数学方法专题六概率与统计
图片预览
文档简介
专题七 概率与统计
★★★高考在考什么
[考题回放]
1．（2009安徽卷）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ D ）
（A） （B） （C） （D） ( http: / / www. )
2．(2008年全国Ⅱ)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ D ）
A． B． C． D．
3、甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ D ）
A． B． C． D．
4.（2009重庆卷）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）
A． B． C． D．
5、（09山东卷）在区间上随机取一个数, ( http: / / www. / )的值介于0到之间的概率为 （ A ）
A． B． C． D．
6、（2009江西卷）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ D ）
A． B． C． D．
7、设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，
第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为，所以所求的概率为．
8. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 .
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知,求初三年级中女生比男生多的概率.
.解: (1)由,解得,
(2)初三年级人数为,
设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12.
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，
由（2）知，则基本事件总数有：
共11个，
而事件包含的基本事件有：
共5个，
∴
9、育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
★★★高考要考什么
1．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．
2．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．
3．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．
4．要搞清两个重要公式：的运用前提．
5．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．
6．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．
7．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．
★★★突破重难点
【范例1】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两人分别从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得
，
所以
，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
【变式】有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位
上就坐时.
(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2) 若这5个人坐在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位
解:（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．
【范例2】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率
都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件
“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的
概率为.
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学
生在上学路上遇到次红灯的事件.则由题意，得，
.
由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
∴事件B的概率为.
【范例3】某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周一、周三、周五的课外活动期间开设文学、历史、地理和政治辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如右表：根据此表：
政治 历史 地理 文学
周一
周二
周三
⑴求在周一、周三、周五的三天讲座中，至少有一天文学讲座不满座的概率；
⑵求周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率．
解析：（1）设文学辅导讲座在周满座为事件，依题意，，且相互独立。所以，文学辅导讲座在周一、周三、周五至少有一天不满座的概率为
（2）设事件为：“政治、历史、地理三科在周一的讲座中满座的科目数为”，则．
设事件B为；“周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座”，则
∴周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率
【范例4】某校从参加计算机水平测试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分为六段，[40，50）， [50，60），[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和利用各组中值估计这次考试的平均分（组中值即数据区间的中点值，如[60，80）的组中值为70）；
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概率.
解：（1）设分数在内的概率为x，根据频率分布直方图，有
（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3,所以频率分布直方图如右图所示，
（2）平均分为：
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
(3)成绩在段的概率为0.025×10=0.25,
成绩在段的概率为0.005×10=0.05,
所以成绩在同一分数段的概率p=
1．解析：（1）第k次开门用正式钥匙为事件，依题意当有放回取钥匙开门时，，
则，
∴
（2）设第k次开门用正式钥匙为事件，用装修钥匙为事件
2．2010年5 月1日将在上海举行世博会，在宝剑保障方面，警方从武警训练基地挑选防暴警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项指标中至少有两项通过即可入选．假设某基地的四名武警战士（分别记为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应测试的概率分别为、、，这三项测试能否通过相互之间没有影响．
（１）求Ａ能够入选的概率；（２）规定：入选１人，则相应地训练基地得到３０００元的训练经费，否则得不到训练经费，求该基地得到训练经费恰为6000元的概率．
2．解：（1）设一人分别通过体能、射击、反应测试依次为事件、、，Ａ能够入选为事件A
则Ａ能够入选的概率
（2）该基地得到训练经费恰为 6000元，即四名武警战士中恰有两人入选，依题意，四名武警战士中任意一名入选的概率都等于，由独立重复四次试验恰有两次发生的概率知，该基地得到训练经费恰为6000元的概率为
3．（本小题满分12分）射击运动员在双向飞碟射击比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个得1分，未击中0分．已知甲运动员射击第一枪和第二枪的命中率都是；乙运动员射击第一枪命中率为，第二枪命中率为．设甲、乙两人进行一轮比赛结束时各人所得总分各为、，且二人在射击每一枪时不受任何影响．
（I）试比较甲得1分的概率与乙得1分的概率的大小；（II）求甲比乙恰好多得一分的概率。
3．解；（I）甲得1分的概率
乙得1分的概率
∵，∴
因此，甲得1分的概率小于乙得1分的概率。
（II）设甲比乙恰好多得一分为事件A，
则
4．设一种母兔每月生产一次，每次产下两只小兔，且产下雄兔的概率是．现有五只具有正常生育能力的兔妈妈，设它们在一个月中，产下雄兔的只数为．（１）求；（２）从10只新生小兔中任意取出4只，求恰好有两只是同一兔妈妈所生的概率．
4．解：（１）依题意，事件“五只母兔每只产下两只小兔的十只小兔中有只雄兔”的概率与事件“一只母兔一次产下十只小兔中有只雄兔”的概率相等．而每一只小兔为雄兔的概率都是，所以，
（２）从10只新生小兔中任意取出4只，取法种数为，取出的四只小兔中恰有二只是同一兔妈妈所生的取法种数为，所以，取出的四只小兔中恰好有两只是同一兔妈妈所生的概率
5.某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需
政治 历史 地理 文学
周一
周二
周三
求，决定从高一年级开始，在每周一、周三、周五的课外活动
期间开设文学、历史、地理和政治辅导讲座，每位有兴趣的同
学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可
以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定：各科达到预先设定的
人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座
各天的满座的概率如右表：根据此表：
⑴求在周一、周三、周五的三天讲座中，至少有一天文学讲座不满座的概率；
⑵求周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率．
5．解析：（1）设文学辅导讲座在周满座为事件，依题意，，且相互独立。所以，文学辅导讲座在周一、周三、周五至少有一天不满座的概率为
（2）设事件为：“政治、历史、地理三科在周一的讲座中满座的科目数为”，则．
设事件B为；“周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座”，则
∴周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率
6．在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次；而且规定，每投一球要交换投球地点．某同学在A处的命中率为，在B处的命中率为．该同学选择先在A处投一球，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
0 2 3 4 5
求的值；求、的值；试比较该同学选择先在Ｂ处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
6．解析:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且，, ，．
根据分布列知：=0时，，所以，
（2）当=2时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当=3时，
（3）该同学选择先在B处投篮得分超过3分的概率为
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为
∵，∴该同学选择先在B处投篮得分超过3分的概率大．
【变式】
17.解: (1)由,解得,
(2)初三年级人数为,
设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12.
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，
由（2）知，则基本事件总数有：
共11个，
而事件包含的基本事件有：
共5个，
∴
20．解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求一、选择题
1.（09山东11）在区间上随机取一个数, ( http: / / www. / )的值介于0到之间的概率
为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或 ( http: / / www. / )∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
答案 A
2.(09山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概
率为 ( ).
A. B. C. D.
【解析】在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
答案 A
3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等
于 （ ）
A． B． C． D． ( http: / / www. / )
【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
6个点中任意选两个点连成直线，共有 ( http: / / www. / )
种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
共12对，所以所求概率为 ( http: / / www. / )，选D
答案 D
４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）
A.1 B. C. D. 0
【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。
答案 A
5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】所有可能的比赛分组情况共有 ( http: / / www. / )种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.
答案 D
6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ( http: / / www. / )故选D
答案 D
7.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论
是 （ ）
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
答案 A
8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）
A． B． C． ( http: / / www. / ) D．
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝
取到的点到O的距离大于1的概率为
答案 B
９.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【解析】＝＝
的概率为（17）解:（Ⅰ） ---------------------------2分
高三年级人数为-------------------------3分
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为
(人). --------------------------------------6分
（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.
由（Ⅰ）知且
则基本事件空间包含的基本事件有
共11个, ------------------------------9分
事件包含的基本事件有
共5个
--------------------------------------------------------------11分
答：高三年级女生比男生多的概率为. ………………………………………．
A
B
C
D
E
F
PAGE
5
★★★高考在考什么
[考题回放]
1．（2009安徽卷）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ D ）
（A） （B） （C） （D） ( http: / / www. )
2．(2008年全国Ⅱ)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ D ）
A． B． C． D．
3、甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ D ）
A． B． C． D．
4.（2009重庆卷）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）
A． B． C． D．
5、（09山东卷）在区间上随机取一个数, ( http: / / www. / )的值介于0到之间的概率为 （ A ）
A． B． C． D．
6、（2009江西卷）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ D ）
A． B． C． D．
7、设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，
第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为，所以所求的概率为．
8. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 .
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知,求初三年级中女生比男生多的概率.
.解: (1)由,解得,
(2)初三年级人数为,
设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12.
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，
由（2）知，则基本事件总数有：
共11个，
而事件包含的基本事件有：
共5个，
∴
9、育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
★★★高考要考什么
1．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．
2．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．
3．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．
4．要搞清两个重要公式：的运用前提．
5．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．
6．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．
7．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．
★★★突破重难点
【范例1】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两人分别从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得
，
所以
，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
【变式】有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位
上就坐时.
(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2) 若这5个人坐在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位
解:（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．
【范例2】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率
都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件
“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的
概率为.
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学
生在上学路上遇到次红灯的事件.则由题意，得，
.
由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
∴事件B的概率为.
【范例3】某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周一、周三、周五的课外活动期间开设文学、历史、地理和政治辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如右表：根据此表：
政治 历史 地理 文学
周一
周二
周三
⑴求在周一、周三、周五的三天讲座中，至少有一天文学讲座不满座的概率；
⑵求周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率．
解析：（1）设文学辅导讲座在周满座为事件，依题意，，且相互独立。所以，文学辅导讲座在周一、周三、周五至少有一天不满座的概率为
（2）设事件为：“政治、历史、地理三科在周一的讲座中满座的科目数为”，则．
设事件B为；“周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座”，则
∴周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率
【范例4】某校从参加计算机水平测试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分为六段，[40，50）， [50，60），[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和利用各组中值估计这次考试的平均分（组中值即数据区间的中点值，如[60，80）的组中值为70）；
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概率.
解：（1）设分数在内的概率为x，根据频率分布直方图，有
（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3,所以频率分布直方图如右图所示，
（2）平均分为：
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
(3)成绩在段的概率为0.025×10=0.25,
成绩在段的概率为0.005×10=0.05,
所以成绩在同一分数段的概率p=
1．解析：（1）第k次开门用正式钥匙为事件，依题意当有放回取钥匙开门时，，
则，
∴
（2）设第k次开门用正式钥匙为事件，用装修钥匙为事件
2．2010年5 月1日将在上海举行世博会，在宝剑保障方面，警方从武警训练基地挑选防暴警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项指标中至少有两项通过即可入选．假设某基地的四名武警战士（分别记为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应测试的概率分别为、、，这三项测试能否通过相互之间没有影响．
（１）求Ａ能够入选的概率；（２）规定：入选１人，则相应地训练基地得到３０００元的训练经费，否则得不到训练经费，求该基地得到训练经费恰为6000元的概率．
2．解：（1）设一人分别通过体能、射击、反应测试依次为事件、、，Ａ能够入选为事件A
则Ａ能够入选的概率
（2）该基地得到训练经费恰为 6000元，即四名武警战士中恰有两人入选，依题意，四名武警战士中任意一名入选的概率都等于，由独立重复四次试验恰有两次发生的概率知，该基地得到训练经费恰为6000元的概率为
3．（本小题满分12分）射击运动员在双向飞碟射击比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个得1分，未击中0分．已知甲运动员射击第一枪和第二枪的命中率都是；乙运动员射击第一枪命中率为，第二枪命中率为．设甲、乙两人进行一轮比赛结束时各人所得总分各为、，且二人在射击每一枪时不受任何影响．
（I）试比较甲得1分的概率与乙得1分的概率的大小；（II）求甲比乙恰好多得一分的概率。
3．解；（I）甲得1分的概率
乙得1分的概率
∵，∴
因此，甲得1分的概率小于乙得1分的概率。
（II）设甲比乙恰好多得一分为事件A，
则
4．设一种母兔每月生产一次，每次产下两只小兔，且产下雄兔的概率是．现有五只具有正常生育能力的兔妈妈，设它们在一个月中，产下雄兔的只数为．（１）求；（２）从10只新生小兔中任意取出4只，求恰好有两只是同一兔妈妈所生的概率．
4．解：（１）依题意，事件“五只母兔每只产下两只小兔的十只小兔中有只雄兔”的概率与事件“一只母兔一次产下十只小兔中有只雄兔”的概率相等．而每一只小兔为雄兔的概率都是，所以，
（２）从10只新生小兔中任意取出4只，取法种数为，取出的四只小兔中恰有二只是同一兔妈妈所生的取法种数为，所以，取出的四只小兔中恰好有两只是同一兔妈妈所生的概率
5.某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需
政治 历史 地理 文学
周一
周二
周三
求，决定从高一年级开始，在每周一、周三、周五的课外活动
期间开设文学、历史、地理和政治辅导讲座，每位有兴趣的同
学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可
以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定：各科达到预先设定的
人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座
各天的满座的概率如右表：根据此表：
⑴求在周一、周三、周五的三天讲座中，至少有一天文学讲座不满座的概率；
⑵求周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率．
5．解析：（1）设文学辅导讲座在周满座为事件，依题意，，且相互独立。所以，文学辅导讲座在周一、周三、周五至少有一天不满座的概率为
（2）设事件为：“政治、历史、地理三科在周一的讲座中满座的科目数为”，则．
设事件B为；“周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座”，则
∴周一的四个讲座中恰好有两个讲座满座的概率
6．在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次；而且规定，每投一球要交换投球地点．某同学在A处的命中率为，在B处的命中率为．该同学选择先在A处投一球，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
0 2 3 4 5
求的值；求、的值；试比较该同学选择先在Ｂ处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
6．解析:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且，, ，．
根据分布列知：=0时，，所以，
（2）当=2时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当=3时，
（3）该同学选择先在B处投篮得分超过3分的概率为
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为
∵，∴该同学选择先在B处投篮得分超过3分的概率大．
【变式】
17.解: (1)由,解得,
(2)初三年级人数为,
设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12.
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对，
由（2）知，则基本事件总数有：
共11个，
而事件包含的基本事件有：
共5个，
∴
20．解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求一、选择题
1.（09山东11）在区间上随机取一个数, ( http: / / www. / )的值介于0到之间的概率
为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或 ( http: / / www. / )∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
答案 A
2.(09山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概
率为 ( ).
A. B. C. D.
【解析】在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
答案 A
3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等
于 （ ）
A． B． C． D． ( http: / / www. / )
【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
6个点中任意选两个点连成直线，共有 ( http: / / www. / )
种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
共12对，所以所求概率为 ( http: / / www. / )，选D
答案 D
４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）
A.1 B. C. D. 0
【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。
答案 A
5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】所有可能的比赛分组情况共有 ( http: / / www. / )种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.
答案 D
6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ( http: / / www. / )故选D
答案 D
7.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论
是 （ ）
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
答案 A
8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）
A． B． C． ( http: / / www. / ) D．
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝
取到的点到O的距离大于1的概率为
答案 B
９.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【解析】＝＝
的概率为（17）解:（Ⅰ） ---------------------------2分
高三年级人数为-------------------------3分
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为
(人). --------------------------------------6分
（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.
由（Ⅰ）知且
则基本事件空间包含的基本事件有
共11个, ------------------------------9分
事件包含的基本事件有
共5个
--------------------------------------------------------------11分
答：高三年级女生比男生多的概率为. ………………………………………．
A
B
C
D
E
F
PAGE
5