（高三复习课第一课时）
课题：函数的单调性
许昌高中 罗建军
教学目标：
1.知识目标
①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤；
②会求函数的单调区间.
2.能力目标
①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力.
②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力.
③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.
3.情感目标
培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验.
教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.
教学难点：函数单调区间的求法.
教学方法：启发诱导式、讨论式.
教学手段：多媒体辅助教学.
教学过程：
【知识回顾】
首先请同学们回忆函数单调性的定义.
1. 函数单调性的定义：一般地，设函数的定义域为 ，如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 , ，当时，都有()，那么就说在这个区间上是增函数(减函数).
理解函数单调性时，应注意以下问题：
(1) 函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的 , 相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代.
(2) 在区间D1 、D2上是增函数，但不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样在区间D1 、D2上是减函数，但在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如：在区间上为减函数，在上也是减函数，但在上就不能说成是减函数.
在正确理解和掌握了函数单调性的概念之后，我们要着重解决两个问题：①证明函数的单调性；②求函数的单调区间.下面我们通过具体的实例来说明这两个问题的解决方法.
【例题精讲】
例1. 证明函数在区间(0，)上是减函数.
证法一：（定义法）任取、∈(0，)，且 ＜ ，
则，
，
∵ ， ∴，
又∵，∴ ，∴，
∴即，∴，
∴函数在区间(0，)上是减函数.
证法二：(导数法)∵，
∴ ，
又， ∴在上，
∴即 ，
∴在上是减函数.
总结用定义法证明函数单调性的一般步骤是：
(1) 取值：对任意 ，，且；
(2) 作差变形：；
(3) 定号得出结论.
导数法是我们判断或证明函数单调性的又一重要手段，那么请同学们思考利用导数证明函数单调性的方法是什么.
如果函数在定义域的某个区间上，则函数在区间上是增函数；如果函数在定义域的某个区间上，则函数在区间上是减函数.
点评：通过例1要求同学们掌握证明函数单调性的基本方法：定义法和导数法.
变式. 求函数的单调区间.
解：∵，
令，可解得或，
∴在区间和上是增函数.
令，可解得或，
∴在区间和上是减函数.
点评：在求函数的单调区间时，我们通常采用导数的方法，把问题转化成解不等式的问题，体现了化归转化的数学思想.
例2．求函数的单调区间.
解：∵，
∴，
当 时，若，解得或，
若，解得，
∴在，上单调递增，在上单调递减；
当时，≥恒成立，∴在上单调递增；
当时，若，解得或，
若，解得，
∴在，上单调递增，在上单调递减.
点评：本题和例1的变式题形上相同，但在处理本题时我们除了要把它转化成求解不等式的问题之外，还要采用分类讨论的数学思想，注意思想方法的应用.
【课堂练习】
1. 设函数，则函数的单调增区间是 ，
； 单调减区间是 .
2．证明函数在上是减函数.
3. 判断函数在区间上的单调性.
【课堂小结】
本节课我们从函数单调性的概念入手，着重复习了：
1. 证明函数单调性的方法；
2. 函数单调区间的求法.
附:【板书设计】
函数的单调性
一、知识回顾 例2.
定义：
二、例题 三、课堂练习
例1． 1.
2.
3.
四、课堂小结
变式.
课件12张PPT。高三复习课(第一课时)函数的单调性许昌高中 罗建军一、知识回顾 如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量 的值，当 时，都有 ( )，那么就说 在这个区间上是增函数(减函数).理解函数单调性时，应注意的问题： 2. 在区间 、 上是增函数，但 在区间 上不一定是增函数；同样 在区间 、 上是减函数，但 在区间 上不一定是减函数.
1.函数的单调区间是定义域的子集，确定函数的单调区间时，应首先确定其定义域.
二. 例1.证明函数 在区间
上是减函数. 例题 用定义证明函数 在区间 上的单调性的一般步骤： 1.取值；2.作差变形；3.定号得出结论. 已知函数 的定义域为 ，在 的某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上是增函数；如果 ，那么函数 在区间 上是减函数.
变式.求函数 的单调区间.
例2.求函数 的单
调区间. 三.设函数 ，则函数 的
单调增区间是 , ； 单
调减区间是 .
2.证明函数 在区间 上是减函数.
3.判断函数 在区间 上
的单调性.
一试身手四、 本节课我们从函数单调性的概念入手，着重学习了：
1.证明函数单调性的方法；
2.函数单调区间的求法.
课堂小结 许昌高中 罗建军 欢迎指导
