
1. 函数是定义域上单调递减函数，且过点和，则的自变量的取值范围是（　B）
　　　
　　　
2. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是　　　　小于等于　　．
3. 函数y=|x+1|的单调递减区间为[－1，+∞)单调递减区间(－∞，－1]
【选修延伸】
已知函数单调性，求参数范围：
例4: 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．
【解】∵时，，
∴函数是减函数，
∴由得：，解得，
∴的取值范围是．
点评:
注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？
追踪训练
1．已知函数和在上都是减函数，则 在上（ A）
是增函数
是减函数
既不是增函数也不是减函数
的单调性不能确定
2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．
3. 若在上是增函数，且，则 ＞ ．
（注：从、、中选择一个填在横线上）
4. 函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围　　.
5．用函数单调性的定义证明：函数在上是增函数．
证明：设
∴
即
故函数在上是增函数．
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