高一数学竞赛-立体几何（无答案）
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高一数学竞赛
一、选择题：
1、平面点如图所示，过A、B、C三点确定的平面为，则是
A、直线AC B、直线BC C、直线CR D、以上均错
2、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是
A、平行 B、相交
C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面
3、在以下的四个命题中，其中正确的是
(1)直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
(2)直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零)，则直线与平面平行；
(3)直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行；
(4)直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行。
A、(1)(2) B、(1)(3) C、(1)(2)(3) D、(1)(2)(3)(4)
4、线段AB、CD异面，CD分别是线段AC和BD的中点，则
A、MN// B、MN与相交 C、MN D、以上都有可能
5、直角三角形ABC的斜边AB在平面内，顶点C在平面外，则?的两条直角边在平面内射影与斜边组成的图形只是
A、一条直线 B、一个锐角三角形
C、一个钝角三角形 D、一条线段或一个钝角三角形
6、设有不同的直线和不同的平面，给出下列三个命题：
(1)若
(2)若
(3)若其中正确的个数是
A、0 B、1 C、2 D、3
7、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是
A、都垂直于平面
B、内有不共线三点到平面距离相等
C、是平面内的直线，且
D、是两条异面直线，且均与平面平行
8、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为
A、 B、 C、 D、
9、直三棱柱ABC－A1B1C1中，，则点A到平面A1BC的距离是
A、 B、 C、 D、
10、己知PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P－BD－A的正切值为
A、1 B、2 C、 D、
11、长方体中共点的三条棱长分别为，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为，则
A、 B、 C、 D、
12、在北纬450圈上有甲、乙两地，它们分别在东经500与东经1400圈上，则甲、乙两地的球面距离是（球半径为R）
A、 B、 C、 D、
13、长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为
A、 B、 C、 D、
14、一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是
A、 B、 C、 D、都不对
15、已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=，则球的体积与三棱锥体积之比是
A、 B、2 C、3 D、4
16、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括
A、一个圆台、两个圆锥 B、两个圆台、一个圆柱
C、两个圆台、一个圆柱 D、一个圆柱、两个圆锥
17、如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且?ADE、?BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为
A、 B、 C、 D、
18、某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图所示，则这个容器的容积为
A、 B、
C、 D、
19、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图所示是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是
A、0 B、7 C、块 D、乐
二、填空题：
20、底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切，现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.
21、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为
_____________.
22、已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC、两两垂直，OC=1，OA=，OB=，且，则三棱锥体积的最大值是_____________.
23、已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.
24、如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有___________对。
25、如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的__________________.
三、解答题：
26、设P、Q是边长为的正方体AC1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，如图所示，
（1）证明PQ//平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。
27、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF。
求证：EF//平面BB1C1C。
28、已知：a、b是异面直线，平面，平面，
求证：。
29、如图所示，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点。
求证：（1）直线MF//平面ABCD；
（2）平面AFC1平面ACC1A1。
30、如图所示，在三棱锥S－ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，O为BC中点。
（1）证明SO平面ABC。
（2）求二面角A－SC－B的余弦值。
31、如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积为别记为。若V1：V2：V3＝1：4：1，试求截面A1EFD1的面积。
一、选择题：
1、平面点如图所示，过A、B、C三点确定的平面为，则是
A、直线AC B、直线BC C、直线CR D、以上均错
2、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是
A、平行 B、相交
C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面
3、在以下的四个命题中，其中正确的是
(1)直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
(2)直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零)，则直线与平面平行；
(3)直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行；
(4)直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行。
A、(1)(2) B、(1)(3) C、(1)(2)(3) D、(1)(2)(3)(4)
4、线段AB、CD异面，CD分别是线段AC和BD的中点，则
A、MN// B、MN与相交 C、MN D、以上都有可能
5、直角三角形ABC的斜边AB在平面内，顶点C在平面外，则?的两条直角边在平面内射影与斜边组成的图形只是
A、一条直线 B、一个锐角三角形
C、一个钝角三角形 D、一条线段或一个钝角三角形
6、设有不同的直线和不同的平面，给出下列三个命题：
(1)若
(2)若
(3)若其中正确的个数是
A、0 B、1 C、2 D、3
7、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是
A、都垂直于平面
B、内有不共线三点到平面距离相等
C、是平面内的直线，且
D、是两条异面直线，且均与平面平行
8、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为
A、 B、 C、 D、
9、直三棱柱ABC－A1B1C1中，，则点A到平面A1BC的距离是
A、 B、 C、 D、
10、己知PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P－BD－A的正切值为
A、1 B、2 C、 D、
11、长方体中共点的三条棱长分别为，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为，则
A、 B、 C、 D、
12、在北纬450圈上有甲、乙两地，它们分别在东经500与东经1400圈上，则甲、乙两地的球面距离是（球半径为R）
A、 B、 C、 D、
13、长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为
A、 B、 C、 D、
14、一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是
A、 B、 C、 D、都不对
15、已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=，则球的体积与三棱锥体积之比是
A、 B、2 C、3 D、4
16、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括
A、一个圆台、两个圆锥 B、两个圆台、一个圆柱
C、两个圆台、一个圆柱 D、一个圆柱、两个圆锥
17、如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且?ADE、?BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为
A、 B、 C、 D、
18、某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图所示，则这个容器的容积为
A、 B、
C、 D、
19、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图所示是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是
A、0 B、7 C、块 D、乐
二、填空题：
20、底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切，现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.
21、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为
_____________.
22、已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC、两两垂直，OC=1，OA=，OB=，且，则三棱锥体积的最大值是_____________.
23、已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.
24、如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有___________对。
25、如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的__________________.
三、解答题：
26、设P、Q是边长为的正方体AC1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，如图所示，
（1）证明PQ//平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。
27、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF。
求证：EF//平面BB1C1C。
28、已知：a、b是异面直线，平面，平面，
求证：。
29、如图所示，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点。
求证：（1）直线MF//平面ABCD；
（2）平面AFC1平面ACC1A1。
30、如图所示，在三棱锥S－ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，O为BC中点。
（1）证明SO平面ABC。
（2）求二面角A－SC－B的余弦值。
31、如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积为别记为。若V1：V2：V3＝1：4：1，试求截面A1EFD1的面积。