第15课 教师版-分数指数幂

第十五课时 分数指数幂（2）
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学习要求
1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简．
3．会对根式、分数指数幂进行互化；
4．培养学生用联系观点看问题．
自学评价
1．正数的分数指数幂的意义：
（1）正数的正分数指数幂的意义是
；
（2）正数的负分数指数幂的意义
．
2．分数指数幂的运算性质：
即 ，
，
．
3. 有理数指数幂的运算性质
对 无理数指数幂 指数幂同样适用.
4. 的正分数指数幂等于 .
【精典范例】
例1：求值（1） ，（2）
（3）， （4） ．
【解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
点评:解题的关键是利用分数指数幂的运算性质．
例2：用分数指数幂表示下列各式：
（1） ；（2） ；（3）．
分析：先将根式写成分数指数幂的形式，然后进行运算．
【解】（1） ．
（2）．
（3）．
点评:利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式的形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂．
例3：已知a+a－1=3，求下列各式的值：
（1）-；（2）-
解：(1)因为(-)2=a1－2+a－1=3－2=1
所以-=±1
(2) -= (-)(a+1+a－1)= ±4
【解】
（1）∵
∴
∴.
（2）
=.
点评:要学会从整体上寻求已知条件与结论的联系；指数的概念推广后，初中所学的乘法公式和因式分解的变形技巧同样适用.
追踪训练一
1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
(1)(xy2··)·
(2)·
解：(1)原式=····
(2)原式=[[]
=a1·a1=a2
2. 已知，求的值.
解：，
∴，又，
，
又，
∴原式.
3. 已知，求的值.
解：，
.
【选修延伸】
一、分数指数幂与方程
例4: 利用指数的运算法则，解下列方程：
(1)43x+2=256×81－x
(2)2x+2－6×2x－1－8=0
解：(1)因为43x+2=256×81－x
所以26x+4=28×23－3x
所以6x+4=11－3x
所以x=
(2)因为2x+2－6×2x－1－8=0
所以4×2x－3×2x－8=0
所以2x=8
所以x=3
分析：利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.
【解】（1）原方程可化为：，
，，∴
原方程的解为.
（2）原方程可化为：，
∴，，
原方程的解为.
点评:将指数方程转化为一元一次或一元二次方程是解题的关键.
思维点拔：
（1）根式与分数指数幂运算要灵活地互化；（2）一般地在化简过程中，先将根式化为分数指数幂，然后利用同底运算性质进行运算.
追踪训练二
1．化简：
解：
．
2．（　）
　　　　　　
3．设a>1，b>0，ab+a－b=2，则ab－a－b（）
　或　
学生质疑
教师释疑
根式
分数指数幂
有理数指数幂
无理数指数幂
性质
运用
分数指数幂与方程