人教b版必修1数学：第2章 函数 242求函数零点近似解的一种计算方法-二分法—备考水平测试

1．定义在R上的奇函数f?x??　　?
A．未必有零点
B．零点的个数为偶数
C．至少有一个零点
D．以上都不对
【答案】　C
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是?　　?
【答案】　A
3．已知函数f?x?＝x3＋x2－2x－2，f?1?·f?2?＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f?x0?＝________.
【答案】　0.625
4．已知函数g?x?的图象是连续不断的，x与g?x?的对应值表如下：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
g?x?
…
－6
－2
3
10
21
40
…
函数g?x?在哪个区间有零点？为什么？
【解析】　∵g?1?＝－2＜0，g?2?＝3＞0，
∴g?1?·g?2?＜0，
∴g?x?在区间?1,2?内有零点．
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一、选择题?每题5分，共20分?
1．用二分法求函数f?x?＝x3＋5的零点可以取的初始区间是?　　?
A．[－2,1]　　　　　　　　　B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【解析】　∵f?－2?＝－3＜0，f?1?＝6＞0，f?－2?·f?1?＜0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
【答案】　A
2．若函数f?x?的图象是连续不断的，且f?0?＞0，f?1?·f?2?·f?4?＜0，则下列命题正确的是?　　?
A．函数f?x?在区间?0,1?内有零点
B．函数f?x?在区间?1,2?内有零点
C．函数f?x?在区间?0,2?内有零点
D．函数f?x?在区间?0,4?内有零点
【解析】　∵f?1?·f?2?·f?4?＜0，
∴f?1?、f?2?、f?4?中至少有一个小于0.
若f?1?＜0，则在?0,1?内有零点，在?0,4?内必有零点；
若f?2?＜0，则在?0,2?内有零点，在?0,4?内必有零点；
若f?4?＜0，则在?0,4?内有零点．
【答案】　D
3．y＝f?x?的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
－3
－2
3
4
－4
则y＝f?x?在区间?1,6?上零点个数为?　　?
A．3个 B．奇数
C．偶数 D．至少3个
【解析】　由表可知，在?1,2?，?3,4?，?5,6?三个区间内，y＝f?x?各至少有一个零点，故在?1,6?内至少有3个．
【答案】　D
4．若函数f?x?＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
f?1?＝－2
f?1.5?＝0.625
f?1.25?＝－0.984
f?1.375?＝
－0.260
f?1.437 5?＝0.162
f?1.406 25?＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根?精确到0.1?为?　　?
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
【解析】　∵|1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1
∴f?x?的零点近似值可取1.437 5≈1.4，或1.375≈1.4.
【答案】　C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．在用二分法求方程f?x?＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f?0.625?＜0，f?0.75?＞0，f?0.687 5?＜0，即可得出方程的一个近似解为________?精确度为0.1?．
【解析】　因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
【答案】　0.75或0.687 5
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么有根的区间是________．
【解析】　设f?x?＝x3－2x－5，则计算知f?2?与f?2.5?异号，故原方程的根位于?2,2.5?内
【答案】　?2,2.5?
三、解答题?每题10分，共20分?
7．用二分法求方程x3＋5＝0的根?精确到0.1?．
【解析】　令f?x?＝x3＋5，由于f?－2?＝－3＜0，f?－1?＝4＞0，故取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[－2，－1]
－1.5
1.625
[－2，－1.5]
－1.75
－0.359 4
[－1.75，－1.5]
－1.625
0.709 0
[－1.75，－1.625]
－1.687 5
0.194 6
[－1.75，－1.687 5]
由于区间[－1.75，－1.687 5]长度＝－1.687 5－?－1.75?＝0.062 5＜0.1，故其两个端点值均可作为相应函数的零点的近似值，取其近似值为－1.7，故原方程的根为－1.7.
8．方程x5＋x－3＝0在区间?1,2?上，有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解?精确到0.1?．
【解析】　考察函数f?x?＝x5＋x－3，
∵f?1?＝－1＜0，f?2?＝31＞0，
∴函数f?x?＝x5＋x－3在区间?1,2?有一个零点x0.
∵函数f?x?＝x5＋x－3在?－∞，＋∞?上是增函数?证明略?，
∴方程x5＋x－3＝0在区间?1,2?内有唯一的实数解．
取区间?1,2?的中点x1＝1.5，用计算器算得f?1.5?≈6.09＞0，∴x0∈?1,1.5?．
同理，可得x0∈?1,1.25?，x0∈?1.125,1.25?，x0∈?1.125,1.187 5?，x0∈?1.125,1.156 25?，x0∈?1.125，1.140 625?．
由于|1.140 625－1.125|＜0.1，此时区间?1.125，1.140 625?的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1，
∴方程x5＋x－3＝0的一个精确到0.1的近似解为1.1.
9．?10分?在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币?重量稍轻?，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
【解析】　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．