24.2.2直线与圆的位置关系2(2010年中考演练同步作业)

24.2.2直线与圆的位置关系
解答题
1.（2010 广东汕头）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．
【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点
∴OA⊥AP
在Rt△OAP中，由OA＝2，OP＝4得
∴
∴．
　　　　　　　 （2）∵弦AB⊥OP，
∴，
∵
∴
∴
∴．
2．（2010 天津）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.
（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；
（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.
【答案】解：（Ⅰ）∵ 是⊙的直径，是切线，
∴ .
在Rt△中，，，
∴ .
由勾股定理，得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)如图，连接、，
∵ 是⊙的直径，
∴ ，有.
在Rt△中，为的中点，
∴ .
∴ .
又 ∵，
∴.
∵ ，
∴ .
即 .
∴ 直线是⊙的切线.
3．（2010 内蒙古包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
【答案】解：（1），
又，
．
又是的直径，
，
，即，
而是的半径，
是的切线．
（2），
，
又，
．
（3）连接，
点是的中点，，，
而，，而，
，，，
又是的直径，，
．
，．
4．（2010广西桂林）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，
FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．[]
【答案】证明（1）连结OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC
∴
∴AF平分∠BAC
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∠FDB=∠FBD
∴BF=FD
（3）解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F
∴△BFE∽△AFB
∴，
∴
∴
∴
∴AD==
5．（2010 广西玉林、防城港）（8分）如图8，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45，过点C的直线与⊙O、MN分别交于A、D两点，过C作CE⊥BD于点E。
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30，BD＝2＋2，求⊙O的半径r。
【答案】（1）证明：连接OB，OC，MN是⊙O的切线，所以OB⊥MN，又CE⊥MN，MN∥OB，又∠CBN＝45，OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝∠CBN＝∠BCE，所以有　OB＝OC＝CE＝BE 四边形OBEC是正方形，所以OC⊥CE，故CE是⊙O的切线。
（2）因BE＝CE，BD＝BE＋DE，设CE＝x，∠D＝30，所以CD＝2ｘ，DE＝x，故有：x＋x＝2＋2 x＝2 故圆的半径为2。
6. （2010四川攀枝花）如图11，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C,弧AC=弧AD,CD交AB于E,BF⊥直线L,垂足为F,BF交⊙O于G.
(1)图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论。
（2）若sin∠CBF=, AE=4, 求AB的值。
【答案】（1）证明：连结CG，AC 则∠CGF＝∠BAC
∵弧AC=弧AD,AB是⊙O的直径
∴AB⊥CD, 又BF⊥直线L, ∴∠FCG＝∠CBF
而∠ACE＝∠ABC, ∴∠CBF＝∠ABC, ∴AC=CG
∴Rt△ACE≌Rt△GCF, ∴AE=GF
（2）∵sin∠CBF= ∴tan∠CBF=tan∠FCG== FG=AE=4,
∴FC=8 由（1）得CE=FC=8
∵CE=AE×EB, ∴8 =4×EB, ∴EB=16 ∴AB=AE+EB=4+16=20
7．（2010 山东荷泽）（本题满分12分）如图，△OAB中，OA＝OB，∠A＝30°，⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点，连接CD．
⑴求证：AB是⊙O的切线．
⑵求证：CD∥AB．
⑶若CD＝，求扇形OCED的面积．
【答案】⑴证明：连接OE，∵OA＝OB，E是BC的中点，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线。
⑵在△OAB，△OCD中，∠COD＝∠AOB，OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB，
∴CD∥AB
⑶∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝，
∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝，∠COD＝120°，OC＝＝4，
∴S扇形OCED＝＝
8．（2010 湖北咸宁）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若，求CD的长．
【答案】解：（1）直线FC与⊙O相切．……1分
理由如下：
连接．
∵， ∴……2分
由翻折得，，．
∴． ∴OC∥AF．
∴．
∴直线FC与⊙O相切．……4分
（2）在Rt△OCG中，，
∴．……6分
在Rt△OCE中，．……8分
∵直径AB垂直于弦CD，
∴．……9分
9．（2010 广西钦州市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；
（2）求证：AE2＝EB·EC．
【答案】解：（1）解法一： 解法二：
∵AB为⊙O的直径， ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°．……1分 ∴AC＝AB＝1，BC＝AB cos30°＝…2分
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2， ∵弦CD⊥直径AB于点M，
∴BC＝AB cos30°＝2×.…2分 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分
∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°， ∴CD＝2CM＝2×
∴ CM＝BC=.……4分 ＝2×＝……5分
CD＝2CM＝．……5分 （其它解法请酌情给分）
（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分
∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分
又∵∠E＝∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分
∴． 9分
∴AE2＝EB EC． 10分
10．（2010鄂尔多斯）如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D。
求证：（1）BD是⊙O的切线
（2）
【答案】证明：（1）∵
∴∠1=∠2， AC=AE
∴AB⊥CE
∵CE∥BD ∴AB⊥BD
∴BD是⊙O的切线
（2）连接CB
∵AB是⊙O的切线 ∴∠ACB=90°
∵∠ABD=90°∴∠ACB=∠ABD
∵∠1=∠2∴△ACB∽△ABD
∴ ∴
（证法二，连接BE，证明略）
11．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE。
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长。
（3）若OE=2，移动三角形ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离。
【答案】
解：（1）连结OF
∵AB切半圆O于 F点
∴OF⊥AB
∴∠OFB=∠ABC=90°
∴OF∥BC
∵BC=OE=OF
∴四边形OFCB为平行四边形
∴CF∥OB
即DE∥CF
(2)在Rt△ABC中，∠A=30° BC=OE=2
∴AC=4 AB=
∵△OFB∽△ABC ∴
（3）在Rt△ABC中，BC=OE=2 ∠A=30° 则AC=4
当AB与半圆O相切于E点时，B点与E点重合，BE=0
当AB与半圆O相切于A点时，△OAB≌△CBA OB=AC=4
BE=OB-OE=4-2=2
即点B在直径DE的延长线上移动的最大距离为2.
12．（2010广西梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12，过点A作直线MN，使∠BAM=∠AOB，
（1）求证：MN是⊙O的切线。
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长。
【答案】
（1）证明：∵∠BAM=∠AOB(已知)，∠BCA=∠AOB（同弧所对圆周角是圆心角的一半），∴∠BAM=∠BCA（等量代换），
∵∠CBA=90°（直径所对圆周角是直角）∴∠BCA +∠CAB=90°，
∴∠BAM+∠CAB=90°，即：∠CAM=90°∴MN是⊙O的切线。
（2）在Rt△ABC中，AC=13，BC=12，根据勾股定理得：AB=5
∵∠BCA=∠ACD，∠CBA=∠CAD =90°, ∴△DAB∽△CAB，
∴,即：，∴AD=。
13．（2010广西南宁）如图11-①，为⊙的直径，与⊙相切于点,与
⊙相切于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：为⊙的切线；
（2）连接，的延长线与的延长线交于点
(如图11-②所示) ．若,求线段和的长．
图11-① 图11-②
【答案】（1）连接 1分
∵
∴
∴ 2分
又∵与⊙相切于点
∴ 3分
∴
∴为⊙的切线 4分
（2）过点作于点，
∵分别切⊙于点
∴ 5分
设为，则，
在中，
解得： 6分
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴ 7分
∴
∴ 8分
解法一：连接，
∴
∴ 9分
在中，
10分
解法二：∵
∴ 9分
∴,,解得 10分14．（2010广东茂名）已知⊙O1的半径为R，周长为C．
（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C； （3分）
（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．
①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）
②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，
求的取值范围． （3分）
：
【答案】（1）证明：，，．++，
因此，++< C．
（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，
∴点N的坐标为N（R，），
把点N坐标代入得：，解得：，
②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．
过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，
因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．
同理可求得点D的坐标为D，
将点D的坐标代入，解得：
所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：
15．（2010云南昭通）如图9，已知直线l的解析式为y=－x＋6,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．
（1）求A、B两点的坐标;
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）直线n在运动过程中，
①当t为何值时，半圆与直线l相切？
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=？若存在，求出t值．若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）∵y=－x＋6,
令y=0，得0=－x＋6, x=6．∴A(6,0)．
令x=0，得y=6, ∴B（0,6）． ……………………2分
（2）∵OA=OB=6，
∴ △AOB是等腰直角三角形．
∵n∥l，
∴∠CDO=∠BAO=45°，
∴ △COD为等腰直角三角形，
OD=OC=t．
CD=
∴．
　　　　　　，
∴．　　　　　　　　　　　…………………… 8分
（3）①分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F．
AD=OA-OD=6-t,
在Rt△ADE中，sin∠EAD=，
DE=，
∴PF= DE=．
　　　 当PF=PD时，半圆与l相切．
即，
t=3．　　
当t=3时，半圆与l相切． ……………………………………11分
②存在．∵．
　．
若，则，
，
，
．
∴存在，使得．…………………………14分　
　16．（2010辽宁大连）如图10，△ABC内接于⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）证明：△AOC≌△DBC
【答案】
17．（2010贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C= 90 °，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.
(1)当AC=2时，求⊙O的半径；
(2)设AC=χ，⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。
【答案】【答案】解法一：连接OD、OE、OC……………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………………………2分
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC
∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分
∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6
∴×2×6=×2×OD+×2×OE ……………………4分
而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半径为 ………………5分
解法二：连接OD、OE ………………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ……………………………2分
∴∠C＝90°，∴OECD为正方形
∴OD＝OE＝EC＝CD＝t ………………………3分
而△AOD∽△ABC，∴ ………………………4分
∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6，AD=2－t
∴，r=，即⊙O的半径为………………………5分
(2)(7分)连接OD、OE、OC ……………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE=y ………………………2分
S△ABC=S△AOC+S△BOC
∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分
∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8－x ………………………………4分
x(8－x)=xy+(8－x)y …………………………5分
化简：8x－x2=xy+8y－xy………………………………………6分
即：y=－x2+x ………………………………………………7分
解法二：连接OD、OE ………………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ………………………2分
∴∠C＝90°，∴OECD为正方形
∴OD＝OE＝EC＝CD＝y ………………………………3分
由OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，
（或者：OD∥AC，∴△OBE∽△ABC）
∴.
∵AC+BC==8，AC=x，
∴BC=8-x，AD=AC-CD=x-y.
∴.
化简得：xy=（x-y）（8-x），
xy=8x-x2-8y+xy.
所以.
解法三：连接OD、OE.
∵D，E是切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE.
∵∠C=90°，∴OECD是正方形.
∴OD=OE=EC=CD=y.
由OD∥BC得：△AOD∽△ABC，
∴，即 ①.
由OE∥AC得：△BOE∽△BAC，
∴，即 ②.
①+②得：，
即.
∴.
18．（2010广东深圳）如图10，以点M（—1，0）为圆心的圆与轴、轴分别交于点A、B、C、D，直线与⊙M相切于点H，交轴于点E，求轴于点F。
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）
（2）如图11，弦HQ交轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3分）
（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交轴于点N。是否存在一个常数，始终满足MN·MK，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。（3分）
【答案】【答案】
（1）、如图①，OE=5，，CH=2
（2）、如图②，连接QC、QD，则，
易知，故，
，，由于，
；
（3）、如图③，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则
，
由于，故，；
而，故
在和中，；
故；
;
即：
故存在常数，始终满足
常数
19．（2010广西柳州）如图12，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）（方法一）
连接AC．
∵ AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理：点E是CD的中点． …………1分
又∵ M是AD的中点，
∴ ME是△DAC的中位线．………………2分
∴ MN∥AC．………………………………3分
∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°， ………………………………………4分
∴ ∠MNB=90°，即MN⊥BC …………………………………………………5分
（方法二）
∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=∠BEC=90° …………………………………………1分
M是AD的中点，∴ ME=AM，即有∠MEA=∠A ……………………………2分
又∵ ∠MEA=∠BEN，由∠A与∠C同对知∠C=∠A
∴ ∠C=∠BEN ……………………………………………………………………3分
又∵ ∠C+∠CBE=90°
∴ ∠CBE+∠BEN=90° ……………………………………………………………4分
∴ ∠BNE=90°，即MN⊥BC …………………………………………………5分
（方法三）
∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=90° ……………………………………………………1分
由于M是AD的中点，∴ ME=MD，即有∠MED=∠EDM
又∵ ∠CBE与∠EDA同对
∴ ∠CBE=∠EDA …………………………………………………………………2分
又∵ ∠MED=∠NEC
∴ ∠NEC=∠CBE ………………………………………………………………3分
又∵ ∠C+∠CBE=90°
∴ ∠NEC+∠C=90° ……………………………………………………………4分
即有∠CNE=90°，∴ MN⊥BC …………………………………………………5分
（2）连接BD
∵ ∠BCD与∠BAF同对 ∴ ∠C=∠A
∴ cos∠A=cos∠C= ……………………6分
∵ BF为⊙O的切线 ∴ ∠ABF=90°
在Rt△ABF中，cos∠A=
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x ……7分
又∵ AB为⊙O的直径，
∴ BD⊥AD
∴ △ABF∽△BDF
∴ ………………………………………………………………………8分
即
……………………………………………………………………………9分
∴ 直径AB=4x=4×
则⊙O的半径为 ………………………………………………………………10分
20．（2010辽宁本溪）已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求EF的长.
【答案】
21．（2010辽宁沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD。
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=，求⊙O的半径及DF的长。
【答案】（1）证明：连接OD………………………1分
∵直线CD与⊙O相切于点D
∴OD⊥CD
∴∠CDO=90°
∴∠CDE+∠ODE=90°……………………2分
又∵DF⊥AB
∴∠DEO=∠DEC=90°
∴∠EOD+∠ODE=90°
∴∠CDE=∠EOD……………………3分
又∵∠EOD=2∠B，∴∠CDE=2∠B……………………4分
（2）解：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°……………………5分
∵BD：AB=
∴在直角三角形ADB中，cosB==
∴∠B=30°……………………64分
∴∠AOD=2∠B =60°
又∵∠CDO=90°
∴∠C=30°……………………7分
∵在直角三角形CDO中，CD=10
∴OD=10tan30°=
即⊙O的半径为……………………8分
在直角三角形CDE中，CD=10, ∠=30°
∴DE=CDsin30°=5……………………9分
∵弦DF⊥直径AB于点E
∴DE=EF=DF
∴DF=2DE=10……………………10分
22．（2010 福建莆田）如图，A、B是上的两点，∠AOB=,点D为劣弧 的中点。
（1） 求证：四边形AOBD是菱形；
（2） 延长线段BO至点P，交于另一点C，且BP=3OB,求证；AP是 的切线。
【答案】
23．（2010天门、潜江、仙桃）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.
(1)求证：；
(2)若BD=3，DE=4，求AE的长.
【答案】（1）设圆心为O，连接OC，则因为∠BCA=90°，所以AB是直径，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠DBC=∠ABC，∴∠OCB=∠DBC，∴BD∥OC，∴△EOC∽△EBD，∴，即.
（2）在Rt△BDE中，BE==5，因为△EOC∽△EBD，所以，即，r=，所以AE=5-=.
24．（2010广东肇庆）如图7，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AE.
求证：
（1）AF//BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE
【答案】证明：(1)∵AB是直径，
∴∠BPA＝90°。
∵PF是直径，
∴∠PAF＝90°。
∴∠BPA+∠PAF＝180°。
∴AF//BE。
(2)∵AC切⊙O于点A，
∴∠CAP＝∠AFC。
又∵∠C是公共角，
∴△ACP∽△FCA。
(3)∵AF//BE，
∴∠BPF＝∠AFC。
又∵∠CPE＝∠BPF，
∴∠CPE＝∠AFC。
∵∠CAP＝∠AFC。
∴∠CPE＝∠CAP。
∴△CPE∽△CAP。
∴＝。
∵AB是直径，
∴∠BPA＝90°。
∴△AEP∽△BAP。
∴＝。
又∵AB＝AC，
∴＝＝。
∴CP=AE.
25．（2010云南曲靖）如图，⊙O的直径AB=12，的长为2，D在OC的延长线上，且CD=OC.
（1）求∠A的度数；
（2）求证：DB是⊙O的切线.
（参考公式：弧长公式l=，其中l是弧长，r是半径，n是圆心角度数）
【答案】（1）解：设∠BOC=n0，
据弧长公式，得
n=600.
据圆周角定理，得∠A=.
（2）证明：连接BC，
∵OB=OC，∠BOC=600，
∴△BOC是等边三角形. ∴∠OBC=∠OCB=600，OC=BC=OB
∵OC=CD,
∴BC=CD
∴. ……8分
∴
∴AB⊥BD.
∴DB是⊙O的切线.
26．（2010四川广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
(1) 求证：PC是⊙O的切线；
(2) 点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么
(3) 在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
【答案】(1)连结OC，OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵PC=PF∴∠PCF=∠PFC，∵∠AFH+∠OAC=90°，∠AFH=∠PFC，∴∠PCF+∠OCA=90°，∴PC是⊙O的切线；
(2)当点D在劣弧AC的中点时有，连结AE、DC，则CD=AD，∠DCA=∠DAC，又∠DCA=∠AED，∴△ADF∽△ADE，∴∴；
(3) 连结OD， OH=1，AH=2，则OA=3，所以DH=，DE=，AD=，由得AF=DF=，又△AHF∽△ABC，∴即，AC的长为。
27．（2010广东湛江） 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙Ｏ交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙Ｏ相切.
（1）求证：AB=AC；
（2）若BC=6，AB=4,求CD的值.
【答案】解：（1）证明：连接PO，
因为PD与⊙Ｏ相切.所以∠DPO=90°.
因为PD⊥AC，所以∠PDC=∠DPO=90°.
所以OP//OB.
所以∠C=∠OPB.
因为OP=OB，
因为∠OPB=∠B，所以∠C=∠B.所以AB=AC.
（2）解：连接AP,
因为AB是⊙Ｏ的直径，所以∠APB=90°.
因为AB=AC，所以∠B=∠C，BP=PC=BC=×6=3.
因为PD⊥AC，所以∠PDC=∠APB=90°.
所以△PDC∽△APB.所以.即.所以CD=.
28．（2010内蒙呼和浩特）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.
（1）若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？
（2）当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？


【答案】22.解：（1）作CM⊥AB，垂足为M
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5………………………1分
∵AC·BC＝AB·CM
∴CM＝………………………2分
∵＞2
∴⊙O与直线AB相离………………………3分
（2）如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连结ON
则ON⊥AB　∴ON∥CM
∴△AON∽△ACM………………………5分
∴＝　设OC＝x，则AO＝3－x
∴= EQ \f( 2 , )　∴x=0.5
∴当CO＝0.5时，⊙O与直线AB相切………………………7分
29．（2010内蒙赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，∠BOC = 60o
(1)求证：PB是⊙O的切线。
(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。
【答案】（1）证明：在△BOC中，∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°。 ………………………………………………………2分
又∵PC=BC，∴∠CBP=∠CPB =∠OCB=30°。……………………………………4分
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP
=60°+30°=90°，
∴PB⊥AB。
又∵AB是直径，
∴PB是⊙O的切线。……………………………………………………………………6分
（2）∵OB=1， ∴AB=2。
在Rt△POB中，PB= OB·tan60°=………………………………………8分
由题意知x1=2，x2=。∴x1+x2=2+，x1·x2=2。
∴b=，c=2。………………………………………………………………10分
(或将x=2及x=分别代入x2+bx+c=0得
解得结果为不扣分)
30．（2010广西百色）如图1，是⊙的直径，，垂足为，交⊙于点.
（1）用尺规作图：过点作,垂足为（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：∽；
（3）若点是的中点（如图2），求的值.
【答案】(1)如图 ……………………………2′
（2）证明：∵是⊙直径
∴∠=∠=
∴∠+∠= …………1′
又∵⊥
∴∠=∠=
∴∠+∠= ………………1′
∴∠=∠ ………………1′
∴∽ …………………1′
(3)解：∵∠=，是的中点
∴ 垂直平分 …………………1′
∴ ………………1′
设则
∴= …………1′
∴== ……1′
2
3
1
（第8题）
B
E
D
O
G
C
F
A
（第8题）
B
E
D
O
G
C
F
A
7题图
O
E
D
C
B
A
7题图
O
E
D
C
B
A
H
H
H
M
A
C
P
B
N
O
M
A
C
P
B
N
O
D
P
O
C
B
A
第2题
图②
D
P
O
C
B
A
图①
P
O
C
B
A
O
A
D
P
B
C
D
A
B
C
O
M
N
(第14题（1）图)
（第14题备用图）
（第14题备用图）
C
D
B
图10
A
O
F
图①
图②
F
F
图③
1
OA
A
BA
CA
DA
EA
MA
NA
F
图12
OA
A
BA
CA
DA
EA
MA
NA
F
OA
A
BA
CA
DA
EA
MA
NA
F
A
E
F
G
O
B
C
D
O
C
A
B
P
E
O
F
C
B
O
D
图1
A
图2
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
O
E
F
G
B
D
L
A
图11
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