第一章 图形证明（二） 等腰梯形的性质和判定、中位线

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第一章 图形与证明（二） 1.4等腰梯形的性质和判定
基本知识概括
知识点1 等腰梯形的性质
性质定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。
性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
知识点 2 等腰梯形的判定
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
注意：一、判定一个梯形是等腰梯形通常有两种方法。1、定义：两腰相等的梯形是等腰梯形；
2、判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
二、等腰梯形的判定步骤：；一般是先判定一个四边形是梯形，然后是再用“两腰相等”或“在同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形。
基础知识应用题
例1 已知如图1-125所示，梯形AB∥CD中，ABCD,AD=BC,E是底边AB的中点，求证：DE=CE.
图1-125
例2 如图1-126所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形的周长是20cm,求梯形各边的长。
图1-126
做一做：等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm，10cm,6cm,则等腰梯形的下底角为 度。
例3 已知如图1-127所示，ΔABC中，AB=AC,BD,CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线。求证四边形EBCD为等腰梯形。
图1-127
综合应用题
本节知识的综合应用包括：（1）与三角形全等和相似的综合应用；（2）平行四边形判定与性质的综合应用。(3)矩形性质和判定的综合应用。
(1) 例4 已知图1-128所示，P为等腰梯形ABCD的下底BC上的一点，PM⊥AB,PN⊥CD,M,N为垂足，BE⊥CD, E为垂足。求证BE=PM+PN
图 1-128
例5 已知如图1-129所示，铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，已知路基基顶AB长6m，斜坡BC与下底CD的夹角为60°，路基高AE为2m,求下底CD的宽。
图1-129
例6 已知如图1-130所示，等腰梯形ABCD中, AB∥CD,AD=BC, AC⊥BD,CH是高，求证AB﹢CD=2CH.
图1-130
例7 已知如图1-131所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC,延长AB到E,使BE=DC。求证AC=CE.
图1-131
第一章 图形与证明（二） 1.5 中位线
基本知识概括
知识点1 三角形中位线定理
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
注意：（1）DE∥BC(DE与BC的位置关系)；（2）DE=0.5BC(DE与BC的数量关系)。
知识点 2 梯形中位线定理
定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。
基础知识应用题
例1 已知如图1-152所示，在四边形ABCD中，∠B=2∠C, E、F分别是AB，CD的中点，AD,BC的延长线分别与EF的延长线交于点H,G.求证：∠1=∠2.
图1-152
例2 如图1-153所示，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC,BD于F,E,AD=30cm,BC=40cm,求EF的长。
图1-153
综合应用题
本节知识的综合应用包括：（1）直角三角形性质的应用；（2）与等腰三角形性质的综合应用。
例3 已知图1-154所示，ΔABC中∠B=2∠C,AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证DM=0.5AB.
图1-154
例4 已知如图1-156所示，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E,DF⊥BC于F,MN是梯形中位线。求证DF=MN.
图1-156
例5 已知如图1-157所示，ABCD为等腰梯形，AB∥CD,对角线AC,BD交于O,且∠AOB=60°,有E,F,G分别为DO,AO,BC的中点。求证ΔEFG为等边三角形。
图1-157
例7 已知如图1-159所示，正方形ABCD中，AC与BD相交于O点，AH平分∠BAC交BC于H，交OB于F。求证CH=2OF.
图1-159
例8 已知如图1-160所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，E,F分别为AB,AC的中点，BD与AC的中点，BD与AC相交于点O，与EF相交于点G，求证GF=(BC-AD)/2
图1-160
能力扩展
例1 若梯形的面积为12平方厘米，高为3厘米，则此梯形的中位线长为多少厘米？
例2 如图1-161所示，在ΔABC中，∠BCA=90°,D,E分别是AC,AB边的中点，F在BC的延长线上，∠CDF=∠A.求证四边形DECF是平行四边形。
图1-161
例3 如图1-162所示，在ΔABC中，∠BAC=90°,延长BA到点D，使AD=0.5AB,点E,F分别为边BC,AC的中点。
（1） 求证DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,交DF于点G，求证AG=DG.
图1-162
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