一元二次方程
1、 本章主要内容及要求
1、 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式。
2、 掌握一元二次方程的四种解法,并能灵活运用。
3、 掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解相应问题。
4、 了解一元二次方程根与系数的关系,会用它们解决有关问题
5、 列一元二次方程解应用题。
2、 典例
例1、 已知a是方程的一个根,求的值。
(此题是一元二次方程的根的概念的具体运用)
分析:因为a是方程的根,则有且a≠0,所以,。于是原式=…
例2、已知a、b、c分别是△ABC的三边的长,当m>0时,关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,试分析△ABC的形状。(此题是一元二次方程与勾股定理、因式分解知识的综合运用)
分析:先将方程化成一般形式,再求出△。因为方程有两个相等实数根,所以△=0即,,又m>0,所以,即,由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。
例3、解下列方程
1、 2、
例4、 解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).
分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1),将方程变为 3x-1=4x+1,
所以x=-2,这样就丢掉了x=1这个根.故特别要注意:用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根.本题正确的解法如下.
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0,
(x-1)(x+2)=0,
所以 x1=1,x2=-2.
例5、解方程:x2-3|x|-4=0.
分析 本题含有绝对值符号,因此求解方程时,要考虑到绝对值的意义.
解法1 显然x≠0.当x>0时,x2-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).当x<0时,x2+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去).
所以原方程的根为x1=4,x2=-4.
例6、解关于x的方程:ax2+c=0(a≠0).
分析 含有字母系数的方程,一般需要对字母的取值范围进行讨论.
当c=0时,x1=x2=0;
当ac>0(即a,c同号时),方程无实数根.
例7、解关于x的方程:(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0.
分析 讨论m,由于二次项系数含有m,所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程);当m-1≠0时,再分△>0,△=0,△<0三种情况讨论.
解 分类讨论.
(1)当m=1时,原方程变为一元一次方程 x-2=0,
所以x=2.
(2)当m≠1时,原方程为一元二次方程.
△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11.
例8求k的值,使得两个一元二次方程 x2+kx-1=0,x2+x+(k-2)=0 有相同的根,并求两个方程的根.
解 不妨设a是这两个方程相同的根,由方程根的定义有
a2+ka-1=0, ①
a2+a+(k-2)=0. ②
①-②有
ka-1-a-(k-2)=0, 即 (k-1)(a-1)=0, 所以k=1,或a=1.
(1)当k=1时,两个方程都变为x2+x-1=0,所以两个方程有两个相同的根
(2)当a=1时,代入①或②都有k=0,此时两个方程变为x2-1=0,x2+x-2=0.
解这两个方程,x2-1=0的根为x1=1,x2=-1;x2+x-2=0的根为x1=1,x2=-2.x=1为两个方程的相同的
一、选择题
1、.三角形两边的长分别是8和6,第3边的长是一元二次方程的一个实数根,则该三角形的面积是( )
(A)24 (B)24或 (C)48 (D)
2、党的十六大提出全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化,力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年(2001年~2020年),要实现这一目标,以十年为单位计算,设每个十年的国民生产总值的增长率都是x,那么x满足的方程为……………………………………………( )
A:(1+x)2=2 B:(1+x)2=4 C:1+2x=2 D:(1+x)+2(1+x)=4
3、关于x的方程,当 时为一元一次方程; 当 时为一元二次方程。
4、.某商品连续两次降价,每次都降20﹪后的价格为元,则原价是( )
(A)元 (B)1.2元 (C)元 (D)0.82元.
5、已知:△ABC的三边分别是a、b、c,则x的方程的根的情况是( )
A 有两个不相等的实数根。 B 有两个相等的实数根
C 没有实数根 D 无法确定
二、填空题
1、若是一元二次方程,则k=
2、关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
3、若关于x的方程没有实数根,则k的最小值是
4、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是
5、在方程 中,如果设,那么原方程可以化为关于的整式方程是 。
6、已知关于x的方程的两根互为相反数,则k=
7、若m、n为方程的两个实数根,则代数式的值为
三、解答题
1、已知:关于x的方程的两个实数根是,且。求m的值。
2、 已知二次方程 3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2,求另一个根,并确定a的值.
3、用适当的方法解下列一元二次方程:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)