新课标A版必修2直线与平面
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文档简介
直线与平面、平面与平面平行的性质
教学目标：
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
教学重点、难点
重点：两个性质定理。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
教学思想
创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
直线与平面垂直的判定
教学目标
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
平面与平面垂直的判定
教学目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角 二面角
图形 A 边 顶点O 边 B A 梭 l βB α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 L O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3
图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
教学目标：
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
教学重点、难点
重点：两个性质定理。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
教学思想
创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
直线与平面垂直的判定
教学目标
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
平面与平面垂直的判定
教学目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角 二面角
图形 A 边 顶点O 边 B A 梭 l βB α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 L O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3
图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？