绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
数 学（文史类）
说明：本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合则（ ）
A． B． C． D．
2．已知都是非零向量，命题，命题与夹角为钝角.则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．前段时间，三鹿奶粉添加三聚氰胺的问题引起全社会的关注.某市质量监督局为了保证人民的饮食安全，要对超市中奶粉的质量进行专项抽查.已知该地区超市中卖的各种类型的奶粉的分布情况如下：老年人专用奶粉300种，普通奶粉240种，婴幼儿奶粉360种，现采用分层抽样的方法抽取150种进行检验，则这三种型号的奶粉依次应抽取（ ）
A．种，种，种 B．种，种，种
C．种，种，种 D．种，种，种
4．有下列命题：①已知，若∥平面，∥平面，则∥平面.
②已知和直线，若则.③已知直线和平面，是平面内任意一条直线，若∥，则∥.④已知直线和平面，若，则. 其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．用与球心距离为的平面去截球，所得截面面积为，则截面直径的两个端点的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和为，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．一次演讲比赛中，需要安排名选手的出场顺序，方法是按照姓氏笔画的多少（由少到多）安排，如姓氏笔画数相同，则顺序任意.统计发现，10名选手中姓氏笔画为4画的有2人，5画的有3人，6画的有4人，7画的有1人，则不同的出场顺序共有（ ）
A．24种 B．48种 C．144种 D．288种
9．定义在R上的函数为奇函数，且为偶函数.记，若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
10．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
第 Ⅱ 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．设，若，且，则在 的展开式的各项系数中，最大系数的值是_______________．
12．设双曲线的两条渐近线与左准线围成的三角形区域（包含边界）为为内的一个动点，则目标函数的最大值为______．
13．用表示等差数列的前项和.若
，则此等差数列的项数＝_____．
14．在中，，其所在平面外一点到三个顶点的距离都是25，则点到平面的距离为__________．
15．已知，则的值为 ，
的值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题12分）已知.其中．
（1）若，求的值；
（2）设，求的最大值．
17．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，，与平面所成的角为，为的中点.
（1）若为线段上的一点且,
求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角
的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
18．（本题12分）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求的单调区间；
（2）若不等式（O为原点）在上恒成立，求实数的的取值范围．
19．（本题12分）有一种游戏，要求游戏者从一个不透明的箱子中摸球，箱子中装有6个不同编号的白球和个不同编号的黄球（这些球外形相同），操作一次就是从中摸出两球，若摸出的两球颜色不同，该次操作得分；若摸出的两球颜色相同，该次操作得分.一个人操作若干次，如果总得分恰为分，就称游戏“获胜”．
（1）若游戏参与者只有一次操作的机会，他“获胜”的概率为.试用表示，并求为何值时，最大？
（2）若某个人连续操作四次（每次操作后把球放回），问为何值时，他“获胜”的概率最大？
20．（本题13分）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于不同的两点．
（1）若与轴交于点，且，求直线的方程；
（2）设为椭圆上一点，且（O为原点），，求实数的值.
21．（本题14分）已知数列对任意正整数，都有，，且,.
（1）求证：存在实数，使数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）求证：当时，．
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2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
数学参考答案（文史类）
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
A
B
D
D
C
A
二、填空题：
11. 20 12. 4 13. 22 14. 24 15.
三、解答题：
16.解：（1）由得
………………………………………2分
…………………………6分
（2）
…………………………10分
……………12分
17.解：（1）取SA的中点H，连结EH,BH
E是SD的中点
四边形EFBH为平行四边形
又
………………………4分
（2）
以为原点，为轴，为轴，为轴，如图所示建立直角坐标系，
则
设是平面的法向量，则
取
则到平面的距离为 …………………………8分
（3）设，则
设是平面的法向量，则
取
由 得
， 故存在G点满足要求，. …………………………12分
18.解：
由已知，得
…………………………3分
（1）
由，得或
由，得
的递增区间是，递减区间是……………………6分
（2）不等式即
由，得
又
在内最大值为6，最小值为－14
的取值范围为 …………………………12分
19.解：（1） …………………………2分
随的增大而增大
当时， …………………………6分
（2）连续操作四次“获胜”的概率记作，则
当且仅当 即时取“＝”
由 ，得
当时，“获胜”的概率最大. …………………………12分
20.解：设A、B的坐标分别为 的方程为：
（1）N点坐标
所求的方程为： …………………………6分
（2）由 得
， ，
设点坐标为 ， 显然
…………………………13分
21.解：（1）欲使为等差数列，只需
即
令 得
存在实数，使是等差数列. …………………………3分
（2）
是等差数列，
…………………………5分
故 …………………………8分
（3）当时，
又，
左式. …………………………14分
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
数 学（理工农医类）
说明：本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列的前n项和为,且满足,则等于( )
A. B. C.1 D.2
4.某高三年级的三个班级去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案是 ( )
A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种
5.若函数的图象向右平移()个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象与函数的图象有三个不相同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如果把直线向左平移1 个单位，再向下平移2个单位，便与圆
相切，则实数的值是（ ）
A.13或3 B.13或-3 C.- 13或3 D.-13或-3
8.已知点P是椭圆上的动点,为椭圆的两个焦点，是坐标原点,若是的角平分线上一点,且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 正四面体A—BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，设，与分别表示EF与AC，BD所成的角，则（ ）
A.是（0，+∞）上的增函数 B.是（0，+∞）上的减函数
C.在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减 D.是（0，+∞）上的常数函数
10. 定义在上的函数满足，现给定下列几个命题：
①不可能是奇函数；②；③不可能是常数函数；④若，则不存在常数，使得成立．在上述命题中错误命题的个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第 Ⅱ 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.）
11．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 ．
12．将函数向右平移一个单位后是一个偶函数，则的单调递减区间为 ．
13．已知是数列中的三个非负项，则 的最小值为 ．
14．函数（）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.而对于非线性可导函数，在已知点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，对于实数，取，则的近似代替值 ．（填“>”或“<”或“=”）
15．如右图所示的的数表，满足每一行都是公差
为的等差数列，每一列都是公比为的等比数列．
已知，则 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分12分） 已知向量，函数.
（1）将f(x)写成的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域.
17．（本题满分12分）现从放有标号分别为数字1、2、3、4、5的5 张卡片的盒子中，有放回地先后取两张卡片，设两卡片的标号分别为，且设．
（1）求随机变量的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求随机变量的分布列及其期望．
18．（本题满分12分）如图，四面体的各个面都是直角三角形，已知,
,．
（1）若，求证：；
（2）求四面体的表面积．
19．（本题满分13分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0. 不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.
20.（本题满分13分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.
21.（本题满分13分）已知函数，
（1）试确定的单调性；
（2）数列满足，且，表示的前项之和
①求数列的通项； ②求证：.
2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
数 学（理工农医类）参考答案
1～10：C C B C A B A B D A
11、 12、 13、 14、>
15、 （提示：15.，又）
16.解：（1）
………3（分）
由=0即
即对称中心为 …………6（分）
（2）已知b2=ac
即的值域为综上所述，，故值域为…12（分）
17．解：（1）的最大值为6，此时有或，故所求的概率为. …………5（分）
（2）的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
……………10（分）
……12（分）
18.解：（1）， 又
…………5（分）
（2）当时，则
其表面积
当与不垂直时，则，否则由（1）知，可得（矛盾）.
当时，与不能垂直，否则
，从而，与矛盾.
，从而可得 …………①
由得， …………②
根据①、②得：，从而导致矛盾.
，从而得到
当时，
当时，
，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，舍去..
其表面积为.……………12（分）
19.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
…………（3分）
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. ……（6分）
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*， 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0 由此猜测b的最大允许值是1. ……………（10分）
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk )>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b最大允许值是1.…（13分）
20. 解：(1)设双曲线方程为，由椭圆求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为 ……………（5分）
(2)解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：，则
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
，
此时.所求的坐标为. …………（13分）
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
，.
，，，
又，，即
将代入得
，否则与渐近线平行。。
.
21.（1）
故在上是单调递增函数，在上是单调递减函数 ……4（分）
（2）①
是公差为1的等差数列，且首项为
故 ……………9（分）
②由（1）知，当时，在是单调递减函数，又，，即
.
………13（分）
