1．下列说法正确的是? ?
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
【答案】 C
【答案】 D
3．函数g(?x)?＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域是________．
【答案】 {3,5,7,9}
∴x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3.
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一、选择题?每题5分，共20分?
1．下列各组函数表示相等函数的是? ?
【解析】 A组中两函数定义域不同，B、D中两函数的对应关系不同，C组中定义域与对应关系均相同，故选C.
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 D
二、填空题?每题5分，共10分?
三、解答题?每题10分，共20分?
1．已知一次函数的图象过点?（1,0?）和（?0,1?），则此一次函数的解析式为? ?
A．f?（x?）?＝－x B．f?（x?）＝x－1
C．f?（x?）?＝x＋1 D．f?（x?）＝－x＋1
【答案】 D
2．下列各图中，不能是函数f?（x?）图象的是? ?
【答案】 C
3．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是________，值域是________.
次数
1
2
3
4
5
分数
85
88
93
86
95
【答案】 {1,2,3,4,5} {85,88,93,86,95}
4．已知g（?x＋2）?＝2x＋3，求g?（1）?的值．
【解析】 令x＋2＝1，则x＝－1
∴g?（1）?＝2×?（－1）?＋3＝1.
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一、选择题?每题5分，共20分?
1．下列表格中的x与y能构成函数的是? ?
A.
x
非负数
非正数
y
1
－1
B.
x
奇数
0
偶数
y
1
0
－1
C.
x
有理数
无理数
y
1
－1
D.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
－1
【解析】 A中，当x＝0时，y＝±1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1，D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N?（Z、Q?），故y的值不唯一，故A、B、D均不正确．
【答案】 C
2．已知f?（x?）是一次函数，2f?（2?）－3f?（1）?＝5,2f?（0?）－f?（－1?）＝1，则f（?x）?＝? ?
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
【解析】 设f?x?＝kx＋b?k≠0?，
∵2f?（2?）－3f?(1)?＝5,2f(?0?)－f(?－1?)＝1，
∴f(?x?)＝3x－2.
【答案】 B
3．函数y＝f?x?的图象与直线x＝m的交点个数为? ?
A．可能无数 B．只有一个
C．至多一个 D．至少一个
【解析】 设函数f?x?的定义域为D，则当m∈D时，f?(x)?图象与直线x＝m有且只有一个交点；
当m?D时，f?x?图象与直线x＝m无交点．
【答案】 C
4．已知函数等于? ?
A．0 B．3
C．6 D．9
【解析】f?(2?＝f(?1?＋1)?＝f(?1??)＋3＝0＋3＝3，
∴f(?3?)＝f?(2?＋1)?＝f?(2?)?＋3＝3＋3＝6.
【答案】 C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．已知函数f(?x?)的图象如图所示，则此函数的定义域是______，值域是________．
【解析】 由图象可看出－3≤x≤3，－2≤y≤2.
【答案】 [－3,3][－2,2]
6．已知f?(x)?与g?(x?)分别由下表给出
x
1
2
3
4
f?（x）?
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g?(x?)
3
1
4
2
那么f[g(?3?)]＝________.
【解析】 由表可得g?（3?）＝4，∴f[g?（3）?]＝f?（4）?＝1.
【答案】 1
三、解答题?每题10分，共20分?
7．已知函数f?x?的图象是两条线段?如图，不含端点?，求.
【解析】 由图象知
8．某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km.
?（1）?如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
?（2?）如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？
【解析】 ?1?设车费为y元，行车里程为x km，则根据题意得
?
2?当x＝20时，
y＝1.8×20－5.6＝30.4，
即当乘车20 km时，要付30.4 元车费．
1.
函数y＝f(?x?)的图象如右图所示，其增区间是? ?
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
【答案】 C
2．函数y＝－x2的单调增区间为? ?
A．?(?－∞，0] B．[0，＋∞?)
C．(??0，＋∞)? D (?－∞，＋∞)?
【答案】 A
3．函数f(?x?)＝|x|的减区间是________．
【答案】 (?－∞，0]
4．设f(?x?)是?(－∞，＋∞?)上的减函数，试比较f?(a2＋1?)与f(?a)?的大小．
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一、选择题?每题5分，共20分?
1．下列函数中，在区间(?0,2)?上为增函数的是? ?
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3
【解析】 画图可知，y＝x2＋1在?(0，＋∞?)上为增函数，从而在(?0,2)?上为增函数．
【答案】 B
2．若函数y＝?(a＋1?)x＋b，x∈R在其定义域上是增函数，则? ?
A．a＞－1 B．a＜－1
C．b＞0 D．b＜0
【解析】 由y＝?a＋1?x＋b在?(－∞，＋∞)?上是增函数，故a＋1＞0，∴a＞－1.
【答案】 A
3．定义在R上的函数f?x?对任意两个不等的实数a，b，总有成立，则f（?x?）必定是? ?
A．先增后减的函数 B．先减后增的函数
C．在R上的增函数 D．在R上的减函数
【解析】 ∵当a＞b时，f（a?）＞f（?b?）且a，b是任意的．∴符合增函数定义．
【答案】 C
4．已知函数：①y＝|x|；其中在?（－∞，0?）上为增函数的有? ?
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．④和①
【答案】 C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．函数y＝f?（x?）的图象如图所示，试写出函数y＝f?（x?）的单调递增区间是________．
三、解答题?每题10分，共20分?
1．已知一次函数y＝kx＋b，x＝1时，y＝－2，且在y轴上的截距为－5，那么它的解析式是( (
A．y＝3x＋5 B．y＝－3x－5
C．y＝－3x＋5 D．y＝3x－5
【答案】 D
【答案】 A
3．二次函数的顶点坐标为((2，－1)(，且过点((3,1)(，则解析式为________．
【答案】 y＝2x2－8x＋7
4．求函数y＝2x2－4x－3的最值．
((1)(x∈R；((2()x∈[－2,0]；((3)(x∈[0,3]；((4()x∈[2,4]．
【解析】 对二次函数配方，得y＝2x2－4x－3＝2((x－1)(2－5.
((1()若x∈R，当x＝1时，ymin＝－5；无最大值．
((2()若x∈[－2,0]，当x＝－2时，ymax＝13；
当x＝0时，ymin＝－3.
((3()若x∈[0,3]，当x＝1时，ymin＝－5；
当x＝3时，ymax＝3.
((4()若x∈[2,4]，当x＝2时，ymin＝－3；
当x＝4时，ymax＝13.
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！(
一、选择题(每题5分，共20分(
1．如果ab>0，bc<0，那么ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是( (
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋b过点A((x1，y1)(和B((x2，y2()，若k<0且x1A．y1>y2 B．y1C．y1＝y2 D．不能确定
【解析】 ∵k＜0，∴y＝kx＋b是减函数．
∴当x1＜x2时，y1＞y2.
【答案】 A
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( (
A．a>0，b>0
B．a>0，c>0
C．b>0，c>0
D．a、b、c均小于0
【解析】 由图象开口向下知a<0，而－b/2a>0，∴b>0
又f((0()＝c>0.
【答案】 C
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是((－3,1)(，则b、c的值是( (
A．b＝6，c＝8 B．b＝6，c＝－8
C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝－8
【解析】
∴b＝－6，c＝－8.
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分(
5．若一元二次方程x2－2x－a＝0无实数根，则一次函数y＝((a＋1)(x＋a－1的图象不经过第________象限．
【解析】 ∵一元二次方程x2－2x－a＝0无实根，∴Δ＝((－2)(2－4((－a)(＝4＋4a＜0，∴a＜－1.∴a＋1＜0，a－1＜－2，∴其图象不经过第一象限．
【答案】 一
6.
已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．
【解析】 由图知拋物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是((3,0()，所以拋物线与x轴的另一个交点坐标是((－1,0()，所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
【答案】 －1,3
三、解答题(每题10分，共20分(
8．以x为自变量的二次函数y＝－x2＋(2(m＋2()x－((m2＋4m－3()中，m是不小于0的整数，它的图象与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，求m的值．
【解析】 ∵拋物线与x轴有两个交点，
∴关于x的方程x2－((2m＋2)(x＋((m2＋4m－3)(＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝4((m＋1)(2－4((m2＋4m－3()＞0，解得m＜2.
又∵m为不小于零的整数，∴m＝0或1.
又∵拋物线与x轴的两个交点，一个在原点的左边，另一个在原点的右边，
∴x1x2＜0，即m2＋4m－3＜0.
∵当m＝0时，m2＋4m－3＝－3＜0，符合题意；
当m＝1时，m2＋4m－3＝1＋4－3＝2＞0不符合题意，应舍去，
∴m＝0.
9．(10分(已知关于x的函数y＝((m＋6()x2＋2((m－1)(x＋m＋1的图象与x轴总有交点．
(1(求m的取值范围；
(2(当函数图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．
【解析】 ((1()当m＋6＝0时，函数y＝－14x－5与x轴有一个交点；
当m＋6≠0时，Δ＝4((－9m－5()≥0，
解得m≤－5/9，
即当m≤－5/9，且m≠－6时，抛物线与x轴有交点．
综合m＋6＝0和m＋6≠0可知，
当m≤－5/9时，此函数的图象与x轴有交点．
((2()设x1，x2是方程((m＋6)(x2＋2((m－1()x＋m＋1＝0的两个根，
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值是－3.2.2.3 待定系数法
1．过点A(－2,3)的反比例函数的解析式是
【答案】 B
2．已知y＝mxm2－2是二次函数，且有最高点，则m＝? ?
A．±2 B．2
C．－2 D．4
【答案】 C
3．已知6x2－x－1＝(2x－1)(ax＋b)，则a＋b＝________.
【答案】 4
4．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b的图象上的两个点，求f(x)的解析式．
【解析】 将点(3,1)及(1,3)分别代入f(x)＝ax2－2ax＋b中，
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一、选择题(每题5分，共20分)
1．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为? ?
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
【解析】 把点P(3，－2)和Q(－1,2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得
∴y＝－x＋1故选D.
【答案】 D
2．若反比例函数图象过点(－2,3)，则一定经过? ?
A．(－2，－3) B．(3,2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
代入选择支易得C正确．
【答案】 C
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1
【解析】 由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点(0,1)故抛物线为y＝－x2＋1.
【答案】 A
4．二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图象必经过点? ?
A．(－1，－1) B．(1，－1)
C．(1,1) D．(－1,1)
【解析】 ∵a＋b＝0，
∴当x＝1时，y＝1＋a＋b＝1，
∴过点(1,1)．
【答案】 C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则一次函数的解析式为________．
即b2＝144，∴b＝±12.
∴解析式为y＝3x±12.
【答案】 y＝3x±12
【答案】 2
三、解答题（每题10分，共20分）
7．已知y－3与x成正比，且x＝2时，y＝7，求y与x之间的函数关系式．
【解析】 因为y－3与x成正比，故设y－3＝kx(k≠0)．∵x＝2时，y＝7，∴7－3＝2k，∴k＝2，∴y＝2x＋3.
8．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，求该二次函数的解析式．
【解析】 将y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得解析式为
y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3＝x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7.
令x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，
9．(10)?定义在[－6,6]上的奇函数f(x)，在[0,3]上为一次函数，在[3,6]上为二次函数，且x∈[3,6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)．
【解析】 当x∈[3,6]时，∵f(x)≤f(5)＝3，
∴可设f(x)＝a(x－5)2＋3.
又∵f(6)＝2，∴f(6)＝a(6－5)2＋3＝2，解得a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3，x∈[3,6]．
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1，
即x∈[0,3]和x∈[3,6]时，f(x)均过点(3，－1)．
∵x∈[0,3]时，f(x)为一次函数，∴可设f(x)＝kx＋b.
∵f(x)在x∈[－6,6]上是奇函数，
∴f(0)＝0.∴b＝0，即f(x)＝kx.
又∵f(x)为奇函数，
1．拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f?m?＝1.06×?0.50×[m]＋1?，其中m＞0，[m]是大于m的最小整数?如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6?，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为? ?
A．3.71元 B．3.97元
C．4.24元 D．4.77元
【答案】 C
2.
某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x?kg?与其运费y?元?由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为? ?
A．19 kg B．30 kg
C．40 kg D．50 kg
【答案】 A
3．用一根长12 m的铁丝弯成一个矩形的框架，则弯成的框架的面积S与其一边长x之间的函数关系为________．
【答案】 y＝－x2＋6x，x∈?0,6?．
4．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
?1?买一个茶壶赠送一个茶杯；
?2?按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个?不少于4个?，若设购买茶杯数x个，付款为y?元?，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．
【解析】 由优惠办法?1?可得函数关系式为
y1＝20×4＋5?x－4?＝5x＋60?x≥4，且x∈N*?；
由优惠办法?2?可得函数关系为
y2＝?5x＋20×4?×92%＝4.6x＋73.6?x≥4，且x∈N*?．
y1－y2＝0.4x－13.6?x≥4，且x∈N*?，
令y1－y2＝0，得x＝34.
当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法?1?省钱；
当x＝34时，y1＝y2，两种办法花费相同；
当x＞34时，y1＞y2，优惠办法?2?省钱．
?本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！?
一、选择题?每题5分，共20分?
1．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如右图所示，则下列说法正确的是? ?
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
【解析】 由图可看出，甲的速度快，因此先到终点．
【答案】 D
2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是? ?
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
【解析】 设y＝ax＋b
∴y＝－10x＋9 000
令－10x＋9 000＝400得
x＝860.
【答案】 C
3．某种产品的总成本y?万元?与产量x?台?之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈?0,240?，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本?销售收入不小于总成本?的最低产量为? ?
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【解析】 由25x≥3 000＋20x－0.1x2
即0.1x2＋5x－3 000≥0
得x≥150或x≤－200?舍?．
【答案】 C
4．利用一根长6米的木料，做一个如右图的矩形窗框?包括中间两条横档?，则窗框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多?即矩形窗框围成的面积最大?? ?
A．1.5 B．2
C．0.5 D．1
【答案】 B
二、填空题?每题5分，共10分?
5．有一批材料可以建成200 m的围墙．如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形?如右图所示?，则围成的矩形最大面积为________m2?围墙厚度不计?．
【解析】 设每个小矩形长为x，宽为y，则
4x＋3y＝200.
S＝3xy＝x?200－4x?＝－4x2＋200x.
＝－4?x－25?2＋2 500.
所以最大面积为2 500 m2.
【答案】 2 500
6．将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个________元．
【解析】 设每个上涨了x元，利润为y元，则y＝?10＋x－8??100－10x?＝－10x2＋80x＋200＝－10?x－4?2＋360，当x＝4时，y有最大值360，
即每个售价为10＋4＝14?元?．
【答案】 14
三、解答题?每题10分，共20分?
7．为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD上规划出一块长方形地面建住宅小区公园?公园的一边落在CD上?，但不超过文物保护区△AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积?已知AB＝CD＝200 m，BC＝AD＝160 m，AE＝60 m，AF＝40 m?．
【解析】 如右图所示，设P为EF上一点，矩形CGPH为划出的公园，PH＝x，则PN＝200－x.又∵AE＝60，AF＝40，∴由△FNP∽△FAE，得
答：当PH＝190 m，PG＝126 m时，公园的面积最大，最大面积为24 066 m2.
8．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月?按30天计算?里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润?设摊主每天从报社买进的份数是相同的?？
【解析】 若设每天从报社买进x?180≤x
≤400，x∈N?份，则每月?按30天计算?可销售?18x＋12×180?份，每份获利0.20元，退回报社12?x－180?份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．
设每天从报社买进x份报纸，每月获利为y元，则有
y＝0.20?18x＋12×180?－0.35×12?x－180?＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N.
函数y＝－0.6x＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x＝180时函数取最大值，最大值为y＝－0.6×180＋1 188＝1 080.
即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元．
9．?10分?
如图所示，一位运动员在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是拋物线?部分?，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米．求图中所示曲线的函数关系式．
【解析】 由题中图知，拋物线的对称轴为y轴，故图中所示曲线的函数关系式可设为y＝ax2＋k?a≠0，k≠0，－2.5≤x≤1.5?．
由题意可知，A、B两点的坐标分别为?1.5,3.05?，?0,3.5?，
故所求函数关系式为y＝－0.2x2＋3.5?－2.5≤x≤1.5?．
1．函数f?x?＝x2－3x－4的零点是? ?
A．1，－4 B．4，－1
C．1,3 D．不存在
【答案】 B
2．若函数f?x?＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是? ?
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
【答案】 B
3．若函数f?x?＝2?m＋1?x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．
【答案】
4．函数f?x?＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g?x?＝bx2－ax－1的零点．
【解析】 f?x?＝?x－2??x－3?＝x2－5x＋6，
∴a＝5，b＝－6，
∴g?x?＝－6x2－5x－1，
令g?x?＝0，得x＝ 或x＝
即g?x?的零点为 和
?本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！?
一、选择题?每题5分，共20分?
1．已知某
函数f?x?的图象如图，则函数f?x?有零点的区间大致是? ?
A．?0,0.5?
B．?0.5,1?
C．?1,1.5?
D．?1.5,2?
【解析】 函数f?x?的零点x0即为f?x?图象与x轴交点的横坐标．由图象可知0.5＜x0＜1.
【答案】 B
2．若函数f?x?＝ax＋b有一个零点2，那么函数g?x?＝bx2－ax的零点是? ?
A．0,2 B．0，
C．0， D．2，
【答案】 C
3．函数f?x?＝ax2＋bx＋c，若f?1?＞0，f?2?＜0，则f?x?在?1,2?上零点的个数为? ?
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且只有一个 D．一个也没有
【解析】 ∵f?1?＞0，f?2?＜0，
∴f?x?在?1,2?上至少有一个零点．
而f?x?是二次函数，因而f?x?＝0至多有两个根．
∴f?x?有一个或两个零点．
【答案】 B
4．函数f?x?＝ax＋2a＋1?a≠0?，若在－1≤x≤1上，f?x?存在一个零点，则实数a的取值范围是? ?
【解析】 因为f?x?为一次函数，所以由题意得f?－1?·f?1?≤0，即?a＋1??3a＋1?≤0，
所以
【答案】 B
二、填空题?每题5分，共10分?
5．?2009年杭州高一检测?函数f?x?＝?x2－1??x＋2?2?x2－2x－3?的零点个数是________．
【解析】 令f?x?＝0，
即?x＋1??x－1??x＋2?2?x－3??x＋1?＝0，
∴x＋1＝0或x－1＝0或x＋2＝0或x－3＝0，
∴x＝－1或x＝1或x＝－2或x＝3.
∴函数f?x?的零点的个数是4.
【答案】 4
6．已知函数f?x?为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
【解析】 因为f?x?为奇函数且有三个零点，
所以必有一个零点为0，另两个互为相反数．
故三个零点之和为0.
【答案】 0
三、解答题?每题10分，共20分?
7．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】 ?1?若a＝0，则f?x?＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.
?2?若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝综上，当a＝0和时函数只有一个零点．
8．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间?－1,0?内，另一根在区间?1,2?内，求m的范围.
【解析】 由题意知抛物线f?x?＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴交点分别在区间?－1,0?与?1,2?内，可以画出示意图如图
即m的范围为
9．?10分?函数f?x?＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点均在区间?0,1?内，求m的范围．
【解析】 函数图象示意图如图：
1．定义在R上的奇函数f?x?? ?
A．未必有零点
B．零点的个数为偶数
C．至少有一个零点
D．以上都不对
【答案】 C
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是? ?
【答案】 A
3．已知函数f?x?＝x3＋x2－2x－2，f?1?·f?2?＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f?x0?＝________.
【答案】 0.625
4．已知函数g?x?的图象是连续不断的，x与g?x?的对应值表如下：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
g?x?
…
－6
－2
3
10
21
40
…
函数g?x?在哪个区间有零点？为什么？
【解析】 ∵g?1?＝－2＜0，g?2?＝3＞0，
∴g?1?·g?2?＜0，
∴g?x?在区间?1,2?内有零点．
?本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！?
一、选择题?每题5分，共20分?
1．用二分法求函数f?x?＝x3＋5的零点可以取的初始区间是? ?
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【解析】 ∵f?－2?＝－3＜0，f?1?＝6＞0，f?－2?·f?1?＜0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
【答案】 A
2．若函数f?x?的图象是连续不断的，且f?0?＞0，f?1?·f?2?·f?4?＜0，则下列命题正确的是? ?
A．函数f?x?在区间?0,1?内有零点
B．函数f?x?在区间?1,2?内有零点
C．函数f?x?在区间?0,2?内有零点
D．函数f?x?在区间?0,4?内有零点
【解析】 ∵f?1?·f?2?·f?4?＜0，
∴f?1?、f?2?、f?4?中至少有一个小于0.
若f?1?＜0，则在?0,1?内有零点，在?0,4?内必有零点；
若f?2?＜0，则在?0,2?内有零点，在?0,4?内必有零点；
若f?4?＜0，则在?0,4?内有零点．
【答案】 D
3．y＝f?x?的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
－3
－2
3
4
－4
则y＝f?x?在区间?1,6?上零点个数为? ?
A．3个 B．奇数
C．偶数 D．至少3个
【解析】 由表可知，在?1,2?，?3,4?，?5,6?三个区间内，y＝f?x?各至少有一个零点，故在?1,6?内至少有3个．
【答案】 D
4．若函数f?x?＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
f?1?＝－2
f?1.5?＝0.625
f?1.25?＝－0.984
f?1.375?＝
－0.260
f?1.437 5?＝0.162
f?1.406 25?＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根?精确到0.1?为? ?
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
【解析】 ∵|1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1
∴f?x?的零点近似值可取1.437 5≈1.4，或1.375≈1.4.
【答案】 C
二、填空题?每题5分，共10分?
5．在用二分法求方程f?x?＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f?0.625?＜0，f?0.75?＞0，f?0.687 5?＜0，即可得出方程的一个近似解为________?精确度为0.1?．
【解析】 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
【答案】 0.75或0.687 5
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么有根的区间是________．
【解析】 设f?x?＝x3－2x－5，则计算知f?2?与f?2.5?异号，故原方程的根位于?2,2.5?内
【答案】 ?2,2.5?
三、解答题?每题10分，共20分?
7．用二分法求方程x3＋5＝0的根?精确到0.1?．
【解析】 令f?x?＝x3＋5，由于f?－2?＝－3＜0，f?－1?＝4＞0，故取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[－2，－1]
－1.5
1.625
[－2，－1.5]
－1.75
－0.359 4
[－1.75，－1.5]
－1.625
0.709 0
[－1.75，－1.625]
－1.687 5
0.194 6
[－1.75，－1.687 5]
由于区间[－1.75，－1.687 5]长度＝－1.687 5－?－1.75?＝0.062 5＜0.1，故其两个端点值均可作为相应函数的零点的近似值，取其近似值为－1.7，故原方程的根为－1.7.
8．方程x5＋x－3＝0在区间?1,2?上，有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解?精确到0.1?．
【解析】 考察函数f?x?＝x5＋x－3，
∵f?1?＝－1＜0，f?2?＝31＞0，
∴函数f?x?＝x5＋x－3在区间?1,2?有一个零点x0.
∵函数f?x?＝x5＋x－3在?－∞，＋∞?上是增函数?证明略?，
∴方程x5＋x－3＝0在区间?1,2?内有唯一的实数解．
取区间?1,2?的中点x1＝1.5，用计算器算得f?1.5?≈6.09＞0，∴x0∈?1,1.5?．
同理，可得x0∈?1,1.25?，x0∈?1.125,1.25?，x0∈?1.125,1.187 5?，x0∈?1.125,1.156 25?，x0∈?1.125，1.140 625?．
由于|1.140 625－1.125|＜0.1，此时区间?1.125，1.140 625?的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1，
∴方程x5＋x－3＝0的一个精确到0.1的近似解为1.1.
9．?10分?在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币?重量稍轻?，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
【解析】 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订）
一、选择题?本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的?
1．下列对应中，是映射的个数为? ?
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①②均符合映射的定义，③中b没有对应元素，④中c有两个元素与之对应，故③④不是映射．
【答案】 C
2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可能是? ?
【解析】 A定义域不符，D值域不符，C中一个x有2个y与之对应，故不是函数．
【答案】 B
3．二次函数y＝x2－2x＋2的值域是?
A．R B．?
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1
【答案】 D
4．下列四个函数：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x2－1；④y＝.其中定义域与值域相同的是? ?
A．①② B．①②④
C．②③ D．①③④
【解析】 ①②定义域、值域均为R，④定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)．而③的定义域为R，值域为[－1，＋∞)．
【答案】 B
5．下列选项中正确的是? ?
A．f(x)＝－x2＋x－6的单调增区间为
B．f(x)＝－在[0，＋∞)上是增函数
C．f(x)＝在(－∞，＋∞)上是减函数
D．f(x)＝－x3＋1是增函数
【解析】 f(x)＝－x2＋x－6在上是增函数，选项A正确；
F(x)＝－在[0，＋∞)上是减函数，选项B错误；
F(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，选项C错误；
F(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，选项D错误．
故选A.
【答案】 A
6．F(x)是定义在R上的增函数，设F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为? ?
A．增函数且为奇函数 B．增函数且为偶函数
C．减函数且为奇函数 D．减函数且为偶函数
【解析】 ∵f(x)为增函数，∴f(－x)为减函数，
∴f(x)－f(－x)为增函数，又F(－x)＝
f(－x)－f(x)＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
【答案】 A
A．3 B.
C．2 D.
【解析】 ∵x0≤－1时，x0＋2≤1；x0≥2时2x0≥4，
∴只有－1＜x0＜2时，x02＝3，∴x0＝.
【答案】 B
8．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是?
【解析】 由题意f(－1)·f(1)＜0，
即(a＋1)·(－5a＋1)＜0，
∴(a＋1)(5a－1)＞0，
∴－1＜a＜.
【答案】 A
9．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么? ?
A．f(2)＜f(1)＜f(4) B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)
【解析】 由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小，
又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)．
在x＜2时，y＝f(x)为减函数，
∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【答案】 A
10．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是? ?
【解析】 B中函数图象?除顶点外?都在x轴上方，故不存在a，b使f(a)·f(b)＜0，从而不能用二分法求零点近似值．
【答案】 B
二、填空题?本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上?
11．函数y＝的单调递减区间是________．
【解析】y＝＝，
又x2－2x>0，
x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，则函数y＝
的单调递减区间是(2，＋∞)，故填(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
12
函数y＝f(x)的图象如图所示，根据函数图象填空：
(1)f(0)＝________；
(2)f(1)＝________；
(3)f(2)＝________；
(4)若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)f(x2)的大小关系是________．
【解析】 由图象可直接观察到f(0)＝2，f(1)＝3，f(2)＝0.
由图象可得到函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数，由增函数的定义可得，当－1＜x1＜x2＜1时，f(x1)＜f(x2)．
【答案】 (1)2 (2)3 (3)0 (4)f(x1)＜f(x2)
13．已知f(x)＝ax2＋bx(ab≠0)，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2)＝________.
【解析】
由二次函数的性质知
∴f(x1＋x2)＝0
【答案】 0
14．若函数f(x)＝x2－(3a－1)x＋a2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵f(x)图象的对称轴为且开口向上
∴≤1∴a≤1
【答案】 (∞，1]
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出下列两个函数的图象，并写出各自的值域．
【解析】 两个函数的图象分别如下图所示：
(1)值域为；
(2)值域为[1，＋∞)．
16．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)在区间[－b，－a](b＞a＞0)上是一个恒大于0的减函数，试问函数|f(x)|在区间[a，b]上是增函数还是减函数？证明你的结论．
【解析】 |f(x)|在区间[a，b]上是增函数，证明如下：
设a≤x1＜x2≤b，Δx＝x2－x1＞0，则－b≤－x2＜－x1≤－a.由f(x)在[－b，－a]上是减函数且恒大于零．
∴有f(－x2)－f(－x1)＞0，f(－x2)＞f(－x1)＞0.
又∵f(x)是奇函数．
则－f(x2)＞－f(x1)＞0，∴f(x2)＜f(x1)＜0，
∴Δy＝|f(x2)|－|f(x1)|＝－f(x2)＋f(x1)＝f(x1)－f(x2)＞0.
∴函数|f(x)|在区间[a，b]上是增函数．
17．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式.现欲将9万元资金投入甲、乙两种商品，问：甲、乙两种商品分别投入多少万元资金时能获得最大利润？
【解析】 设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入(9－x)万元，设利润为y万元，
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝1.3.
∴将9万元资金投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元．
18．(本小题满分14分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且a＜0,1、3是函数f(x)＋2x的两个零点．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
【解析】 (1)∵1,3是f(x)＋2x＝0的零点，且a＜0，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)．
得f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
∵方程②有两个相等的实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
课件28张PPT。2．1 函 数
2．1.1 函 数1．初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，?k≠0?，y＝ax2＋bx＋c，(?a≠0?)，y＝k/x(?k≠0?)分别叫 ， ， . .
2．函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过
第 象限．
3．函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为0.一次函数二次函数反比例函数一、二、四或一、三、四1．函数的概念
(1)?定义：设集合A是一个 ，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作 .其中x叫做自变量，自变量取值的范围?数集A?叫做这个函数的 ．
(2)如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的 . ，记作 ?或 .
所有函数值构成的集合 叫做这个 ．非空的数集唯一确定的数yy＝f?(x?)，x∈A定义域函数值y＝f(?a)y|x＝a.{y|y＝f?(x)?，x∈A}函数的值域(3)函数y＝f(?x?)也经常写作函数 ．因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素： 和 ．
?(4)?根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
① 是否给出；
② . . .f或函数f(?x?)定义域对应法则定义域和对应法则根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y2．映射的概念
?(1)定义：设A，B是两个 ，如果按照某种对应法则f，对A中的 元素x，在B中 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的 ．称y是x在映射f的作用下的象，记作f(?x?)于是y＝f(?x)?，x称作y的 ．映射f也可记为：f：A→B.
?(2)一一映射：如果映射f是集合A到集合B的 ，并且对于集合B中的 ，在集合A中都 ，这时我们说这两个集合的元素之间存在 ，并把这个映射叫做从集合A到集合B的 ．非空集合任意一个有一个且仅有一个映射原象映射任意一个元素有且只有一个原象一一对应关系一一映射3．区间的概念
设a，b∈R，且a【提示】 一次函数y＝ax＋b?a≠0?的定义域是R，值域也是R.
二次函数y＝ax2＋bx＋c?a≠0?的定义域是R，值域是 反比例函数y＝k/x(?k≠0?)?的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}．
2．比较映射与函数的概念有什么不同，映射与函数有怎样的关系？
【提示】 映射与函数的概念只有一点不同，映射要求A、B是两个非空的集合，而函数则要求A、B是两个非空的数集，由此可知函数一定是映射，但映射不一定是函数．判断下列对应f是否为集合A到集合B的函数：
?(1)?A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f?(1)?＝f?2?＝7，f?(3?)＝8；
?(2)?A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(?n?)＝－1；n为偶数时，f(?n?)＝1；
?(3)?A＝B＝{1,2,3}，f?(x)?＝2x－1.
【思路点拨】 判断一个对应f是否为集合A到集合B的函数，首先要判断它是否为从A到B的映射．若是映射，且A、B又是两个非空数集，则该对应是函数；若该对应不是映射，则它一定不是函数．【解析】 对于?1?，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的象，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．
同理，对于?(2)?，对应f也是集合A到集合B的函数．
对于?(3)?，由于f?(3?)＝2×3－1＝5?B，即集合A中的元素3在集合B中没有象．
∴对应f不是集合A到集合B的函数．从集合A到B的映射必须满足：?(1?)集合A中的任一元素必须都有象?即A中元素无剩余?；?(2?)集合B中的元素可以没有原象?即B中元素可以有剩余?；(?3?)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不能是“一对多”．1.下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是? ?
A．A＝B＝R，f(?x?)＝|x|
B．A＝B＝R，f(?x)?＝1/x
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f?x?＝x＋3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f?x?＝x0
【解析】 对A、C、D来说，f：A→B均符合函数定义；对B，集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是函数．
【答案】 B下列各组中两个函数是否表示同一函数：【思路点拨】 分别考查两个函数的定义域、对应关系和值域．
【解析】
(1)?两个函数定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数．
?(2)两个函数的对应关系显然不同，故两个函数不表示同一函数．
?(3)?两个函数的定义域显然不同，故两个函数不表示同一函数．
?(4)定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数．
?(5)?定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数．
?(6)?定义域、对应关系、值域均相同，两个函数表示同一函数 讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等．【解析】求下面函数的定义域：【思路点拨】【解析】(1)?要使函数有意义，需满足定义域的求法：
?(1)?如果f(?x?)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
?(2)如果f?(x)?是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
?(3)如果f?(x)?为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
?(4)?如果f?(x?)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
?(5)?如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．3.求下列函数的定义域：【思路点拨】 直接将自变量x的取值代入函数解析式进行计算．(1)?当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注意化简．
?(2)?当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算．【解析】 (?1)?∵x＋1≠0，∴x≠－1.故f(?x?)的定义域为1．对函数概念的理解
?(1)?函数的要素：由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．
?(2)函数符号y＝f?(x?)；y＝f?(x?)?表示y是自变量x的函数，函数关系可以是解析式(?一个或多个)也可以是图形、表格，也可以直接用文字进行表述．(3) f?(x?)?与f(?a?)：
F(?a?)表示当x＝a时函数f?(x?)?的值，是一个常量，而f?(x?)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(?a)?是f?(x?)?的一个特殊值，如一次函数f?(x?)＝3x＋4，当x＝8时，f(?8?)＝3×8＋4＝28是一个常数．
?(4)?函数的定义域：
①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数．如y＝x2?(x∈R)?与y＝x2?(x>0?)；y＝1与y＝x0.
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使解析式有意义的所有实数x的集合；在实际问题中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围．2．映射与函数
?(1)?映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f?x?，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
?(2)映射f：A→B，可理解为以下几点：
①A中每个元素在B中必有唯一的象；
②对A中不同的元素，在B中可以有相同的象；
③允许B中元素没有原象；
④A中元素与B中元素对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．
?(3)?如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．【错因】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域发生改变，造成错误．因此，必须根据原始函数解析式来求定义域．课时作业
点击进入链接课件29张PPT。2.1.2 函数的表示法1．两个函数相同是指它们的 相同，且 完全一致．
2．在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的f?(x?)与之对应．这可概述为： 和 ．4．一次函数的图象是一条 ；二次函数的图象是 ；反比例函数的图象是 ．定义域对应关系存在性唯一性直线拋物线双曲线1．函数的表示方法2.分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有
着 ，这样的函数通常叫做 ．任何一个函数都能用解析法表示吗？
【提示】 不是，存在很多函数不能用公式表示它们的函数关系，例如，一天中的气温随时间的变化关系，就很难用一个准确的解析式来表达．不同的对应法则分段函数（1?）题以f?（x）?为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法．但要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．1.求下列函数的解析式：作出下列函数的图象【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线．现在我们只要结合定义域，找到一些关键点，便可画出函数的大致图象．
【解析】(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1；
(2)y＝x2－4x＋3＝（?x－2）2－1，
且x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，
所画函数图象如图2.（1）?图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图．当已知式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图．
?（2）作图象时，应标出一些关键点．例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点，还是空心点．2.作出下列函数的图象．【解析】（1）?此函数图象是直线y＝x的一部分．（2）此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上．?这样的点叫做整点?其图象如图所示：如图所示，函数的图象由两条射线及拋物线的一部分组成，求函数的解析式．【思路点拨】 由图象及题意知该函数是一个分段函数，其中两段一次函数，一段二次函数，因此可用待定系数法．【解析】(1)?当x≤1时，设此时函数解析式为y＝ax＋b?（a≠0）解答此类问题关键是观察已知图象，一要根据图象形状确定函数类型得到解析式的一般形式．二要从图中找出特殊点的坐标．从而用待定系数法求出解析式．3．图中的图象所表示的函数解析式为【答案】 B1．函数的三种表示方法的优缺点比较2.关于分段函数
?（1）分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数．只不过在定义域内的不同部分取值时，函数对应关系不同．其值域也是各段上的函数值集合的并集．
?（2）求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
?（3）作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．3．求函数解析式的常用方法4．画函数图象的一般步骤
?（1）确立函数定义域；
?（2）?化简函数表达式；
?（3）讨论函数图象的性质?（如截距、奇偶性、图象上特殊点的位置等?）以缩小描点范围；
?（4）?采用描点或利用基本函数的图象作出所需图象．课时作业
点击进入链接课件25张PPT。2．1.3 函数的单调性初中学习过一次函数、二次函数．还记得函数f（?x）?＝x2的图象特征吗？自左向右，图象是 ，即函数值随着x的增大而 . ．函数f(?x?)＝x2的图象是 ，而且其图象在区间?（－∞，0]内是 ，即函数值随x的增大而 ；在区间?（0，＋∞）?内图象是 ，即函数值随x的增大而 ．上升的增大拋物线下降的减小上升的增大1．增函数与减函数
一般地，设函数y＝f?x?的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中的 ，当改变量Δx＝x2－x1>0时，
有 ，那么就称函数y＝f?（x?）在区间M上是 ；当改变量Δx＝x2－x1>0时，有Δy＝f?（x2?）－f?（x1?）<0，那么就称函数y＝f（?x?）在区间M上是 ．
2．单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是 或是 就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为 ．任意两个值x1、x2Δy＝f?（x2?）－f?（x1）?>0增函数减函数增函数减函数单调区间能否将增函数?减函数?定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个值x1，x2”？
【提示】 不能．如图所示，【思路点拨】 紧扣函数单调性的定义完成证明．根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：（1）取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1?（2）作差变形．即作差f?（x1?）－f?（x2?），并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；
?（3）定号．即确定f?（x1?）－f?（x2?）的符号；
?（4）判断．即根据定义得出结论．其中第二步是关键，在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式．要通过画图求单调区间，要求图象要相对精确．特别是拐点、端点、交点等必须非常明确，否则必然出错．2.确定函数f?x?＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．已知函数f?x?是定义在(?0，＋∞?)上的增函数，解不等式f?(2x?)－f?(x－2?)＞0.
【思路点拨】 根据定义域和单调性，将原不等式转化为不等式组求解．(1)?当已知函数的单调性及函数值的大小时，可以转化为自变量的大小关系．
?(2)?转化不等式不能忽略定义域．也就是要保证原不等式的各项都有意义．因此，这类问题一般都要化为不等式组求解 3.本题若改为f?(x?)在?(0，＋∞?)上为减函数，结果如何？已知函数f(?x)?＝x2＋2?(a－1?)x＋2在区间?(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．(1)?二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找其对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
?(2?)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．4.本例中，若将函数“在区间(?－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为?(－∞，4]”，则a为何值？
【解析】 由例题知函数f?(x?)的单调递减区间为(?－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.1．函数单调性概念中要注意的几点
?(1)?定义中x1、x2的三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字绝不能丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换．例如：对于函数y＝x2来说，令x1＝－1，x2＝2，有x1＜x2，且Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y2－y1＝x22－x12＝4－1＝3＞0，但不能说该函数是单调递增的；二是有大小，通常规定x1?(3)函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，可以说是函数的“局部”性质．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数y＝kx＋b?(k≠0?)；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数y＝x2，在[0，＋∞)上是增函数，而在?(－∞，0?)上则是减函数；还有的函数在某一区间上是非单调的，如函数y＝x2在[－1,2]上没有单调性．若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则看简单函数中减函数的个数．若减函数有偶数个，则复合而成的函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合而成的函数为减函数．【错因】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉．课时作业
点击进入链接课件22张PPT。2.1.4 函数的奇偶性1．奇偶函数的定义
设函数y＝f?(x?)的定义域为D，如果对D内的 ，都有 ，且f?(－x?)＝ ?，则这个函数叫做 ．
设函数y＝g?(x)?的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，且 ，则这个函数叫做 ．
2．奇偶函数的图象
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 .为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是 ．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是 ．任意一个x－x∈D－f（?x）奇函数－x∈Dg?(－x?)＝g?(x?)偶函数坐标原点奇函数y轴偶函数1．若奇函数f?（x?）在x＝0处有定义，则f（?0?）等于什么？
【提示】 由奇函数定义知，f?（－0?）＝－f（?0?），故f（?0）?＝0
2．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？
【提示】 有，f（?x?）＝0，x∈（?－a，a）（??a＞0?）既是奇函数又是偶函数．判断下列函数的奇偶性：【思路点拨】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再在定义域内化简函数式，然后用定义判断．判断函数的奇偶性，一般用以下两种方法：（2）?图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由：已知f?（x?）是R上的奇函数，当x∈?（－∞，0?）时，根据奇偶性的定义，由函数f(?x)?在原点一侧某一区间上的解析式必能求在原点另一侧与之对应的区间上的解析式．对于奇函数有f（?x?）＝－f?（－x?），对于偶函数有f?（x）?＝f（?－x）?．2.已知f?x?为奇函数，并且在?（－∞，0]上为减函数，试判断f?x?在[0，＋∞?）上的单调性．设定义在[－2,2]上的奇函数f?（x?）在区间[0,2]上单调递减，若f?（m?）＋f（?m－1?）＞0，求实数m的取值范围．解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f?（x1?）＞f?（x2?）或f（?x1）?＜f?（x2?）的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．3.设定义在[－2,2]上的偶函数f?（x）?，当x≥0时，f（?x?）单调递减，若f?（1－m?）＜f（?m）?成立，求m的取值范围．
【解析】 ∵f?x?是定义在[－2,2]上的偶函数，1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：（2）?图象法：奇?偶?函数的充要条件是它的图象关于原点?或y轴?对称．
?（3）性质法：偶函数的和、差、积、商?分母不为零?仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇?偶?数个奇函数的积、商?分母不为零?为奇?偶?函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
2．函数的奇偶性与单调性间的关系
一般地，若f（?x?）为奇函数，则f（?x?）在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若f（?x?）是偶函数，则f?x?在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．课时作业
点击进入链接课件28张PPT。2．2 一次函数和二次函数
2．2.1 一次函数的性质与图象
2．2.2 二次函数的性质与图象1．函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为? ?，其单调性为 . ．
2．函数y＝x2－2x＋1的开口方向向 ，顶点坐标为? ?，对称轴为 ，单调增区间为 ?，单调减区间为? ．（0,1）在（－∞，＋∞?）上是增函数（1,0）x＝1[1，＋∞）（－∞，1]上1．一次函数
?（1）?一次函数的概念
函数 ?叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.
一次函数的图象是 ，其中k叫做该直线的 ，b叫做该直线在y轴上的 ．
一次函数又叫 ．
?（2）一次函数的性质
①函数的改变量Δy＝ 与自变量改变量Δx＝ 的比值等于 ，k的大小表示直线与x轴的 ．
②当k>0时，一次函数是 ；当k<0时，一次函数是 ．
③当b＝0时，一次函数为 ，是 ；当b≠0时，它 ．y＝kx＋b?（k≠0）直线斜率截距线性函数x2－x1y2－y1常数k倾斜程度增函数减函数正比例函数奇函数既不是奇函数，也不是偶函数
④直线y＝kx＋b与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 。
2．二次函数
（1）函数y＝ax2＋bx＋c?(a≠0?)叫做 ，它的定义域为R.
（2）二次函数的性质与图象（0，b）二次函数注：记号ymax，ymin分别表示函数y＝f（?x?）的最大值，最小值．二次函数解析式的三种表示形式是什么？
【提示】 二次函数解析式的三种表示形式： 函数y＝x/2＋5所表示的直线的斜率为k＝________，此函数在?(－∞，＋∞)?上是________函数?判断增减性?，同时________?判断奇偶性?，与x轴的交点为________，与y轴的交点为________．
【思路点拨】 利用一次函数的定义及性质，易知函数y＝x/2＋5的一些属性．【解析】 显然k＝1/2＞0，所以此函数为增函数．因为b＝5≠0，所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数．求直线y＝kx＋b(?b≠0?)与x?(y?)轴的交点，就是令y＝0?(x＝0?)，求出相应的横?纵?坐标．所以直线y＝x/2＋5与x轴的交点为?(－10,0)?，与y轴的交点为?0,5?．所以填1/2，增，既不是奇函数也不是偶函数，(?-10,0?)(?0,5)?．【答案】 1/2 增 既不是奇函数也不是偶函数 ?(－10,0?) ?(0,5?)一次函数虽然简单，但考察其性质也是从定义域，单调性、奇偶性、特殊点等诸方面来进行．1.已知直线经过?(－3，－2?)和?(0,1)?两点，则此直线的函数解析式为________，斜率为________，在y轴上的截距为________．
【答案】 y＝x＋1 1 1已知函数f(?x?)＝2x2－3x＋1，
?(1?)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
?(2)?求这个函数的最小值；
?(3)?不直接计算函数值，试比较f?(－1?)和f?(1)?的大小．【思路点拨】 本题考查二次函数的基本性质，第?(3?)问首先利用函数f?(x?)的对称性：f?(x－h?)＝f(?x＋h?)，把要比较的两个值转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小，从而得到它们的大小关系．本题a＝2＞0，拋物线开口向上， ＞ ，离对称轴远的函数值大，所以f?(－1?)＞f?(1)?．这也是常用的方法，应熟练掌握．【解析】(?1)?将函数配方化为顶点式讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法．【解析】将函数解析式配方，找出对称轴，根据对称性求值，将f(-1/4)转化到与f(-15/4)在对称轴的同侧，利用二次函数的单调性比较两个数的大小．求f(?x?)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【思路点拔】 要注意判断对称轴x＝a所在位置．
【解析】 f?(x?)＝?(x－a?)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)?当a＜0时， 由图1可知，
f?(x?)min＝f?(0?)＝－1，
f(?x)?max＝f?(2)?＝3－4a.(2?)当0≤a＜1时，由图2可知，
f(?x)?min＝f?(a)?＝－1－a2，
f?(x?)max＝f(?2)?＝3－4a.
?(3?)当1≤a≤2时，由图3可知，
f(?x)?min＝f(?a)?＝－1－a2，
f?(x)?max＝f?(0?)＝－1.(4?)当a＞2时，由图4可知，
f?(x)?min＝f?(2?)＝3－4a，
f?(x)?max＝f(?0)?＝－1.(1?)利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性．
?(2)?求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答．【解析】 f?(x?)＝－?(x－a)?2＋a2－a＋1.
?(1?)当a<0时，ymax＝f(?0)?＝1－a＝2，∴a＝－1；
?(2?)当0≤a≤1时，ymax＝f?(a)?＝a2－a＋1＝2，
a＝ ?[0,1]舍去；
(?3?)当a>1时，ymax＝f?(1?)＝a＝2，∴a＝2.
由以上可知a＝－1或a＝2.3.函数f?(x)?＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．1．a、b、c对二次函数的图象和性质的影响2.配方法
将二次函数y＝ax2＋bx＋c配成顶点式y＝a(?x－h)?2＋k来求抛物线的顶点和函数y的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．当k为何值时，函数f?(x)?＝ 的定义域为R?
【错解】 ∵f(?x?)的定义域为R.
∴kx2＋2kx＋1≠0对一切x∈R恒成立，即二次函数g?x?＝kx2＋2kx＋1的函数值恒正或恒负．
∴判别式Δ＝4k2－4k<0，即0【错因】 本题出错的原因是没有彻底弄清楚只有二次函数、一元二次方程、一元二次不等式才有“权力”使用判别式“Δ”，而一次函数不能使用“Δ”．本题中没有说明g?(x)?＝kx2＋2kx＋1是一元二次函数，即它的二次项系数可以为0，故需分k＝0和k≠0讨论．【正解】 ∵f(?x)?的定义域为R，∴kx2＋2kx＋1≠0对一切x∈R恒成立；
当k≠0时，要使二次函数g?(x?)＝kx2＋2kx＋1的函数值恒正或恒负，必有判别式Δ＝4k2－4k<0，即0当k＝0时，g(?x?)＝1符合题意．
综上，当0≤k<1时，函数f?(x?)的定义域为R.课时作业
点击进入链接课件16张PPT。2.2.3 待定系数法1．正比例函数的一般形式是 ．
2．一次函数的一般形式是 ．
3．反比例函数的一般形式是y＝(k≠0，k是常数)．
4．二次函数的三种常见形式：
(1)一般式 ．
(2)顶点式 ．
(3)零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，即拋物线与x轴两交点的横坐标．y＝kx(k≠0，k是常数)y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是顶点待定系数法的概念前面的学习中，我们已经用过待定系数法．回顾一下，在求待定的系数时用过哪些办法列方程(组)？
【提示】 主要有两种办法，一是利用特殊点(值)列方程组；二是由“多项式恒等，则对应项系数相等”列方程组． 已知直线AB过x轴上的一点A?2,0?且与抛物线y＝ax2相交于B?1，－1?、C两点．求直线和抛物线的解析式．【思路点拨】 对直线来说，知道上面两点A、B便可求k，b；对于拋物线来说，知道上面一点B即可求a.
【解析】 设直线的解析式为y＝kx＋b，
∵过点A(2,0)，B(1，－1)，
∴ ，解得k＝1，b＝－2，
∴直线的解析式为y＝x－2，
又∵抛物线y＝ax2过点B(1，－1)，∴a＝－1
∴抛物线的解析式为y＝－x2. 一般地，所求解析式中有几个待定系数，就需要几个独立条件． 1.一次函数在y轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P(1,3)，求一次函数与反比例函数的解析式． 已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【思路点拨】 设出f(x)的一般形式，表示出f(x＋1)与f(x)＋x＋1，比较对应项系数得方程组．
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝0知c＝0，【解析】 设一次函数与反比例函数分别为
y＝k1x＋1(k1≠0)，y＝ (k2≠0)，
依题意，3＝k1＋1,3＝ ，
∴k1＝2，k2＝3，
∴y＝2x＋1，y＝ 为所求．∴f(x)＝ax2＋bx?a≠0?
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1知，
a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1对于x∈R成立． 比较系数时，必须把等式两边进行整理化简，把同类项合并起来，否则容易出现错误． 2.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)的解析式．【解析】 设f(x)＝kx＋b，则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.
∵f[f(x)]＝4x＋3，∴k2x＋kb＋b＝4x＋3.
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)max＝8，试求此二次函数的解析式．
【思路点拨】 此题直接的办法就是设二次函数的一般形式，将条件代入后解方程组．但当从不同的角度分析条件后，又可以得到不同的解法．解法三 由f(2)＝f(－1)＝－1，
知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，
可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1，
F(x)max＝ ＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法一采用一般式；方法二采用顶点式，因为我们通过观察，可得其对称轴为直线x＝ ；方法三是将原函数解析式经过适当的变形后，利用了零点式．我们要灵活掌握二次函数各种解析式的应用． 3.已知二次函数y＝f(x)满足以下条件，求该函数的解析式：
(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三点；
(2)图象顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；
(3)图象与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且过点 .
【解析】 (1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，－1)三点，得，
解得 ，
∴函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1. (2)设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其顶点的坐标是(h，k)．∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y＝a(x＋2)2＋3.
又∵图象过点(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.
∴a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.
(3)设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
因为二次函数的图象交x轴于(－2,0)，(4,0)两点，
则y＝a(x＋2)(x－4)，
∴所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，
即y＝x2－x－4.1．关于待定系数法
待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，不仅可以用来求函数的解析式，而且还常用来求某一数学表达式中的待定参数的值．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的等价条件：对于一个任意的a的值，都有f(a)≡g(a)，然后转化为两个多项式各同类项的系数对应相等．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．
2．待定系数法求函数解析式及求恒等式中参数值的步骤
(1)根据题意设出含有待定系数的解析式；
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值；
(4)将求得的待定系数的值代回原式．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，求f(x)的解析式．【错因】 本题出错的主要原因是对一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性没有掌握好．事实上，当k＞0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的增函数；当k＜0时，一次函数f(x)＝kx＋b为R上的减函数．而在本题的解答中，只考虑递增的情况，却忘掉了递减的情况，因而出错．课时作业
点击进入链接课件18张PPT。2．3 函数的应用(Ⅰ)1．汽车以80 km/h的速度行驶，则行驶路程s(km)与行驶时间t(h)间的函数关系为 .
2．一等腰三角形的周长是20，则底边y关于腰长x的函数解析式为 ．
3．自由落体运动中，物体下落的距离s与下落时间t的函数关系式为s＝ gt2(g≈9.8)．s＝80ty＝20－2x，(5＜x＜10)数学建模
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模．
建立数学模型的三个步骤是：
(1) ．抽象出实际问题的数学模型．
(2) ．对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3) ．对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．数学化数学解决实际化到目前为止，我们学习了哪些函数？
【提示】 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数以及分段函数等． 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？
【思路点拨】 每月所赚得钱＝卖报收入的总价－付给报社的总价
【解析】 设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400.
设每月赚y元，得
y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35·x·30
＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，
ymax＝120＋1050＝1170(元)．
答：每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元∴所求的函数关系式为y＝a (0≤x≤12)．在写出函数式的同时，注意写出函数式的定义域． 1.大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果：上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55℃.
(1)当地球表面大气的温度是a℃时，设x km上空的温度为y℃，求0≤x≤12时，a、x、y间的函数关系式；
(2)当地球表面大气的温度是29℃时，3 km上空的温度是多少？【解析】 (1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.
∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝
∴当0≤x≤12时，y＝a (0≤x≤12)，
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29 ×3＝8，
即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃. 某公司销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【思路点拨】 熟练掌握公式：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．
【解析】 (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(2)z＝ y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)，
故当x＝1.5时，zmax＝50. 利润问题是经济社会中的重要问题，要认真审题，寻求题目中的等量关系，建立函数模型解决．所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元． 2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
(总收益＝总成本＋利润)
【思路点拨】 由已知利润＝总收益－总成本．由于R(x)是分段函数，所以f(x)也要分段求出．分别求出f(x)在各段中的最大值，通过比较，就能确定f(x)的最大值．【解析】 (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－ (x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元． 本题已知函数模型的一部分，然后根据已知来确定整个问题的函数模型．这类问题的思路一般来说都比较明显，能比较容易地理解题意．高考考查的应用题也多半是这种类型的问题．3．某种消费品专卖店中，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售单价p(元/件)的关系如右图中的折线所示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13 200元．
(1)试求该店每月销售量q(百件)与销售单价p(元/件)的关系；
(2)若该店有40名职工，求每月的利润S的最大值，并指出此时该种消费品的销售单价是多少．当40≤p≤58时，求得p＝55时，Smax＝7 800；
当58＜p≤81时，求得p＝61时，Smax＝6 900，
所以当该店有40名职工时，每月的利润的最大值为7 800元，此时该种消费品的销售单价是55元/件．求解函数应用题的思路和方法
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为上图中的第一步： ，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学化；第二步： ，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步： ，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．因此，这一步称之为实际化．最后一步是对实际问题的结论作出解答．某商品在最近的30天内的价格f(t)(单位：元)的函数解析式是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N＋)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，且t∈N＋)，求这种商品的日销售金额的最大值．课时作业
点击进入链接课件18张PPT。2．4 函数与方程2．4.1 函数的零点1．方程x2－2x－3＝0的根为 ；函数y＝x2－2x－3与x轴的
交点为
2．函数y＝2x2－8x＋1的对称轴为 ，顶点坐标为 .3，－1(3,0)，(－1,0)．x＝2(2，－7)1．函数的零点
(1)一般地，如果函数y＝f(x) ，即 ，
则a叫做这个函数的零点．
(2)有时也把一个函数的 的公共点，叫做这个函数的零点．
2．二次函数零点的性质
(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值
(2)两个零点把x轴分为 区间，在每个区间上所有函数值
保持 在实数a处的值等于零f(a)＝0图象与x轴变号．三个同号．3．零点存在定理
零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
的曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)
内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使 ，这个x0也就是
方程f(x)＝0的根．连续不断f(a)·f(b)＜0f(x0)＝0函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？【提示】 不对．函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴交点
的横坐标，即零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时其函
数值为零．函数f(x)＝ 无零点，因为方程 ＝0无实根，因此，
并非所有的函数都有零点．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在
区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点【思路点拨】 可以结合条件，画出所有可能的图象类型进行判断．【解析】 由于二次函数f(x)＝x2＋mx＋n中的二次项系数大于0，
故该函数的图象大致如下图：若如图(1)，可知B错；结合图(2)(3)可知A、D都错．
【答案】 C判断函数零点通常有两种方法，一是求方程的根；二是画图象，
本题通过图象判断清晰明了．1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac＜0，则函数的零点
个数是( )
A．1 B．2
C．0 D．无法确定【解析】 解法一：因为c＝f(0)，所以ac＝a·f(0)＜0，
即a与f(0)异号，即 所以函数必有两个零点．
解法二：可由二次方程的判别式得到Δ＝b2－4ac.又因为ac＜0，
所以Δ＞0.此方程有两个不相等的实根．
【答案】 B求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出图象．
【思路点拨】 函数的零点就是方程的实根，各实根(函数的零点)
将定义域划分为若干个区间，由零点的性质便可确定函数f(x)在各
个区间上的符号，从而可大致画出函数的图象． 令f(x)＝x3－2x2－x＋2＝0，
则有x2(x－2)－(x－2)＝(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，
∴函数f(x)的零点为－1、1、2.
又f(0)＝2＞0，根据函数零点的两个性质可知在区间(－1,1)内，
f(x)＞0；在区间(－∞，－1)内，f(x)＜0；在区间(1,2)内，
f(x)＜0；在区间(2，＋∞)内，f(x)＞0.其图象如下图所示：本题先通过解方程求出函数的零点，再结合零点的性质分析函数在
各区间内的符号，从而画出函数的大致图象．体现了函数的零点，
相应方程的根以及函数图象间的密切关系．2.求y＝－x2－2x＋3的零点，并分别指出y＞0，y＜0时x的取值范围．
【解析】 解一元二次方程－x2－2x＋3＝0，
得x1＝－3，x2＝1，
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.
函数简图如图所示，从图象可知，当－3＜x＜1时，y＞0；
当x＜－3或x＞1时，y＜0.∴y＞0时，x的取值范围是(－3,1)；y＜0时，x的取值范围
是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．已知函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的
取值范围．
【思路点拨】 关于x的方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实数根，
可分为方程有“两正根、一正根一负根、一根为0另一根为正(负)
根”四种情况，若一一讨论较繁琐，因此可考虑问题的反面．
【解析】 函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于
方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程
无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝ ，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a＜0，
∴a＞.
即满足题意的实数a的取值范围是.(1)讨论二次函数零点情况，通常转化为讨论一元二次方程的根的
分布问题可以利用求根公式或利用因式分解求出根再加限制，或
结合韦达定理，利用数形结合作转化．
(2)有些问题正面处理复杂而其反面较简单时，常利用“正难则反”和补集的思想来解决．3.已知函数f(x)＝x3－4x，
(1)求函数的零点并画函数的图象；
(2)解不等式xf(x)＜0.
【解析】 (1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，所以函数的零点
为0，－2,2.3个零点把轴分成4个区间：
(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，f(－3)＝－15，
f(－1)＝3，f(1)＝－3，f(3)＝15，
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象
如右图所示．1．函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)
的图象与x轴交点的横坐标．方程实根的存在与否，完全等同于函数
零点的存在与否，因此，求方程的根，就是寻找函数的零点，也就
是寻找函数图象与x轴的交点横坐标．
对于不能用公式或因式分解的方法求方程f(x)＝0的根的情况，我们
可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而
找出方程的根或根所在的区间．2．函数零点存在性的判定方法
(1)利用解方程．函数y＝f(x)的零点，可通过解方程f(x)＝0作判断．
如函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，利用判别式Δ＝b2－4ac确定方
程ax2＋bx＋c＝0的根的情况即可解决．(2)画出函数的图象，利用函数的性质，确定图象与x轴的交点情况．
如基本初等函数的零点可用图象法作判断．
(3)利用重要结论——零点存在性定理．
判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件：
(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线．
(2)由f(a)·f(b)＜0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有
一个零点．
注意：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零
点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧
异号时才能用这种方法．
②利用上述结论只能判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在
性，但不能确定其零点的个数．③若函数有多个零点，则在两个相邻零点间的所有函数值的符号相同．
④上述定理中的条件应同时满足，若缺少其中一条则函数y＝f(x)在
区间(a，b)内都未必存在零点．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，
求实数m的取值范围．
【错解】 由函数零点的性质，得：
f(0)·f(1)＜0，得2m(m＋2)＜0? －2＜m＜0.
所以实数m的取值范围为(－2,0)．
【错因】 错解的原因是只注意到了函数零点性质的应用，而忽略
了问题的其他形式．(1)在[0,1]上有二重零点．(2)端点可能为零点．【正解】 (1)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等实
根时，则 此时m无解．
(2)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根时．
①有且只有一根在[0,1]上时，有f(0)·f(1)＜0.
即2m(m＋2)＜0，得－2＜m＜0.
②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0.根为x1＝0，x2＝－1
满足题意．
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0.根为x1＝1，
x2＝－4，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,0]．课时作业
点击进入链接课件25张PPT。2．4 ． 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b的取值范围为 .
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为 .
3．若函数f(x)＝2x2－4x＋k的图象与x轴无交点，则k的取值范围为 .
4．函数y＝x2－x－2，若y＜0，则x满足的条件为 .b≥0－1,1,3k＞2－1＜x＜2 1．变号零点与不变号零点
如果函数图象通过零点时 ，则称这样的零点为变号零点，否则，则称这样的零点为不变号零点．
2．二分法
所谓二分法，就是通过不断地把 ，使 逐渐逼近 ，进而得到 的方法．
区间[a，b]的中点为 .穿过x轴零点所在的区间一分为二区间的端点零点零点近似值 能否用二分法求任何函数的近似零点？
【提示】 不能．看一个函数能否用二分法求其零点，关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号． 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
【思路点拨】 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
【解析】 由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表∵1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5＜0.01，
∴x8＝ (1.437 5＋1.445 312 5)≈1.44是函数的一个近似零点．
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点． 1.求方程2x2＋3x－3＝0的一个近似解．(精确到0.1) 【解析】 设f(x)＝2x3＋3x－3.经试算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表： 至此，可以看出，方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5，0.75)内，因为该区间内所有值精确到0.1都是0.7.因此，0.7是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.1的一个近似解．【思路点拨】【解析】 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
2.试判断方程x3＋x－3＝0有无实数解，如果方程有实数解，请求出其近似解(精确到0.1)． 【解析】 令f(x)＝x3＋x－3，函数y＝f(x)的图象是不间断的曲线，且函数是R上的增函数，又f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，∴函数f(x)＝x3＋x－3有唯一的实数解，且在区间[1,2]上，以区间[1,2]为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 由上表可知，区间[1.187 5,1.218 75]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.2，因此1.2可以作为所求方程的近似解． 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？ 【解析】 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：
第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，
第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，
第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，
第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，
第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，
第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，
所以至多需要检测6次． 本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决． 3.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 【思路点拨】 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 【解析】 如右图，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段．再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一两根电线杆附近．1．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]验证f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)，并判断：
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x1∈(x1，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. 2．运用二分法求函数零点应注意以下几点
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．
(2)技巧：在选择零点所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．3．注意几种转化关系 利用这些转化关系可以把方程有无实根问题转化为函数有无零点问题，即函数图象与x轴有无交点的问题，这样可借助函数图象较直观地解决问题．用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)， 同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|＜ε. 【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.进入备考水平测试课件18张PPT。1．函数的概念与表示方法
(1)会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的三要素，了解映射的概念．
(2)会用区间表示数集，会求简单函数的定义域和值域．
(3)会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，了解简单的分段函数并能简单应用．
2．函数的性质
(1)理解函数的单调性及几何意义，了解函数奇偶性的意义．
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．一次函数和二次函数
(1)掌握一次函数和二次函数的性质．
(2)掌握配方法和待定系数法．
(3)了解一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型的广泛应用；能解决一些简单的实际问题．
4．函数与方程
(1)了解函数的零点与方程根的联系．
(2)能借助计算器用二分法求函数的近似零点，即方程的近似解． 1．函数的概念与表示方法
(1)求定义域、值域、解析式和函数值等问题一直是高考的重点，很多时候会与其他知识结合考查．(2)函数的表示方法是高考考查的热点，以选择题或填空题的形式居多，主要考查数学语言(表格、图象、符号、)识图和用图的能力；分段函数知识，在高考中也比较多见．
2．函数的性质
(1)函数的单调性是函数的重要性质之一，是今后研究具体函数的单调性的理论基础．因此，函数的单调性一直是高考考查的重点之一，在选择题、填空题中，主要考查函数的单调性和最值概念，题目特点是小、巧、活．解答题中常涉及到函数的单调性和最值问题的代数推理题，综合性强、难度大．
(2)函数的奇偶性是高考的必考内容，从考查形式看：一方面考查函数奇偶性定义的应用，属于试卷中的容易题；另一方面综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，一般属于试卷中的中档题．
3．一次函数和二次函数
(1)一次函数常作为分段函数的一段在高考题中出现．
(2)二次函数是研究函数的单调性、最值等性质的良好素材，是最重要的函数应用模型之一．高考考查的热点是二次函数的解析式、单调性、最值、图象、应用等．在选择题、填空题和解答题中均有涉及．几乎与高中阶段所有数学知识都可以联系和综合起来进行考查．
4．函数与方程
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．近几年高考中，多见于求变量的取值范围，解方程等． 已知不等式1≤－x2＋x＋a＋1≤ 对一切x∈[－1,1]恒成立，求a的取值范围．1．用函数的值域(最值)解题
求函数的值域(或最值)，涉及到众多的数学知识，构成了中学数学的重要横向知识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式或方程，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而确定参数的取值范围，从而避免了对参数的繁琐讨论． 作出函数y＝G(x)＝x|x－2|，x∈R的图象，利用图象分别求G(x)＝1，G(x)≥1的解集．2．利用函数图象解题
函数的图象是函数关系的形象体现，它能直观地反映出函数的性质，因此利用图象可以研究函数的性质及解决其他问题．
【解析】 G(x)＝x|x－2|利用描点法作出图象，如右图所示．
在图象上作出y＝1.
可知：当x＝1，或x＝1＋ 时，G(x)＝1；
当x≥1＋ 时，G(x)≥1.
∴G(x)＝1的解集为{x|x＝1，或x＝1＋ }，
G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋ ，或x＝1}．3．运用函数的单调性解题
单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．特别是在比较大小，证明不等式，求值或求最值，解方程(组)等方面应用十分广泛． (1)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)＜f(m)，求m的取值范围；
(2)解不等式(x2－20x＋38)3＋4x2＋152＜x3＋84x.
【解析】 (1)∵f(1－m)＜f(m)，f(x)是偶函数，
∴f(|1－m|)＝f(1－m)，f(|m|)＝f(m)．
∴f(|1－m|)＜f(|m|)．
又当x≥0时单调递减，于是可化为(2)原不等式可变形为(x2－20x＋38)3＋4(x2－20x＋38)＜x3＋4x，
令f(x)＝x3＋4x，则原不等式即为
f(x2－20x＋38)＜f(x)．
∵f(x)＝x3＋4x在R上是增函数，
∴x2－20x＋38＜x，即x2－21x＋38＜0.
即(x－2)(x－19)＜0，解得2＜x＜19.
4．利用待定系数法解题
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为x的方程式或方程组来解．待定系数法在求函数解析式中有着极为广泛的应用． 已知二次函数y＝f(x)的最大值等于13，且f(3)＝f(－1)＝5，求f(x)的解析式．
【解析】 ∵f(3)＝f(－1)，
∴拋物线y＝f(x)有对称轴x＝1.
又y＝f(x)的最大值是13，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋13.
将点(3,5)代入，求得a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.31．用函数与方程的思想解题函数f(x)＝x4－15，下列结论正确的有哪几个？ ①f(x)＝0在[1,2]内有一实根；
②f(x)＝0在[－2，－1]内有一实根；
③f(x)＝0没有大于2的实根；
④f(x)＝0没有小于－2的实根；
⑤f(x)＝0有四个实数根．
【解析】 f(x)＝x4－15是偶函数，并且x＞0时，f(x)是增函数，x＜0时，f(x)是减函数．
∵f(1)＝－14＜0，f(2)＝1＞0，
∴f(x)＝0在[1,2]内有一个实根，同时，在[－2，－1]内也有一个实根，且f(x)＝0只有这两个实根，所以①②正确，⑤不正确．
∵f(2)＞0，且当x＞2时f(x)＞f(2)＞0，
∴f(x)＝0没有大于2的实根．同理f(x)＝0没有小于－2的实根，所以③④也正确．
综上可知，①②③④正确，⑤不正确．2．用数形结合的思想解题 设f(x)表示y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6中较小者，求函数f(x)的最大值．
【解析】 在同一坐标系中分别作出函数y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象，图中的实线部分为函数y＝f(x)的图象．由－x＋6＝－2x2＋4x＋6得
x1＝0，x2＝ ，
由图易知当x＝0时，f(x)有最大值为6.
3．用分类讨论的思想解题设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
【解析】 ∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，
∴当2∈[t，t＋1]时，即t≤2≤t＋1时，g(t)＝f(2)＝－8.
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数．
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7；
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2＋px＋1＞p＋2x恒成立的x的取值范围．
【解析】 原不等式可变形为(x－1)p＋x2－2x＋1＞0，
设f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)在[－2,2]上恒大于0，故有
∴x＜－1，或x＞3.4．用等价转化的思想解题课时作业
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