第一章 函数的单调性和奇偶性
一、单调性、奇偶性回顾引入：
1、函数最大值最小值的方法：画图象、利用初等函数的结论、利用单调性求函数的最值。
2、复合函数的单调性：设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。
3. 奇偶函数性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,
y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②如作图象、求另一半的解析式、求性质等都只需已知一半就可得另一半，如：偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，
③为偶函数，为唯一的既奇且偶函数，
④奇函数在0处有定义则必有，偶函数
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
二、单调性和奇偶性综合问题：
例1、已知，偶函数在区间上是增函数，那么在区间上的单调性如何？试证明之.
偶函数在区间上是减函数呢？
结论：偶函数在和处的单调性相反.
为奇函数呢？
结论：偶函数在和处的单调性相反，奇函数在和处的单调性相同.
例2．讨论函数
求证在区间上是减函数；
划分在定义域上的单调区间；
分别求在上的最大值和在上的最小值；
解：利用前些课证明结论：在区间上是增函数，结合是奇函数解2、3两小题.
符号函数
例3、已知函数f(x)的定义为R，对任意的实数x1,x2都满足f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)>0，试判断f(x)的奇偶性和单调性；
解：首先，所以奇函数．
设，则，所以，增函数，
例4.设函数是奇函数，且当时是增函数，若f(1)=0，求不等式 的解集.
解：由可得：，
由前一不等式可解得；；
由后一不等式可解得：，故原不等式的解集为：
例5、设函数f(x)定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意x,y∈R，有 f(x+y)=f(x)·f(y)。
（1）证明：f(0)=1; （2）证明：x<0时，f(x)>0（3）证明：f(x)在R上是增函数；
解 （1）证明：为使f(x+y)=f(x)·f(y)中出现f(0)，借助当x>0时，f(x)>1。则设x=0,y=1得：f(0+1)=f(0)·f(1)，即f(1)=f(0)·f(1) ∵f(1)>1 ∴f(0)=1
（2）事实上，当x1>0时，f(x1)>1>0
当x1=0时，f(x1)=1>0
当x1<0时，f(x1)·f(－x1)=f(x1－x1)=f(0)=1
又∵f(－x1)>1 ∴00
(3)证明f(x)在R上是增函数，即证明当x1∵对x1,x2∈R,x10 ∴f(x2)=f(x1+x2－x1)=f(x1)·f(x2－x1)
中有f(x2－x1)>1 故要证明f(x2)>f(x1)，只要f(x1)>0即可。
∴f(x2)=f(x1)·f(x2－x1)>f(x1)，故命题得证。
三、课堂小结：
四、作业：P44 A：8； B：5
补充：1、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数
证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数
2、已知f(x)是定义在Ｒ上的奇函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围。
简解：f(x)是Ｒ上的奇函数且在上为减函数，∴在R上为减函数由有：
解得a≥2.
3、若函数 在 上是奇函数,试确定 的解析式.
分析:欲求 的值,根据方程思想只需找出关于 的两个独立条件列方程,而列方程的依据是 是 上的奇函数.
解:在 中,由 得 ,由 得 ,得 ,
.
4、设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，
（1）证明：，且时
（2）证明：函数在R上单调递减
课外作业：成材之路：P38 1.3.2（二），P41 习题课 ；背面1.3.2（二）
课件11张PPT。函数的单调性和奇偶性 一、单调性、奇偶性回顾引入：1、函数最大值最小值的方法：画图象、利用初等函
数的结论、利用单调性求函数的最值。②如作图象、求另一半的解析式、求性质等都只需已知
一半就可得另一半，如：偶函数在定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原
点对称的两个区间上单调性相同，
