人教b版必修1数学：第2章函数 242求函数零点近似解的一种计算方法-二分法
文档属性
| 名称 | 人教b版必修1数学：第2章函数 242求函数零点近似解的一种计算方法-二分法 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-26 08:18:00 | ||
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文档简介
课件25张PPT。2．4 ． 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b的取值范围为 .
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为 .
3．若函数f(x)＝2x2－4x＋k的图象与x轴无交点，则k的取值范围为 .
4．函数y＝x2－x－2，若y＜0，则x满足的条件为 .b≥0－1,1,3k＞2－1＜x＜2 1．变号零点与不变号零点
如果函数图象通过零点时 ，则称这样的零点为变号零点，否则，则称这样的零点为不变号零点．
2．二分法
所谓二分法，就是通过不断地把 ，使 逐渐逼近 ，进而得到 的方法．
区间[a，b]的中点为 .穿过x轴零点所在的区间一分为二区间的端点零点零点近似值 能否用二分法求任何函数的近似零点？
【提示】 不能．看一个函数能否用二分法求其零点，关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号． 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
【思路点拨】 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
【解析】 由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表∵1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5＜0.01，
∴x8＝ (1.437 5＋1.445 312 5)≈1.44是函数的一个近似零点．
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点． 1.求方程2x2＋3x－3＝0的一个近似解．(精确到0.1) 【解析】 设f(x)＝2x3＋3x－3.经试算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表： 至此，可以看出，方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5，0.75)内，因为该区间内所有值精确到0.1都是0.7.因此，0.7是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.1的一个近似解．【思路点拨】【解析】 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
2.试判断方程x3＋x－3＝0有无实数解，如果方程有实数解，请求出其近似解(精确到0.1)． 【解析】 令f(x)＝x3＋x－3，函数y＝f(x)的图象是不间断的曲线，且函数是R上的增函数，又f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，∴函数f(x)＝x3＋x－3有唯一的实数解，且在区间[1,2]上，以区间[1,2]为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 由上表可知，区间[1.187 5,1.218 75]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.2，因此1.2可以作为所求方程的近似解． 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？ 【解析】 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：
第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，
第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，
第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，
第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，
第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，
第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，
所以至多需要检测6次． 本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决． 3.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 【思路点拨】 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 【解析】 如右图，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段．再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一两根电线杆附近．1．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]验证f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)，并判断：
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x1∈(x1，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. 2．运用二分法求函数零点应注意以下几点
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．
(2)技巧：在选择零点所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．3．注意几种转化关系 利用这些转化关系可以把方程有无实根问题转化为函数有无零点问题，即函数图象与x轴有无交点的问题，这样可借助函数图象较直观地解决问题．用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)， 同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|＜ε. 【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.进入备考水平测试
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为 .
3．若函数f(x)＝2x2－4x＋k的图象与x轴无交点，则k的取值范围为 .
4．函数y＝x2－x－2，若y＜0，则x满足的条件为 .b≥0－1,1,3k＞2－1＜x＜2 1．变号零点与不变号零点
如果函数图象通过零点时 ，则称这样的零点为变号零点，否则，则称这样的零点为不变号零点．
2．二分法
所谓二分法，就是通过不断地把 ，使 逐渐逼近 ，进而得到 的方法．
区间[a，b]的中点为 .穿过x轴零点所在的区间一分为二区间的端点零点零点近似值 能否用二分法求任何函数的近似零点？
【提示】 不能．看一个函数能否用二分法求其零点，关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号． 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
【思路点拨】 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
【解析】 由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表∵1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5＜0.01，
∴x8＝ (1.437 5＋1.445 312 5)≈1.44是函数的一个近似零点．
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点． 1.求方程2x2＋3x－3＝0的一个近似解．(精确到0.1) 【解析】 设f(x)＝2x3＋3x－3.经试算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表： 至此，可以看出，方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5，0.75)内，因为该区间内所有值精确到0.1都是0.7.因此，0.7是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.1的一个近似解．【思路点拨】【解析】 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
2.试判断方程x3＋x－3＝0有无实数解，如果方程有实数解，请求出其近似解(精确到0.1)． 【解析】 令f(x)＝x3＋x－3，函数y＝f(x)的图象是不间断的曲线，且函数是R上的增函数，又f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，∴函数f(x)＝x3＋x－3有唯一的实数解，且在区间[1,2]上，以区间[1,2]为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 由上表可知，区间[1.187 5,1.218 75]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.2，因此1.2可以作为所求方程的近似解． 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？ 【解析】 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：
第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，
第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，
第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，
第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，
第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，
第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，
所以至多需要检测6次． 本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决． 3.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 【思路点拨】 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 【解析】 如右图，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段．再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一两根电线杆附近．1．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]验证f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)，并判断：
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x1∈(x1，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. 2．运用二分法求函数零点应注意以下几点
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．
(2)技巧：在选择零点所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．3．注意几种转化关系 利用这些转化关系可以把方程有无实根问题转化为函数有无零点问题，即函数图象与x轴有无交点的问题，这样可借助函数图象较直观地解决问题．用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)， 同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|＜ε. 【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.进入备考水平测试