第11课时 教师版-函数的奇偶性（2）

第十一课时 函数的奇偶性（2）
【学习导航】
学习要求
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；
2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．
【精典范例】
一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：
例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论
思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1F(x1) －F(x2)= －=符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0
因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，
所以f(－x2)所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②
由①②得f(x2)>f(x1)>0
于是F(x1) －F(x2)= －
所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。
【证明】
设，则，∵在上是增函数，
∴，∵是奇函数，∴，，
∴，∴，∴在上也是增函数．
说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．
二．利用函数奇偶性求函数解析式：
例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|
所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|
又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)
所以－f(x)= －x|x+2|
所以f(x)=x|x+2|
故当x<0时
F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.
3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，
求实数m的取值范围．
解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0
所以f(m－1)> －f(2m－1)
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数
所以f(m－1)>f(1－2m)
所以
所以追踪训练一
1. 设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)
（）的大小关系是 （B ）
A． f(－)B． f(－)≥f(a2－a+1)
C． f(－)>f(a2－a+1)
D．与a的取值无关
2. 定义在上的奇函数，则常数 ０ ， ０ ；
3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。
解：定义域是
即
又
是奇函数
在上是增函数
即
解之得
故a的取值范围是
思维点拔：
一、函数奇偶性与函数单调性关系
　　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．
追踪训练
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 　　　　　　 （C）
4 2 0 不能确定
2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
3. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）
A. 是减函数且有最大值
B. 是减函数且有最小值
C. 是增函数且有最小值
D. 是增函数且有最大值
4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 31 ．
5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。
（1）求证；（2）求证：是偶函数。
解（1）令，则有
（2）令，则有
这说明是偶函数
学生质疑
教师释疑
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