人教b版必修1数学：第2章函数 223 待定系数法
文档属性
| 名称 | 人教b版必修1数学：第2章函数 223 待定系数法 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 881.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-25 19:29:00 | ||
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文档简介
课件16张PPT。2.2.3 待定系数法1．正比例函数的一般形式是 ．
2．一次函数的一般形式是 ．
3．反比例函数的一般形式是y＝(k≠0，k是常数)．
4．二次函数的三种常见形式：
(1)一般式 ．
(2)顶点式 ．
(3)零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，即拋物线与x轴两交点的横坐标．y＝kx(k≠0，k是常数)y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是顶点待定系数法的概念前面的学习中，我们已经用过待定系数法．回顾一下，在求待定的系数时用过哪些办法列方程(组)？
【提示】 主要有两种办法，一是利用特殊点(值)列方程组；二是由“多项式恒等，则对应项系数相等”列方程组． 已知直线AB过x轴上的一点A?2,0?且与抛物线y＝ax2相交于B?1，－1?、C两点．求直线和抛物线的解析式．【思路点拨】 对直线来说，知道上面两点A、B便可求k，b；对于拋物线来说，知道上面一点B即可求a.
【解析】 设直线的解析式为y＝kx＋b，
∵过点A(2,0)，B(1，－1)，
∴ ，解得k＝1，b＝－2，
∴直线的解析式为y＝x－2，
又∵抛物线y＝ax2过点B(1，－1)，∴a＝－1
∴抛物线的解析式为y＝－x2. 一般地，所求解析式中有几个待定系数，就需要几个独立条件． 1.一次函数在y轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P(1,3)，求一次函数与反比例函数的解析式． 已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【思路点拨】 设出f(x)的一般形式，表示出f(x＋1)与f(x)＋x＋1，比较对应项系数得方程组．
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝0知c＝0，【解析】 设一次函数与反比例函数分别为
y＝k1x＋1(k1≠0)，y＝ (k2≠0)，
依题意，3＝k1＋1,3＝ ，
∴k1＝2，k2＝3，
∴y＝2x＋1，y＝ 为所求．∴f(x)＝ax2＋bx?a≠0?
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1知，
a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1对于x∈R成立． 比较系数时，必须把等式两边进行整理化简，把同类项合并起来，否则容易出现错误． 2.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)的解析式．【解析】 设f(x)＝kx＋b，则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.
∵f[f(x)]＝4x＋3，∴k2x＋kb＋b＝4x＋3.
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)max＝8，试求此二次函数的解析式．
【思路点拨】 此题直接的办法就是设二次函数的一般形式，将条件代入后解方程组．但当从不同的角度分析条件后，又可以得到不同的解法．解法三 由f(2)＝f(－1)＝－1，
知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，
可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1，
F(x)max＝ ＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法一采用一般式；方法二采用顶点式，因为我们通过观察，可得其对称轴为直线x＝ ；方法三是将原函数解析式经过适当的变形后，利用了零点式．我们要灵活掌握二次函数各种解析式的应用． 3.已知二次函数y＝f(x)满足以下条件，求该函数的解析式：
(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三点；
(2)图象顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；
(3)图象与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且过点 .
【解析】 (1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，－1)三点，得，
解得 ，
∴函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1. (2)设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其顶点的坐标是(h，k)．∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y＝a(x＋2)2＋3.
又∵图象过点(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.
∴a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.
(3)设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
因为二次函数的图象交x轴于(－2,0)，(4,0)两点，
则y＝a(x＋2)(x－4)，
∴所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，
即y＝x2－x－4.1．关于待定系数法
待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，不仅可以用来求函数的解析式，而且还常用来求某一数学表达式中的待定参数的值．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的等价条件：对于一个任意的a的值，都有f(a)≡g(a)，然后转化为两个多项式各同类项的系数对应相等．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．
2．待定系数法求函数解析式及求恒等式中参数值的步骤
(1)根据题意设出含有待定系数的解析式；
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值；
(4)将求得的待定系数的值代回原式．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，求f(x)的解析式．【错因】 本题出错的主要原因是对一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性没有掌握好．事实上，当k＞0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的增函数；当k＜0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的减函数．而在本题的解答中，只考虑递增的情况，却忘掉了递减的情况，因而出错．课时作业
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2．一次函数的一般形式是 ．
3．反比例函数的一般形式是y＝(k≠0，k是常数)．
4．二次函数的三种常见形式：
(1)一般式 ．
(2)顶点式 ．
(3)零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，即拋物线与x轴两交点的横坐标．y＝kx(k≠0，k是常数)y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是顶点待定系数法的概念前面的学习中，我们已经用过待定系数法．回顾一下，在求待定的系数时用过哪些办法列方程(组)？
【提示】 主要有两种办法，一是利用特殊点(值)列方程组；二是由“多项式恒等，则对应项系数相等”列方程组． 已知直线AB过x轴上的一点A?2,0?且与抛物线y＝ax2相交于B?1，－1?、C两点．求直线和抛物线的解析式．【思路点拨】 对直线来说，知道上面两点A、B便可求k，b；对于拋物线来说，知道上面一点B即可求a.
【解析】 设直线的解析式为y＝kx＋b，
∵过点A(2,0)，B(1，－1)，
∴ ，解得k＝1，b＝－2，
∴直线的解析式为y＝x－2，
又∵抛物线y＝ax2过点B(1，－1)，∴a＝－1
∴抛物线的解析式为y＝－x2. 一般地，所求解析式中有几个待定系数，就需要几个独立条件． 1.一次函数在y轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P(1,3)，求一次函数与反比例函数的解析式． 已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【思路点拨】 设出f(x)的一般形式，表示出f(x＋1)与f(x)＋x＋1，比较对应项系数得方程组．
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝0知c＝0，【解析】 设一次函数与反比例函数分别为
y＝k1x＋1(k1≠0)，y＝ (k2≠0)，
依题意，3＝k1＋1,3＝ ，
∴k1＝2，k2＝3，
∴y＝2x＋1，y＝ 为所求．∴f(x)＝ax2＋bx?a≠0?
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1知，
a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1对于x∈R成立． 比较系数时，必须把等式两边进行整理化简，把同类项合并起来，否则容易出现错误． 2.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)的解析式．【解析】 设f(x)＝kx＋b，则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.
∵f[f(x)]＝4x＋3，∴k2x＋kb＋b＝4x＋3.
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)max＝8，试求此二次函数的解析式．
【思路点拨】 此题直接的办法就是设二次函数的一般形式，将条件代入后解方程组．但当从不同的角度分析条件后，又可以得到不同的解法．解法三 由f(2)＝f(－1)＝－1，
知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，
可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1，
F(x)max＝ ＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法一采用一般式；方法二采用顶点式，因为我们通过观察，可得其对称轴为直线x＝ ；方法三是将原函数解析式经过适当的变形后，利用了零点式．我们要灵活掌握二次函数各种解析式的应用． 3.已知二次函数y＝f(x)满足以下条件，求该函数的解析式：
(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三点；
(2)图象顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；
(3)图象与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且过点 .
【解析】 (1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，－1)三点，得，
解得 ，
∴函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1. (2)设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其顶点的坐标是(h，k)．∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y＝a(x＋2)2＋3.
又∵图象过点(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.
∴a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.
(3)设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
因为二次函数的图象交x轴于(－2,0)，(4,0)两点，
则y＝a(x＋2)(x－4)，
∴所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，
即y＝x2－x－4.1．关于待定系数法
待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，不仅可以用来求函数的解析式，而且还常用来求某一数学表达式中的待定参数的值．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的等价条件：对于一个任意的a的值，都有f(a)≡g(a)，然后转化为两个多项式各同类项的系数对应相等．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．
2．待定系数法求函数解析式及求恒等式中参数值的步骤
(1)根据题意设出含有待定系数的解析式；
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值；
(4)将求得的待定系数的值代回原式．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，求f(x)的解析式．【错因】 本题出错的主要原因是对一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性没有掌握好．事实上，当k＞0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的增函数；当k＜0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的减函数．而在本题的解答中，只考虑递增的情况，却忘掉了递减的情况，因而出错．课时作业
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