（北师大版必修4）数学：平面向量 同步练习

平面向量 同步练习
选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 若e，e，且，则四边形ABCD是 （ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
2．已知A（1,2,－1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则（ ）
A．（0,4,2） B．（0,－4,－2） C．（0,4,0） D．（2,0,－2）
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 （ ）
（1）（+）+ （2）（+）+
（3）（+）+ （4）（+）+
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若 则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则·=0且·=0是l⊥α的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在下列3个命题中，假命题的个数为 （ ）
（1）+++…+是的相反向量；
（2）当λ1，λ2…，λn∈R且λ1+λ2+…+λn=0时，λ1+λ2+λ3+…+λn =0
（3）已知λ1，λ2…，λn∈R，且λ1+λ2+…+λn=0，，，…，是n个向量，且 ++…+=0，则λ1+λ2+…+λn =0.
A．０个　　　　 B．1个　　　 C．2个　　　 D．3个21世纪教育网
7．已知a=（cosα,1,sinα）,b=（sinα,1,cosα）,且sinα≠cosα,则向量a+b与a－b的夹角
是 （ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
8．已知a、b为异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC、M,N分别是对边OA、BC的中点，点G 在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基底向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为 （ ）
A．x=、y=、z= B．x=、y=、z=
C．x=、y=、z=　　　　　　 D．x=、y=、z=
10．已知=i+2j+3k，=－2i+3j－k，=3i－4j+5k，若，，共同作于一物体上，使物体从M1（1，－2，1）移到点M2（3，1，2）则合力所作的功是 （ ）
A．10, B．14 C．2 D．－14
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
11．若向量x与向量a=（2,－1,2）共线，且a·x=－18，则|x|= .
12．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，用a，b，c表示
= .
13．两异面直线a，b所成角为，它们的公垂线段为AB；E、F分别为两异面直线a，b上的点.若|AE|=m，|BF|=n，|EF|=p，则AB的长度为 .
14．G为△ABC内一点，则G为△ABC的重心的充要条件为++=，在空间四面体中，类比可得性质 .
三、解答题：本大题满分84分.
15．（本小题满分14分）已知a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，其中a、b、c和x、y、z均为实数，用向量法证明－1≤ax+by+cz≤1.
16．（本小题满分14分）用向量法证明以下定理：如果一直线与一平面内的两条相交直线垂直则该直线与该平面垂直.21世纪教育网
17．（本小题满分14分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a=，b=.
（1）求a与b的夹角；
（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.
18．（本小题满分14分）已知E,F,G,H为空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，
求证：对空间任意一点O，有=（+++）.21世纪教育网
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19．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，
（1）求
（2）求
（3）
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20．（本小题满分14分）如图，已知向量 可构成空间向量的一组基底，若a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）, c=（c1,c2,c3）,在向量已有的运算法则基础上，新定义一种运算a×b=（a2b3－a3b2,a3b1－a1b3,a1b2－a2b1）.显然a×b的结果仍为一向量，记作p.
（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；
（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB面积等于|a×b|;
（3）将到四边形OADB按向量 平移，得到一个平行六面体
OADB—CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与|（a×b）·c|的大小.
参考答案
一、选择题
CBDAB BDCDB
10．解: P=（++）·=（2,1,7）·（2,3,1）=14,选B
二、填空题
11．6； 12． （a+b+c）；13．
14．G为四面体A－BCD内一点，则G为四面体A－BCD重心的充要条件为+++=
三、解答题：本大题满分74分.
15．证明：构造m=（a,b,c），n=（x,y,z），…………（4分）由已知得|m|==1，|n|==1，…………（8分）m·n= ax+by+cz ，|m·n|=|m|·|n|·|cos|≤|m|·|n|=1，…………（12分）即－1≤ax+by+cz≤1.…………（14分）
16．证明：设直线的方向向量为f，平面内两相交直线的方向向量为m和n，…………（2分）则由已知可知f·m=0，f·n=0.…………（6分）根据平面向量基性质及分解定理知该平面内任一直线的方向向量a都可用m和n表示，设a=xm+yn，…………（10分）有f·a= f·（xm+yn）=xf·m+y f·n=0，即直线垂直平面内的任意直线，所以该直线与该平面垂直.…………（14分）
17．解：a==（1，1，0），b==（－1，0，2）…………（2分）
⑴cos===－,所以a与b的夹角为－arccos;…………（8分）
⑵ka+b=（k－1,k,2）,ka－2b=（k+2,k,－4），所以（k－1,k,2）·（k+2,k,－4）=2k2+k－10=0，解得k=－或k=2.…………（14分）
18．证明：⑴连接BG，则=+=（+）=++=+，由公共面向量推论知：E,F,G,H四点共面；…………（4分）
⑵因为=－=（－）=，所以BD∥EH，又EH面EFGH，BD在平面EFGH外，所以BD∥平面EFGH；…………（9分）
⑶连OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由⑵知=，所以=，即EH=FG且EH∥FG，所以EG和FH的被交点M平分，所以=（+）=（（+）+（+））=（+++）.…………（14分）
19．解：（1）以射线建立坐标系，…………（2分）则B（0，1，0）
20． 解：
a·p=(a1,a2,a3)·(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=a1a2b3-a1a3b2+a2a3b1-a1a2b3+a1a3b2-a2a3b1=0
∴a⊥p,同理b⊥p,且a,b不共线 即p为平面OAB为法向量.…………（4分）
（2）∵

……（9分）
（3）设C到平面OAB的距离为h（即为平行六面体的高）. 与平面OAB所成角为α 则V=Sh=|a×b||c|sinα,又(a×b)·c=|a×b||c|cos=|a×b|·|c|(±sinα),∴|(a×b)·c|=|a×b||c|sinα,即V=|(a×b)·c|…………（14分）