第19课时 教师版-指数函数（4）

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第十九课时 指数函数(4)
【学习导航】
学习要求：
1、巩固指数函数的图象及其性质；
2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；
【精典范例】
1、 复合函数的定义域与值域
例1、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=；
(2)y=；
(3)y=
思维分析：y=a的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。
【解】：
（1）令，得。解得x1，或x<－1。故定义域为
{x│x1，或x<－1}。由于，且，所以
，
故函数y=的值域为{y│y且y};
(2) 定义域为R；由于2x－x=－(x－1)+1,所以值域为[。
（3）令3，所以x.
所以定义域为[－，值域为[。
二、利用复合函数单调性来解题
例2、求函数y=的单调区间。
【解】：
定义域是R。令，则。当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数。
综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是。
点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。
三、利用图象的性质比较大小
例3、已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，根据图象判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小，并加以证明。
【解】：
由a>1及0证明如下：f(x1)+f(x2)-2 f()=+－2a=( a－a),由于，所以a－a.
所以( a－a)〉0.
所以f(x1)+f(x2)-2 f()>0
即
[f(x1)+f(x2)]> f()。
四、分类讨论思想在解题中的应用
例4、已知f(x)=(ex－a)+ (e－x－a)(a0)。
（1） f(x)将表示成u= 的函数；
（2） 求f(x)的最小值
思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。
【解】：
（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)
=(ex+e－x)－2a(ex+e－x)+2a－2
令u= ，得f(x)=4u－4au+2 a－2(u)
(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a
所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a－1)。
当a>2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a－2.
所以f(x)的最小值为
f(x)=
点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。
追踪训练
1、求下列函数定义域和值域.
(1)y=；
(2)y=
答案：（1）定义域[-1，2]；
[，1]。
（2）定义域{x│x-1}
值域{y│y>2,或02、求函数y=的单调区间.
答案：利用复合函数单调性的规律，容易得到函数y=的单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]。
3、已知f(x)=（a>0,且a）
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断f(x)与的关系；
(3)讨论f(x)的单调性；
答案：（1）定义域为R，
值域为（-1，1）
（2）f(－x) = －f(x)
（3）当a>1时，f(x)=在定义域上为增函数；当04、已知g(x)=()x(x>0)，而f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)=g(x)，则f(x)的解析式为_ ___________.
答案：f(x)_=
5、设a是实数，f(x)=.
(1)证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数成立。
答案：（1）证明略
（2）利用奇函数的定义式，易得a=1
【师生互动】
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