第12课时 教师版-函数的单调性和奇偶性-

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第十二课时 函数的单调性和奇偶性
【学习导航】
学习要求：
1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
【精典范例】
一、利用函数单调性求函数最值
例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：
f(－x)= －f(x)，在R上任取x1则x2－x1>0，
所以f(x2) －f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).
因为x10。
又因为x>0时f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)由定义可知f(x)在R上是减函数.
(2)因为f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.
所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2
即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性
例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.
解：设u=x2－2x－3，则y=.
因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.
因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，
所以当x≥3时，y是x的增函数。
又当 x≤－1时，u是减函数，
所以当x≤－1时，y是x的减函数。
所以y=的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略
三、利用奇偶性，讨论方程根情况
例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.0
D.不知解析式不能确定
思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.
答案：C
四、利用奇偶性，单调性解不等式
例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)思维分析：要求m的取值范围，就要列关于m的不等式，由f(1－m)0时的情况，从而使问题简单化。
解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)又x≥0时，f(x)是单调减函数，
所以。
解之得：－1≤m<.
追踪训练
1、函数f(x)=的值域是( )
A.[，+∞) B.(－∞，]
C.(0,+∞) D.[1,+ ∞)
答案：A
2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A.y=1+ B.y=－(x+1)2
C.y= D.y=x3
答案：D
3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)答案：04、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=，则f(x)=________,g(x)=__________
答案：f(x)=，g(x)=
.
5、函数f(x)=是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)+f(t)<0；
答案：(1)f(x)=
(2)证明略
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