数学在高考中涉及的数学思想

数学在高考中涉及的数学思想有以下四种:
（A）分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整“。科学分类的基本原则是正确，不重不漏，合理，便于讨论，科学分类的步骤是：明确对象的全体—— 确定分类标准—— 科学分类—— 逐一讨论—— 归纳小结得出结论。
（B）函数与方程的思想：
函数与方程是贯穿中学数学的主线，函数是客观实践中量与量之间相互依存，相互制约的关系的反映，方程则是这种关系在某种特定条件下的具体形式。
（C）变换与转化思想：在研究和解决一些数学问题时常采用某种手段进行命题变换，以达解决问题的目的。
常见有以下三个方面
①把复杂问题通过变换转化为较简单的问题。
②把较难问题通过变换转化为较易的问题。
③把没解决问题通过变换转化为已解决的问题。
常见转化方法有：
（1）直接转化法（2）换元转化法（3）数形结合转化法（4）构造模型转化法（5）参数转化法（6）类比转化法。
（D）数形结合思想：数形结合思想是应用客观事物中数与形的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，①寻求解题的切入点 ②简化解题过程 ③ 转换命题 ④验证结论的正确与完整。
数形结合的思想就是利用图形进行思维简缩，对选择、填空题的求解住住能大大简化思维过程，争取解题时间。
数形结合住住借助：
① 函数与图象的对应关系 ②方程与曲线的对应关系
③ 以几何元素，几何条件建立的概念。
④数与式的结构具有明显的几何意义。
例1、解不等式 + + 3x +1> 0
例2、实数x、y 满足 x ≥1 y ≥ 1 且log2ax + log2ay =
loga(ax ) + loga(ay ) (a ≠ 0 且a ≠1) 当a在（1,+ ∞）范围变化时求loga (xy) 的取值范围。
（2）基本数学方法
基本数学方法包括 （A）思维方法 观察 比较 归纳 概括
（B）逻辑方法 综合法 分析法 反证法 枚举法 数学归纳法
（C）一般方法 配方法 换元法 待定系数法 公式法 几何变换法
（平移 对称 延展 放缩 旋转 分割 补形……）
例1 已知x+ y +2x <0 下列各式中正确的是
A、x2+y2+4x+3 > 0 B、x2+4x+y2+3 < 0
C、x2+y2 +6x+8 > 0 D、x2+y2+6x+8 < 0
分析配方法：已知 (x +1)2 +y2 <1 图略
而A (x+2)2 +y2 >1 后略
例2. 当x2 +xy + y2 = 1 时 求x2+y2 的最值.
分析(1) (x – y)2=1-3xy≥ 0 xy≤ 1/3
配方法(2)(x + y)2=1+xy≥ 0 xy ≥-1
x2+y2的范围
法二：换元令x= cosθ y= sinθ (k>0, θ∈R)
代入得
例3、对x ∈ R 求证 ： （x2+4x+5）(x2+4x+2)+2x2+8x≥-10
分析 关键是如何降次 考虑换元法
其余有关旋转、补形等例题略
5、有计划地加强有效训练，不断提高四种数学能力。
考试说明指出“对能力的考察”以思维能力为核心，全面考察各种能力，强调探究性、综合性、应用性、切合考生实际，对数学能力的考察要以数学基础知识，数学思想方法为基础，加强思维品质的考察，对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识方法的深度和广度，切合中学数学教学实际。
（1）思维能力
思维能力是数学能力的核心，数学思维能力包括如下要求：
（A）数学概括能力
（B）数学抽象能力
（C）数学推理能力
（D）数学归纳能力
（E）数学简缩能力
（F）数学语言的表述能力
数学思维主要是逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，即从概念出发，严格遵循逻辑推理的规则（主要是“三段论”的推理模式）进行推理，达到判断和证明的目的。
例题略……
（2）运算能力：（提高运算能力注意以下几点）
（A）合理运用概念、公式、法则、定理、定律、提高运算的准确性。
（B）精心设计运算过程，提高运算的合理性和简捷程度。
（C）灵活运用数学思想方法，化繁为简。
（例题 略）
（3）空间想象能力
高考对这种数学能力要求有四点
（A）根据题设条件想象和画出图形
（a）识别图形——能利用图形的题设条件“看”出几何体的形状、大小相互位置关系，几何体的几个元素在平面上，空间中的相互位置关系，排列顺序。
（b）画出图象——能将题目给出的文字语言、符号、语言转换为图形语言，按照画法规则绘制相应的空间图形。
（B）对几何图形的处理——图形的分割、组合、变形
（a）能对图形进行分割、补全、折叠、展开。
（b）能对图形进行平移变形处理 ，添加辅助线、面、体，将空间图形的某部分移出体外，空间图形的平面化处理将复杂图形简单化，非标准图形标准化。
（d）通过建立空间坐标系，利用向量知识解决有关立体几何问题是综合考察数学能力的重要途径。
（4）解决实际问题的能力
解决实际问题的能力是人们认识世界，改造世界的能力。较之前三种能力，它是更高层次和内涵更为宽泛的能力。
高考对解决实际问题能力的考察要求是：
（A）设计情景新，设问方式新的试题，增大思考量，减少运算量（B）加强对数学语言的考察，要求学生通过阅读和思维，把文字语言，表格语言、图形语言转化为数学语言，考察考生接受信息处理信息的能力。
（C）近年来对实际能力的考察，主要是通过开放性试题和实际应用问题来进行的。
开放性试题包括：○1判断性问题○2归纳性问题○3操作性问题
应用性问题包括：○1直接套用现成方式求解
○2利用现成数学模型求解
○3根据数学条件建立数学模型求解
解决实际问题的一般程序：
○1审题——读懂题面，理解题意，分清条件和结论，利用图表理顺数量关系。
○2建模——将题中的文字语言，转化为数学语言，建立相应的数学模型。
○3解模——求解模型，得出数学结论。
○4还原——将数学结论还原为实际问题的意义，通过检验得出应用问题的结论。
b:发挥选择题，填空题的思维训练和能力训练功能，选择、填空
题都是客观试题，它的特点是：
（A）概念性强 （B）量化突出 （C）充满思辩性 （D）形数皆备 （E）解法多样形 (F)题量大，分值高，实现对“三基”的考查。