1．下列关系中，正确的个数为? ?
①∈R；②?Q；③|－3|?N*；④∈Q.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
2．下列各组对象不能组成集合的是? ?
A．北京大学2009级新生
B．26个英文字母
C．著名的艺术家
D．2009年第十一届全运全中所设定的比赛项目
【答案】 C
3．若a∈N且a?N*，则a＝________.
【答案】 0
4．以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？
【解析】 ∵方程x2－2x－3＝0的解是
x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是
x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素．
本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！?
一、选择题?每题5分，共20分?
1．下面有四个语句
①集合N中最小的数是1；
②若－a?N，则a∈N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集中含有2个元素．
其中正确语句的个数是? ?
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；
对于②，取a＝，则－?N，?N，所以②错；
对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错；
对于④，x2＋4＝4x有两个相等实根2，但解集应为{2}，所以④也错．
【答案】 A
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是? ?
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 由集合元素的互异性知a，b，c全不相等，显然一定构不成等腰三角形．
【答案】 D
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为? ?
A．0 B．1
C．0或1 D．小于等于1
【解析】 ∵y＝－x2＋1≤1，且y∈N，
∴y的值为0,1.
又t∈A，则t的值为0或1.
【答案】 C
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为? ?
A．2 B．2或4
C．4 D．0
【解析】 若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.
【答案】 B
二、填空题?每题5分，共10分?
5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
【解析】 由a2≠1，得a≠±1.
【答案】 ±1
6．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
【解析】 ∵x∈N，且2＜x＜a，
∴结合数轴知a＝6.
【答案】 6
三、解答题?每题10分，共20分?
7．设双元素集合A是方程x2－4x＋m＝0的解集，求实数m的取值范围．
【解析】 要使集合A是双元素集合，则方程应有两个不相等实根，所以Δ＝?－4?2－4m＞0，从而m＜4.
8．由实数x，－x，|x|，，所组成的集合中，最多含多少个元素？
【解析】 因为＝|x|，＝x，所以当x＝0时，组成的集合中只有一个元素，当x≠0时，|x|＝x或－x，所以组成的集合中只有2个元素，所以最多含有2个元素．
9．?10分?数集M满足条件：若a∈M，则∈M?a≠±1且a≠0?．已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．
【解析】 ∵3∈M，则∈M，即－2∈M，
∴＝∈M，
∴＝∈M，＝3∈M，
又回到开始，
因此当3∈M时，另有－2，，∈M，
即M的元素分别为3，－2，，.
1．下列表示同一个集合的是（ ）
A．M＝{（2,1），(3,2)}，N＝{(1,2)，(2,3)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{3,4}，N＝{(3,4)}
D．M＝{y|y＝x2＋1}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1}
【答案】 B
2．集合{x||x|＝2或x2－5x＋6＝0}中元素个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 C
3．数集{0,1，x2}中实数x应满足________．
【答案】 x≠0且x≠±1
4．用列举法表示下列集合：
（1）A＝{x|x（x2－4）＝0，x∈R}；
（2）B＝；
（3）C＝{x∈N|－3≤2x＋1＜5}．
【解析】(1)A＝{0,2，－2}；
(2)B＝{(2,3)}；
(3)C＝{0,1}．
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一、选择题（每题5分，共20分）
1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}是指（ ）
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第一、三象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
【解析】 ∵xy＞0，∴x、y同号，
∴M表示第一、三象限内的点集．
【答案】 C
2．用列举法将集合{（x，y）|x∈{1,2}，y∈{1,2}}可以表示为（ ）
A．{{1,1}，{1,2}，{2,1}，{2,2}}
B．{1,2}
C．{（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）} D．{（1,2）}
【解析】 集合中的元素是点（x，y），故A，B不对．又x，y分别可以取1或2，故选C.
【答案】 C
3．下列语句：
①集合{x|0＜x＜1}可以用列举法表示；
②集合{1,2，{1,2}}含有三个元素；
③正整数集可表示为{1,2,3,4，…}；
④集合M＝{1,2}与N＝{（1,2）}表示同一个集合．
其中正确的是（ ）
A．只有①、④ B．只有②、③
C．只有② D．以上都不对
【解析】 ①中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示；②中的三个元素分别为1,2，{1,2}，故②正确；当元素个数无限又有一定规律时可用列举法表示，把元素间的规律写清后用省略号，故③正确；对④，M是数集，N是点集，不表示同一个集合，故④错误．
【答案】 B
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．{x|x＝1} B．{y|（y－1）2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
【解析】 A、B、D都表示单元素集合{1}，而C表示只含一个元素x＝1的集合．
【答案】 C
二、填空题（每题5分，共10分）
5．已知集合A＝{－2，－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
【解析】 由x∈A可知，|x|＝2,1,0，故B＝{2,1,0}．
【答案】 {2,1,0}
6．能被3整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．
【解析】 由题意知，集合中的元素均为3的正整数倍．
故可表示为x＝3k（k∈N*）．
【答案】 {x|x＝3k（k∈N*）}．
三、解答题（每题10分，共20分）
7．用另一种方法表示下列集合：
（1）{－3，－1,1,3,5}；
（2）已知M＝{2,3}，P＝{（x，y）|x∈M，y∈M}，写出集合P；
?（3）.
【解析】（1）{x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}；
?（2）P＝{（2,2），（3,3），（2,3），（3,2）}；
?（3）.
8．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x2＋3x－10＝0的所有实数解组成的集合；
（2）不等式2x－5＞1的解集；
（3）函数y＝x－2与y＝的图象的交点组成的集合；
（4）不小于2且不大于11的偶数组成的集合．
【解析】（1）方程x2＋3x－10＝0化为（x＋5）（x－2）＝0，
∴x＝－5，或x＝2.
∴x2＋3x－10＝0实数解的集合可表示为{x|x2＋3x－10＝0}或{－5,2}．
（2）不等式2x－5＞1可化为2x＞6，
∴x＞3.
∴不等式2x－5＞1的解集是{x|x＞3}．
（3）解方程组得x－2＝，
∴x2－2x－24＝0.
∴（x－6）（x＋4）＝0，
∴x＝－4，或x＝6.
∴或.
∴两个函数图象交点的集合是
{（－4，－6），（6,4）}．
（4）不小于2且不大于11的偶数是2,4,6,8,10，
∴用列举法表示为{2,4,6,8,10}．
9．（10分）已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}．
（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；
（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】（1）∵A中恰好只有一个元素，
∴方程ax2－2x＋1＝0恰好只有一个根．
当a＝0时，方程的解为x＝满足题意；
当a≠0时，Δ＝（－2）2－4a＝0，
∴a＝1.∴所求a的值为a＝0，或a＝1.
（2）∵A中至少有一个元素，
∴方程ax2－2x＋1＝0有实数根．
当a＝0时，恰有一个根x＝满足题意；
当a≠0时，Δ≥0，即（－2）2－4a≥0，解得a≤1.
∴所求实数a的取值范围是{a|a≤1}．
1．集合{0,1}的子集有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 D
2．若M＝{x|－1＜x＜1}，则（ ）
A．{0}∈M B．?∈M
C．0?M D．{0}?M
【答案】 D
3．若A＝{x|1＜x＜2，x∈R}，B＝{x|x＜a}，且A?B，则实数a的取值范围是________．
【答案】 a≥2
4．写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
【解析】 所有子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；其中除原集合{a，b，c}外的其余7个均为其真子集．
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一、选择题（每题5分，共20分）
1．已知集合M＝{8}，集合P＝{1,4,8}，则有（ ）
A．M＝P B．P?M
C．P?M D．M?P
【解析】 ∵8∈P，∴M?P，又M≠P，故MP.
【答案】 D
2．集合A＝{x|x2－36＝0}，则集合A的子集有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ∵A＝{－6,6}，其子集有?，{－6}，{6}，{－6,6}共4个．
【答案】 D
3．已知A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【解析】 当A中含有1个奇数时，A可能为{1}，{3}，{1,2}，{2,3}；当A中含有2个奇数时，A为{1,3}．
【答案】 C
4．集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，则下列关系中正确的是? ?
A．P?Q B．P＝Q
C．P?Q D．P?Q
【解析】 ∵P＝{x|y＝x2}＝R，
Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
∴P?Q.
【答案】 D
二、填空题（每题5分，共10分）
5．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，
则下列结论：
①S?U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S?F；⑥F?U.正确的有________．
【解析】 由图可看出S?U，F?U，S?T.
【答案】 ①③⑥
6．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵??{x|x2－x＋a＝0}，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝（－1）2－4a≥0，a≤.
【答案】 a≤.
三、解答题（每题10分，共20分）
7．求满足{x|x2＋1＝0，x∈R}?M?{x|x2－1＝0，x∈R}的集合M的个数．
【解析】 因为{x|x2＋1＝0，x∈R}＝?，{x|x2－1＝0，x∈R}＝{－1,1}，即M为集合{1，－1}的非空子集，所以M为{1}或{－1}或{1，－1}，共3个．
8．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|（x－2）（x－a）＝0}，且N?M，求实数a的值．
【解析】 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.
因此，M＝{2，－3}．
若a＝2，则N＝{2}，此时N M；
若a＝－3，则N＝{2，－3}，此N＝M；
若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，时此时N不是M的子集，
故所求实数a的值为2或－3.
9．（10分）试写出满足条件{1,2,5}?M?A＝{1,4,8，x，y，x－y}的所有不同的集合M.
【解析】 由{1,2,5}M，知M中一定含有1,2,5.由{1,2,5}A，知2∈A且5∈A，则A＝{1,4,8,2,5,3}，或A＝{1,4,8,2,5，－3}，或A＝{1,4,8,2,5,7}．
若M为四元素集合，则可以为{1,2,5,4，}，{1,2,5,8}，{1,2,5,3}，{1,2,5，－3}，{1,2,5,7}．
若M为五元素集合，则可以为{1,2,5,4,8}，{1,2,5,4,3}，{1,2,5,4，－3}，{1,2,5,4,7}，{1,2,5,8,3}，{1,2,5,8，－3}，{1,2,5,8,7}．
?本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订?
一、选择题?本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的?
1．下列对象能构成集合的是? ?
A．非常小的正数
B．世界上著名的数学家
C．2008年参加北京奥运会的国家
D. 的近似值
【解析】 只有C能完全确定，故选C.
【答案】 C
2．已知M＝{x∈R|x≥2}，a＝π，有下列四个式子：?1?a∈M；?2?{a}?M；?3?a?M；?4?{a}∩M＝π，其中正确的是? ?
A．?1??2? B．?1??4?
C．?2??3? D．?1??2??4?
【解析】 ?3?是元素与集合的关系，应为a∈M；?4?应为{a}∩M＝{π}．
【答案】 A
3．?2009年浙江卷?设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则
A∩?UB＝? ?
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
【解析】 ?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0＜x≤1}．
【答案】 B
4．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是? ?
A．2 B．3
C．4 D．8
【解析】 若N中含有1个元素，则N＝{1}；
若N中含有2个元素，则N＝{1,0}，{1，－1}；
若N中含有3个元素，则N＝{－1,0,1}．
故满足条件的N共有4个．
【答案】 C
5．已知集合M＝{x|x3－2x2－x＋2＝0}，则下列各数中不属于M的一个是? ?
A．－1 B．1
C．2 D．－2
【解析】 M＝{x|?x2－1??x－2?＝0}＝{－1,1,2}．
【答案】 D
6．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是? ?
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
【解析】 检验可知，a＝0或1时，a＝a2与元素互异性矛盾，而当a＝－1时，N＝{－1,1}，满足N?M，从而M∪N＝M成立．
【答案】 A
7．若非空集合A、B满足A?B，U为全集，则下列集合为空集的是? ?
A．A∩B B．A∩??UB?
C．A∪??UB? D．??UA?∪??UB?
【解析】 由韦恩图可看出A∩??UB?为空集．
【答案】 B
8．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有? ?
A．A?C B．C?A
C．A≠C D．A＝?
【解析】 ∵A∪B＝B∩C，B∩C?C，
∴A∪B?C.
∴A?C.
【答案】 A
9．设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是? ?
A．??IA?∪B＝I B．??IA?∪??IB?＝I
C．A∩??IB?＝? D．??IA?∩??IB?＝?IB
【解析】 解法一：由已知A?B?I??IA??IB，易知B错误．
解法二：对于这类全是字母描述的集合，我们可以在满足条件的情况下，设出具体的集合，用于判定选项的真假．令A＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}．显然满足题意，检验四个选项可知，B选项错误．
解法三：利用Venn图判定，先画出满足题意的Venn图?如右上图?．据图可知，B错误．
【答案】 B
10．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则使A?B成立的实数a的取值范围是? ?
A．{a|3＜a≤4} B．{a|3≤a≤4}
C．{a|3＜a＜4} D．?
【解析】 由图可以看出，
，解3≤a≤4.
【答案】 B
二、填空题?本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上?
11．设集合A＝{x∈Z|x≤－3}，B＝{x∈Z|x≤2}，全集U＝Z，则??UA?∩B＝________.
【解析】 ?UA＝{x∈Z|x>－3}，??UA?∩B＝{x∈Z|－3【答案】 {－2，－1,0,1,2}
12．用列举法表示集合：M＝＝________.
【解析】 由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
【答案】 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
13．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝________，y＝________.
【解析】 由集合相等的定义知，
或，
解得或，
又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.
【答案】 2 5
14．?2009年上海卷?已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由数轴可知，要使A∪B＝R，须a≤1.
【答案】 a≤1
三、解答题?本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程演算步骤?
15．?本小题满分12分?设A＝，B＝{x|x≤－4}，求A∪B，A∩B，A∪??UB?．
【解析】 A∪B＝，A∩B＝?，
∵?UB＝{x|x>－4}，
∴A∪??UB?＝{x|x>－4}．
16．?本小题满分12分?设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
【解析】 ∵?UA＝{5}，∴5∈U,5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，
当a＝－4时，|2a－1|＝9≠5，但9?U，
∴a的值为2.
17．?本小题满分12分?已知集合A＝{x|x2－3x＋5＝0}，B＝{x|?x＋1?2?x2＋3x－4?＝0}，且A?P?B，求满足条件的集合P.
【解析】 对方程x2－3x＋5＝0，
有Δ＝?－3?2－4×1×5＝－11＜0，
∴方程无实根，所以A＝?.又B＝{－4，－1,1}，
∴满足条件??P?{－4，－1,1}的集合P为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}．
18．?本小题满分14分?已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R.}
?1?若A中只有一个元素，求a的取值范围；
?2?若A中至多有一个元素，求a的取值范围；
?3?若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【解析】 ?1?当a＝0，此时A＝符合题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，a＝1.综上a＝0或a＝1.
?2?A中至多有一个元素：
当A中有一个元素，由?1?知a＝0或a＝1.
当A中没有元素，此时∴a>1
∴a的取值范围是a≥1或a＝0.
?3?A中至少有一个元素：
当A中有一个元素，由?1?知a＝0或a＝1.
当A中有两个元素，此时
∴a<1且a≠0
综上：a≤1.
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是? ?
A．A?B B．B?C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
【答案】 D
2．设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N ＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝? ?
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
【答案】 B
3．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.
【答案】 2
4．设全集为R，A＝{x|x＜－4或x＞1}，B＝{x|－2＜x＜3}，求：?1?A∩B；?2??RA∩B；?3?A∪?RB.
【解析】 ?1?A∩B＝{x|1＜x＜3}；
?2?∵?RA＝{x|－4≤x≤1}；
∴?RA∩B＝{x|－2＜x≤1}；
?3?∵?RB＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴A∪?RB＝{x|x≤－2或x＞1}．
?本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！?
一、选择题?每题5分，共20分?
1．已知A＝{?x，y?|x＋y＝3}，B＝{?x，y?|x－y＝1}，则A∩B＝? ?
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{?2,1?} D．?2,1?
【解析】 A∩B＝
＝{?2,1?}．
【答案】 C
2.
?2009年枣庄高一检测?如图所示，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分所表示的集合是? ?
A．A∩B B．B∩??IA?
C．A∪B D．A∩??IB?
【解析】 阴影部分属于集合B且不属于集合A，故可表示为B∩??IA?．
【答案】 B
3．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则? ?
A．?UM??UN B．M??UN
C．?UM??UN D．M??UN
【解析】 ∵M∩N＝N，∴N?M，如图所示，
∴?UM??UN.
【答案】 C
4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪??RB?＝R，则实数a的取值范围是? ?
A．a≤2 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
【解析】 ∵B＝{x|1＜x＜2}，
∴?RB＝{x|x≥2或x≤1}．
如图，
若要A∪??RB?＝R，必有a≥2.
【答案】 C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．?2008年重庆卷?设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则?A∪B?∩??UC?＝________.
【解析】 ∵A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，
∴?A∪B?∩??UC?＝{2,5}．
【答案】 {2,5}
6．已知集合A＝{x|x<1或x＞5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5【解析】 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
【答案】 －4
三、解答题?每题10分，共20分?
7．若集合U＝{x|x是小于10的正整数}，A?U，B?U，且??UA?∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，??UA?∩??UB?＝{4,6,8}，试求A与B.
【解析】 利用Venn图，在图中标出各个元素的相关位置，可以直接写出A和B来，
A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,9}．
8．集合A＝{x|x≤－1或x≥5}，B＝{x|a＜x＜b}，若A∩B＝?，A∪B＝R，求实数a，b.
【解析】 ∵A∩B＝?，A∪B＝R.
∴A与B互为补集．
故B＝?RA＝{x|－1＜x＜5}，
又B＝{x|a＜x＜b}，
∴a＝－1，b＝5.
9．?10分?50名学生报名参加A、B两个课外学习小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数．
【解析】 由题意，报名参加A组的人数是30人，报名参加B组的人数是33人，设同时报名参加两组的人数为x人，
则有?30－x?＋x＋?33－x?＋＝50，
可得x＝21，＋1＝8，即同时报名参加A、B两组的人数为21，两组都没有报名的人数为8.
课件20张PPT。1．1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念 1．列出满足“大于5而小于10”的所有整数 .
2．初中时接触过一些集合，你还记得“自然数的集合”、“有理数的集合”的含义吗？自然数的集合包含： ，有理数的集合包含： ．
3．你还会求不等式x＋2＞3的解集吗？
解集为： .
4．到一个定点的距离等于定长的点的集合是 ．6、7、8、90和正整数整数和分数x＞1圆 1．集合
(1)集合：把一些能够 对象看成一个整体，这个整体是由这些对象的 构成的集合(或集)．通常用
表示．
(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用 表示．
(3)集合元素的特性： 、 、无序性．确定的不同全体英语大写字母英语小写字母确定性互异性2．元素与集合的关系3.常用数集及表示符号
如何判断一组对象是否构成集合？
【提示】 关键是看判断对象的标准是否确定．考察下列每组对象能否组成一个集合．
(1)美丽的小鸟；
(2)不超过20的非负整数；
(3)立方接近零的正数；
(4)直角坐标系中，第一象限内的点． 【思路点拨】 解答本题可先分析各组的对象是否具有确定性和互异性，再作出判断．
【解析】 (1)中“美丽”的范畴太广，不具有集合元素的确定性，因此不能组成集合；
(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；
(3)中接近0的界限不明确；
(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．
综上可知(2)(4)能组成集合；(1)(3)不能组成集合． 判定元素能否组成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合． 1.下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学组成一个集合
B．分别由1,2,3和3,1,2组成的集合表示不同集合
C．参加2008年北京奥运会的所有中国运动员组成一个集合 【解析】 A中元素不确定；B中两个集合元素相同，因集合元素具有无序性，所以两个集合相等；C中元素明确、具体，可以组成集合；D中元素0.5和 是一个元素，由元素互异性知，元素个数应为三．
【答案】 C 已知集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，求实数a的值．
【思路点拨】 因为－3∈A，所以集合A中必有一元素为－3. 【解析】 ∵－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，
∴a－3＝－3，或2a－1＝－3，或a2－4＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，
不满足集合中元素的互异性．
若a2－4＝－3，则a＝1，或a＝－1(舍去)，
当a＝1时，集合A＝{－2,1.－3}，符合题意．
综上可知，a＝0，或a＝1. 集合中元素的三个特性，尤其是互异性，在解题中应用较多．一般在解出结果后都需要进行互异性检验．若集合中出现重复元素便只留其一，舍弃多余的． 2.已知集合A由1，x，x2三个元素构成，集合B由1,2，x三个元素构成，若集合A与集合B相等，求x的值 【解析】 因为集合A与集合B相等， 设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系．
【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从而a＋b是奇数．【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z)．
∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z)．
∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又∵k1＋k2∈Z，
∴a＋b∈B，从而a＋b?A. 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质．【解析】 1．集合的概念可以从以下几个方面来理解
(1)集合是一个“整体”；
(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．
判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合． 2．对集合中元素三个特性的认识
(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系． 写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解的集合．
【错解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以解为x＝1或x＝a，解集为{1，a}．
【错因】 方程的解集不能简单的直接写为{1，a}，由于a是不确定的参数，当a的取值不同时，解集有可能不相同，因此，要对a进行讨论．
【正解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以解为x＝1或x＝a.若a＝1，则解集为{1}；若a≠1，则解集为{1，a}．进入备考水平测试课件20张PPT。1．1.2 集合的表示法1．集合元素的特性 、 、 ．
2．元素与集合间的关系用符号 或 表示．
3．两个集合相同是指 ．
4．方程(x＋ )(x＋1)＝0(x∈Q)的解集为A，则A中的元素为 .确定性互异性无序性∈?所含元素完全相同－1集合的表示方法一一列举特征性质 列举法与描述法分别适用于表示什么样的集合？
【提示】 当集合中所包含的元素个数较少，且元素的共性特征不突出时，宜用列举法表示；当集合中元素个数较多或有无穷多个元素，元素的共性特征易于表述时可用描述法表示．用列举法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①已知3个集合；
②用列举法表示．
解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．【解析】 (1)由
得 ，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(2)不大于10即为小于或等于10，
非负是大于或等于0，
故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．
(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以 或 或 或 .
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}． 当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
(1)元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合的元素必须是明确的；
(3)不必考虑元素出现的先后顺序；
(4)集合中的元素不能重复；
(5)集合中的元素可以是任何事物． 1.用列举法表示下列集合：
(1)A＝ ；
(2)已知M＝{0,2,3,7}，P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈M，a≠b}写出集合P；
(3)A＝ .
【解析】 (1)A＝{0,3,4,5}；
(2)P＝{0,6,14,21}；
(3)A＝{－2,0,2}． 用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数集合；
(2)大于4的全体奇数构成的集合；
(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；
(4)三角形的全体构成的集合．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：用描述法表示集合．解答此类问题要清楚集合中代表元素是什么，元素满足什么条件．【解析】 (1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3){(x，y)|xy＝0}；
(4){x|x是三角形}或{三角形}．
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)(2)小题． 2.用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内拋物线y＝x2－1上的点的集合；
(2)所有偶数的集合；
(3)3和4的所有正的公倍数的集合．
【解析】 (1){(x，y)|y＝x2－1}；
(2){x|x＝2n，n∈Z}；
(3){x|x＝12k，k∈N*}． 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－3＞2的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法． 【解析】 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
∴ ，
∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)由x－3＞2，得x＞5.
故不等式的解集为{x|x＞5}．
(4)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}． 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合． 3.用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组 的解集． 【解析】 (1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}． 1．准确理解描述法表示集合
(1)描述法通过概括集合中所有元素具有的共同特征的方式来表示集合．它的一般形式为{x∈I|p(x)}，其中x表示集合的元素，I表示x的取值范围，p(x)表示元素应满足的关系．如由不等式x－3＞2的所有解组成的集合可以表示为{x∈R|x－3＞2}． (2)使用描述法必须注意：
①写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点)，或是集合，或是其他形式；
②准确说明集合中元素的共同特征；
③所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母．但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如x∈R是明确的，则x∈R可以省略，只写其元素x；
④用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“或”等表示描述语句之间关系的词． 2．列举法与描述法的比较
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．
(1)列举法有直观、明了的特点，但有些集合是不能用列举法表示出来的，如x＞3的集合．
(2)描述法把集合中元素所具有的特征性质描述出来，具有抽象，概括普遍性的特点． 下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③方程组 的解集为{x＝1，y＝2}．
其中正确的有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【错解】 A
【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么．【正解】 ①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1?N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}．
②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.
③方程组 的解是有序实数对，
而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集，
正确的表示应为{(1,2)}或 .
【答案】 D进入备考水平测试课件21张PPT。1．2 集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系 1．集合元素的三个特性是指 ．
2．集合的常用表示方法为 、 ．
3．对元素x与集合A，x∈A或x?A二者必居其一且只居其一．
4．(1)若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝ ．
(2)用描述法表示集合
A＝{1,4,7,10,13}= {x|x＝3n－2，n∈N＋，n≤5}．确定性、互异性、无序性列举法描述法{4,9,16}1．子集、真子集、集合相等的概念2.空集
(1)定义： 的集合，叫做空集．
(2)用符号表示为： .
(3)规定：空集是任何集合的 ．
3．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么 .不含任何元素?子集子集A?AA?C 包含关系{a}?A与从属关系a∈A有什么区别？
【提示】 两者的区别是：(1)从符号上看，“?”表示的是两个集合间的关系，而“∈”表示的是元素与集合间的关系；
(2){a}是含一个元素a的集合，而a通常表示一个元素；
(3){a}?A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素． 若＝{0，a2，a＋b}，则a2009＋b2010的值为______．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
两集合都含有3个元素且相等．
解答本题可从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解．【解析】 ∵ ＝{0，a2，a＋b}，
∴0∈ .
∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，
∴a2＝1，a＝±1.
当a＝1时，不满足互异性，
∴a＝－1.
∴a2009＋b2010＝－1.
【答案】 －1 (1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
(3)证明两个集合相等的思路是证：A?B且B?A. 1.M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试问M与P的关系怎样？
【解析】 ∵a∈R，
∴x＝1＋a2≥1，
x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，
∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}，
∴M＝P. 写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A.
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知；
②集合A满足{a，b}?A?{a，b，c，d}；
③求集合A.
解答本题可根据子集、真子集的概念求解． 【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}． (1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集?和集合本身易漏掉．
2.若??A?{a，b，c，d}，写出所有集合A.
【解析】 当A中含有一个元素时，A为{a}，{b}，{c}，{d}；当A中含有两个元素时，A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}；当A中含有三个元素时，A为{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}；当A中含有四个元素时，A为{a，b，c，d}．【解析】 ∵B?A，
(1)当B＝?时，
m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，有 ，
解得－1≤m＜2，
综上得m≥－1. 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．
【思路点拨】 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷井”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的． 3.本例中，若将“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？∴ ，解得m∈?.【解析】 显然A≠?，又A?B，∴B≠?，
如图所示， 1．元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合的关系，是“属于”(符号∈)或“不属于”(符号?)的关系，即对于元素a，集合A，或者a∈A，或者a?A，二者必居其一．
(2)集合与集合的关系，是“包含”(符号?)或“不包含”(符号?)的关系，即对于两个集合A、B，或者A?B，或者A?B，二者必居其一． 2．集合相等
(1)集合相等的定义有两方面含义：
若A?B且B?A，那么A＝B；若A＝B，那么A?B且B?A.
(2)证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A?B与B?A都成立即可． 3．注意一些容易混淆的符号
(1)∈与?的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此有0∈N，但0?N*；?表示集合与集合之间的关系，因此有N?R，??R.
(2)a与{a}的区别：一般地a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}?{1,2,3}等，不能写成1?{1,2,3},0＝{0}，{1}∈{1,2,3}．
(3){0}与?的区别：{0}是仅含有一个元素的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，不能写成?＝{0}，?∈{0}等． 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}，若Q?P，则实数m＝________.
【错解】 由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}，令＝ －3或 ＝2，可解得m＝ 或m＝ .
【错因】 遗漏了Q＝?的情况，由于空集是任何集合的子集，故在利用条件A?B解题时，必须考虑到A为空集的情况．【正解】 由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}．
当m＝0时，方程mx－1＝0无解，此时Q＝?，满足题意；
当m≠0时，方程mx－1＝0的解为x＝ ，此时Q＝ .
∵Q?P，∴ ＝－3或 ＝2，解得m＝ 或m＝ .
综上所述，实数m的值可取0， 或 .进入备考水平测试课件22张PPT。1．2.2 集合的运算 1．“集合A是集合B的子集”的含义是 ．
2．若A?B，且B?A，则 ，反过来，要证A＝B，只要证 且 即可．
3．空集是任何集合的 ，是任何非空集合
的 ．A中的元素全在B中A＝BA?BB?A子集真子集1．概念2.运算性质
(1)交集的运算性质
① ，② ，
③ ，④如果A?B，则 .
(2)并集的运算性质
①A∪B＝B∪A，②A∪A＝A
③A∪?＝?∪A＝A，④如果A?B，则 .
(3)补集的运算性质
① ，② ，③ .A∩B＝B∩AA∩A＝AA∩?＝?∩A＝?A∩B＝AA∪B＝BA∪?UA＝UA∩?UA＝??U(?UA)＝A 1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
【提示】 不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝?.
2．如何确定一个集合的补集？
【提示】 确定一个集合的补集时，首先要确定全集U是什么，?UA是“A在U中的补集”，这里包含着两重含义：一是A必须是U的子集；二是?UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．已知S＝{x|2x2－px＋q＝0}，T＝{x|6x2＋(p＋2)x＋q＋5＝0}，【思路点拨】【解析】 正确理解并集、交集的概念是进行集合运算的基础，两个集合的交集，就是由两个集合的公共元素组成的集合；并集就是将两集合的元素放在一起组成的集合． 1.已知集合A＝{2，m}，B＝{3，m2}，若A∪B＝{1,2,3，m}，求m的值．
【解析】 由A∪B中含有4个元素可知，m2≠m，
∴m≠0且m≠1，∴m2＝1，∴m＝－1. 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
求?R(A∪B)及(?RA)∩B.【思路点拨】【解析】 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵?RA＝{x|x＜3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． (1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，经常在数轴上进行表示．
(2)交集、并集、补集还有如下关系：
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2.已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|－3＜x≤3}．求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①全集U，集合A、B均为无限集；②所求问题为集合间交、并、补运算．解答此题可借助数轴求解．
由图可知，
?UA＝{x|x≤－2或2≤x≤5}，
A∩B＝{x|－2＜x＜2}，
?U(A∩B)＝{x|x≤－2或2≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或2≤x≤3}．【解析】 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下： 已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且?UA∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．
【思路点拨】 A、B是由一元二次方程的根为元素组成的集合，又?UA∪B＝{1,3,4,5}，故2∈A.【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，?UA∪B＝{1,3,4,5}，
∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，
∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
得m＝6且A＝{2,3}，
∴?UA＝{1,4,5}．而?UA∪B＝{1,3,4,5}，
∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，
∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根．
∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1. 正确理解条件?UA∪B＝{1,3,4,5}是解题的关键，解决此类问题时，可以借助Venn图辅助求解，结合已知条件明确一些元素的具体分布区域．
3.已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
【解析】 ∵(?UA)∩B＝{2}，
∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.
∴ ∴a＝ ，b＝ . 1．对并集概念的理解
(1)定义中的“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x?B”；“x∈B，但x?A”；“x∈A，且x∈B”．Venn图如图所示．另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次．
(2)并集在定义中是由集合A与B的所有元素组成的集合，从这个意义上讲，A∪B可以类比实数的加法运算．2．对交集概念的理解 (1)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.如图所示．
(2)定义中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时还有“A与B的公共元素都属于A∩B”． (3)全集含有所要研究的集合的所有元素，因此，全集是对所研究问题而言的相对概念．全集既可以是无限集，也可以是有限集． 3．关于全集与补集
(1)补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
(2)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U，其次是运用“元素分析法”定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系，这可以和实数的减法相类比．4．补集的性质
根据补集的定义，补集仍是一个集合，显然有以下性质：
(1)?AA＝?，?A?＝A.
(2)?U(?UA)＝A.
(3)A∪?UA＝U，A∩?UA＝?. 设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，且A∩{x|x＞0}＝?，求实数p的取值范围． 【错解】 依题意，方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数解，因此Δ＝22－4(2－p)＜0，解得p＜1.所以实数p的取值范围为{p|p＜1}．
【错因】 A∩{x|x＞0}＝?，表示方程x2＋2x＋2－p＝0没有正实数解，此时等价于方程没有实数解或有非正实数解，本题错解中由于没有正确理解这一集合语言，而造成错误．我们在解题时应避免出现这种由于对题意把握不准而造成的错误．【正解】 由题意，若A＝?，即Δ＝22－4(2－p)＜0，所以p＜1.进入备考水平测试课件18张PPT。 1．集合的含义与表示
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与补集的含义． 3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 1．以考查集合的运算为主，同时考查集合的性质及集合与元素，集合与集合之间的关系，还注意对“Venn图”的考查．
2．单独考查集合知识以选择题为主，也有填空题出现．与其他主干知识结合也会出现在解答题中．
3．本章是高中数学的起始章节，对函数以及后续学习至关重要，高考中是必考内容，但大都属于低档题． 1．用集合元素的互异性解题
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教与学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常在解题中忽略，从而导致解题的失败．下面再结合例题进一步讲解，以强化对集合元素互异性的认识． 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．【解析】 ∵A＝B，须分情况讨论．
(1)若a＋b＝ac，且a＋2b＝ac2，解得a＋ac2－2ac＝0.
a＝0时，集合B中的三个元素均为零，和元素互异性矛盾，
故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1.
但c＝1时，B中的三元素又相同，故无解．
(2)若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，
消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.
又c≠1，故c＝ .
综上所述，c＝ . 2．用空集的特殊性解题
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B，求实数p的取值范围．【解析】 ∵A∩B＝B，∴B?A，
(1)当B＝?时，p＋1＞2p－1，
即p＜2，此时满足B?A；
(2)当B≠?时，又B?A，借助数轴表示知
故2≤p≤3.由(1)(2)得p≤3. 3．用数轴分析法解题
对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个好帮手，能将复杂问题直观化，在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解．
已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
(2)若A?B，求实数m的取值范围．【解析】 如图．
(1)由数轴知，若A∩B＝?，只有m≤－2.
(2)若A?B，只有m≥4. 1．用数形结合思想解题
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法． 已知全集U＝{x|x2<50，x∈N}，L∩(?UM)＝{1,6}，M∩(?UL)＝{2,3}，?U(M∪L)＝{0,5}，求集合M和L. 【解析】 第一步：求得全集U＝{x|x2<50，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}；
第二步：将L∩(?UM)＝{1,6}，M∩(?UL)＝{2,3}，?U(M∪L)＝{0,5}中元素在Venn图中依次定位；
第三步：将元素4,7定位；
第四步：根据图中的元素位置，得集合M＝{2,3,4,7}，集合L＝{1,4,6,7}． 2．用等价转化思想解题
在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路． 已知U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝ ，求(?UB)∩A. 【解析】 集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}是平面上所有点的集合；集合A是直线x＋y＝1上的点的集合；集合B是直线x＋y＝1上的点的集合，但要除去点(1,0)；而?UB表示点(1,0)以及平面上除了直线x＋y＝1上的所有点以外的点，所以(?UB)∩A对应的元素为(1,0)，即(?UB)∩A＝{(1,0)}． 3．用特殊化思想解题
特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许多抽象的集合问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合，往往能起到化繁为简、化难为易的功效．另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化． 设集合M＝ ，
N＝ ，则( )
A．M＝N B．M是N的真子集
C．N是M的真子集 D．M∩N＝?
【解析】 由∈N，而?M，排除A，C；又∈N，且∈M，再排除D.
【答案】 B 4．用分类讨论思想解题
解分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分来解决，从而增加题设条件，这也是解分类讨论问题的指导思想．当问题中含有参数或问题是分类给出的，常常需要分类讨论．
已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，
∴A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B?A.
(1)当B＝?时，a＝0，此时方程ax－2＝0无解，
∴a＝0时满足B?A.
(2)当B≠?时，B＝{x|ax－2＝0}＝ ?{1,2}＝A，
∴ ＝1或 ＝2，∴a＝2或1.
综上，实数a＝0,1,2，∴集合C＝{0,1,2}．进入章末质量评估
