人教b版必修1数学：第2章函数 241函数的零点

课件18张PPT。2．4　函数与方程2．4.1　函数的零点1．方程x2－2x－3＝0的根为 ；函数y＝x2－2x－3与x轴的
交点为
2．函数y＝2x2－8x＋1的对称轴为 ，顶点坐标为 .3，－1(3,0)，(－1,0)．x＝2(2，－7)1．函数的零点
(1)一般地，如果函数y＝f(x) ，即 ，
则a叫做这个函数的零点．
(2)有时也把一个函数的 的公共点，叫做这个函数的零点．
2．二次函数零点的性质
(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值
(2)两个零点把x轴分为 区间，在每个区间上所有函数值
保持 在实数a处的值等于零f(a)＝0图象与x轴变号．三个同号．3．零点存在定理
零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
的曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)
内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使 ，这个x0也就是
方程f(x)＝0的根．连续不断f(a)·f(b)＜0f(x0)＝0函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？【提示】　不对．函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴交点
的横坐标，即零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时其函
数值为零．函数f(x)＝ 无零点，因为方程 ＝0无实根，因此，
并非所有的函数都有零点．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在
区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点　　　　　　B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点【思路点拨】　可以结合条件，画出所有可能的图象类型进行判断．【解析】　由于二次函数f(x)＝x2＋mx＋n中的二次项系数大于0，
故该函数的图象大致如下图：若如图(1)，可知B错；结合图(2)(3)可知A、D都错．
【答案】　C判断函数零点通常有两种方法，一是求方程的根；二是画图象，
本题通过图象判断清晰明了．1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac＜0，则函数的零点
个数是(　　)
A．1　　　　　　 B．2
C．0 D．无法确定【解析】　解法一：因为c＝f(0)，所以ac＝a·f(0)＜0，
即a与f(0)异号，即 所以函数必有两个零点．
解法二：可由二次方程的判别式得到Δ＝b2－4ac.又因为ac＜0，
所以Δ＞0.此方程有两个不相等的实根．
【答案】　B求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出图象．
【思路点拨】　函数的零点就是方程的实根，各实根(函数的零点)
将定义域划分为若干个区间，由零点的性质便可确定函数f(x)在各
个区间上的符号，从而可大致画出函数的图象．　令f(x)＝x3－2x2－x＋2＝0，
则有x2(x－2)－(x－2)＝(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，
∴函数f(x)的零点为－1、1、2.
又f(0)＝2＞0，根据函数零点的两个性质可知在区间(－1,1)内，
f(x)＞0；在区间(－∞，－1)内，f(x)＜0；在区间(1,2)内，
f(x)＜0；在区间(2，＋∞)内，f(x)＞0.其图象如下图所示：本题先通过解方程求出函数的零点，再结合零点的性质分析函数在
各区间内的符号，从而画出函数的大致图象．体现了函数的零点，
相应方程的根以及函数图象间的密切关系．2.求y＝－x2－2x＋3的零点，并分别指出y＞0，y＜0时x的取值范围．
【解析】　解一元二次方程－x2－2x＋3＝0，
得x1＝－3，x2＝1，
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.
函数简图如图所示，从图象可知，当－3＜x＜1时，y＞0；
当x＜－3或x＞1时，y＜0.∴y＞0时，x的取值范围是(－3,1)；y＜0时，x的取值范围
是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．已知函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的
取值范围．
【思路点拨】　关于x的方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实数根，
可分为方程有“两正根、一正根一负根、一根为0另一根为正(负)
根”四种情况，若一一讨论较繁琐，因此可考虑问题的反面．
【解析】　函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于
方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程
无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝ ，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a＜0，
∴a＞.
即满足题意的实数a的取值范围是.(1)讨论二次函数零点情况，通常转化为讨论一元二次方程的根的
分布问题可以利用求根公式或利用因式分解求出根再加限制，或
结合韦达定理，利用数形结合作转化．
(2)有些问题正面处理复杂而其反面较简单时，常利用“正难则反”和补集的思想来解决．3.已知函数f(x)＝x3－4x，
(1)求函数的零点并画函数的图象；
(2)解不等式xf(x)＜0.
【解析】　(1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，所以函数的零点
为0，－2,2.3个零点把轴分成4个区间：
(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，f(－3)＝－15，
f(－1)＝3，f(1)＝－3，f(3)＝15，
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象
如右图所示．1．函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)
的图象与x轴交点的横坐标．方程实根的存在与否，完全等同于函数
零点的存在与否，因此，求方程的根，就是寻找函数的零点，也就
是寻找函数图象与x轴的交点横坐标．
对于不能用公式或因式分解的方法求方程f(x)＝0的根的情况，我们
可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而
找出方程的根或根所在的区间．2．函数零点存在性的判定方法
(1)利用解方程．函数y＝f(x)的零点，可通过解方程f(x)＝0作判断．
如函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，利用判别式Δ＝b2－4ac确定方
程ax2＋bx＋c＝0的根的情况即可解决．(2)画出函数的图象，利用函数的性质，确定图象与x轴的交点情况．
如基本初等函数的零点可用图象法作判断．
(3)利用重要结论——零点存在性定理．
判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件：
(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线．
(2)由f(a)·f(b)＜0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有
一个零点．
注意：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零
点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧
异号时才能用这种方法．
②利用上述结论只能判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在
性，但不能确定其零点的个数．③若函数有多个零点，则在两个相邻零点间的所有函数值的符号相同．
④上述定理中的条件应同时满足，若缺少其中一条则函数y＝f(x)在
区间(a，b)内都未必存在零点．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，
求实数m的取值范围．
【错解】　由函数零点的性质，得：
f(0)·f(1)＜0，得2m(m＋2)＜0? －2＜m＜0.
所以实数m的取值范围为(－2,0)．
【错因】　错解的原因是只注意到了函数零点性质的应用，而忽略
了问题的其他形式．(1)在[0,1]上有二重零点．(2)端点可能为零点．【正解】　(1)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等实
根时，则 此时m无解．
(2)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根时．
①有且只有一根在[0,1]上时，有f(0)·f(1)＜0.
即2m(m＋2)＜0，得－2＜m＜0.
②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0.根为x1＝0，x2＝－1
满足题意．
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0.根为x1＝1，
x2＝－4，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,0]．课时作业
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