人教b版必修1数学：第2章函数 213函数的单调性

课件25张PPT。2．1.3　函数的单调性初中学习过一次函数、二次函数．还记得函数f（?x）?＝x2的图象特征吗？自左向右，图象是 ，即函数值随着x的增大而 . ．函数f(?x?)＝x2的图象是 ，而且其图象在区间?（－∞，0]内是 ，即函数值随x的增大而 ；在区间?（0，＋∞）?内图象是 ，即函数值随x的增大而 ．上升的增大拋物线下降的减小上升的增大1．增函数与减函数
一般地，设函数y＝f?x?的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中的 ，当改变量Δx＝x2－x1>0时，
有 ，那么就称函数y＝f?（x?）在区间M上是 ；当改变量Δx＝x2－x1>0时，有Δy＝f?（x2?）－f?（x1?）<0，那么就称函数y＝f（?x?）在区间M上是 ．
2．单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是 或是 就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为 ．任意两个值x1、x2Δy＝f?（x2?）－f?（x1）?>0增函数减函数增函数减函数单调区间能否将增函数?减函数?定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个值x1，x2”？
【提示】　不能．如图所示，【思路点拨】　紧扣函数单调性的定义完成证明．根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：（1）取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1?（2）作差变形．即作差f?（x1?）－f?（x2?），并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；
?（3）定号．即确定f?（x1?）－f?（x2?）的符号；
?（4）判断．即根据定义得出结论．其中第二步是关键，在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式．要通过画图求单调区间，要求图象要相对精确．特别是拐点、端点、交点等必须非常明确，否则必然出错．2.确定函数f?x?＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．已知函数f?x?是定义在(?0，＋∞?)上的增函数，解不等式f?(2x?)－f?(x－2?)＞0.
【思路点拨】　根据定义域和单调性，将原不等式转化为不等式组求解．(1)?当已知函数的单调性及函数值的大小时，可以转化为自变量的大小关系．
?(2)?转化不等式不能忽略定义域．也就是要保证原不等式的各项都有意义．因此，这类问题一般都要化为不等式组求解 3.本题若改为f?(x?)在?(0，＋∞?)上为减函数，结果如何？已知函数f(?x)?＝x2＋2?(a－1?)x＋2在区间?(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【思路点拨】　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．(1)?二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找其对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
?(2?)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．4.本例中，若将函数“在区间(?－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为?(－∞，4]”，则a为何值？
【解析】　由例题知函数f?(x?)的单调递减区间为(?－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.1．函数单调性概念中要注意的几点
?(1)?定义中x1、x2的三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字绝不能丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换．例如：对于函数y＝x2来说，令x1＝－1，x2＝2，有x1＜x2，且Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y2－y1＝x22－x12＝4－1＝3＞0，但不能说该函数是单调递增的；二是有大小，通常规定x1?(3)函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，可以说是函数的“局部”性质．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数y＝kx＋b?(k≠0?)；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数y＝x2，在[0，＋∞)上是增函数，而在?(－∞，0?)上则是减函数；还有的函数在某一区间上是非单调的，如函数y＝x2在[－1,2]上没有单调性．若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则看简单函数中减函数的个数．若减函数有偶数个，则复合而成的函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合而成的函数为减函数．【错因】　出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉．课时作业
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