新课标A版必修2柱体、锥体、台体的表面积与体积
文档属性
| 名称 | 新课标A版必修2柱体、锥体、台体的表面积与体积 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 142.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-20 19:49:00 | ||
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文档简介
柱体、锥体、台体的表面积与体积
教学目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.
重点难点
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.
教学难点：表面积和体积计算公式的应用.
教学过程
导入新课
思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？
提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？
正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)
图1
②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？
⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？
活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.
②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.
③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.
④学生思考圆台的侧面展开图的形状.
⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.
讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.
③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).
图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).
图4
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：
S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l).
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？
②比较柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)； V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；
V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).
你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？
活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.
②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；
长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，
可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.
圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V= (S为底面面积，h为高).
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,
其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.
注意：不要求推导公式，也不要求记忆.
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.
柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：
图5
思路1
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.
图6
活动：回顾几何体的表面积含义和求法.
分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC=a,SD=,
所以S△SBC=BC·SD=.
因此，四面体S—ABC的表面积S=4×.
点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.
例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为?15 cm，?底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）
图7
活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1 000(cm2)=0.1(m2).
涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.
点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个 （π取3.14）
图8
活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3).
所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).
答：这堆螺帽大约有252个.
点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.
思路2
例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
图11
A.1 B. C. D.
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=.
图12
答案：D
点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.
例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少 （π取3.14）
图17
活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.
答：几何体的表面积为133.68 cm2.
点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.
课堂小结
本节课学习了：
1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.
2.应用体积公式解决有关问题.
教学目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.
重点难点
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.
教学难点：表面积和体积计算公式的应用.
教学过程
导入新课
思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？
提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？
正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)
图1
②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？
⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？
活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.
②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.
③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.
④学生思考圆台的侧面展开图的形状.
⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.
讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.
③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).
图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).
图4
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：
S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l).
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？
②比较柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)； V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；
V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).
你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？
活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.
②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；
长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，
可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.
圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V= (S为底面面积，h为高).
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,
其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.
注意：不要求推导公式，也不要求记忆.
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.
柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：
图5
思路1
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.
图6
活动：回顾几何体的表面积含义和求法.
分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC=a,SD=,
所以S△SBC=BC·SD=.
因此，四面体S—ABC的表面积S=4×.
点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.
例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为?15 cm，?底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）
图7
活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1 000(cm2)=0.1(m2).
涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.
点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个 （π取3.14）
图8
活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3).
所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).
答：这堆螺帽大约有252个.
点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.
思路2
例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
图11
A.1 B. C. D.
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=.
图12
答案：D
点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.
例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少 （π取3.14）
图17
活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.
答：几何体的表面积为133.68 cm2.
点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.
课堂小结
本节课学习了：
1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.
2.应用体积公式解决有关问题.