勾股定理
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课件25张PPT。勾股定理石斋中学 黄顺炎1. 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的
顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
DA2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） 如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用彩色画出的三个三角形，完成填空：
红色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AB表示为（ ）；
蓝色正方形面积为（ ）平方格，用它的边BC表示为（ ）；
白色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AC表示为（ ）。
谁能告诉我这三个正方形的面积之间存在的数量关系？ABC结论： AB2 +BC2 =AC2
在等腰直角ABC三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方BC2AB2AC2观察与思考：112AABBCC图3图4（每一个小方格代表1个单位面积）观察左边图3、图4完成下表：探究与实践试一试 观察右图，小组内讨论合作完成下面的填空：
（1）正方形P中有 小方格，它的面积= 平方厘米；
（2）正方形Q中有 小方格，它的面积= 平方厘米；
（3）正方形R的面积= 平方厘米。ABCRQP议一议：（1）通过上面的分析，你能发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系吗？ ；
（2）你以发现直角三角形的三边的长度之间的关系吗？与同伴交流。 。（每一格表示1平方厘米）Sp+Sq=Sr 即AB2 +BC2 =AC2在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方91625916 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.千古第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机数学由计算转变为证明是第一个不定方程毕
达
哥
拉
斯
定
理勾股（商高）定理勾股定理的历史 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”?如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。∴ .
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活DA2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE探究2ACOBD一个5.41m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
求OB的距离？
如果梯子的顶端A沿墙
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离40应用知识回归生活1、已知：a＝3， b＝4，求c2、已知： c ＝10，a＝6，求b1、已知：∠C＝90°a：b＝3：4，
c＝10，求a和b2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿例2：等边三角形ABC的边长是6cm
(1)求高AD的长 (2) 求 S△ABC ACBD勾股定理的应用想一想我们有:好奇是人的本性!46b=58a=4658cc2=a2+b2 =462+582
=5480 而742=5476由勾股定理得：在误差范围内课后探索 做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。1这节课你学到了什么知识？小 结：3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？2 运用“勾股定理”应注意什么问题？勾股小常识：勾股数
1、 a2+b2 =c2，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。
顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
DA2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） 如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用彩色画出的三个三角形，完成填空：
红色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AB表示为（ ）；
蓝色正方形面积为（ ）平方格，用它的边BC表示为（ ）；
白色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AC表示为（ ）。
谁能告诉我这三个正方形的面积之间存在的数量关系？ABC结论： AB2 +BC2 =AC2
在等腰直角ABC三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方BC2AB2AC2观察与思考：112AABBCC图3图4（每一个小方格代表1个单位面积）观察左边图3、图4完成下表：探究与实践试一试 观察右图，小组内讨论合作完成下面的填空：
（1）正方形P中有 小方格，它的面积= 平方厘米；
（2）正方形Q中有 小方格，它的面积= 平方厘米；
（3）正方形R的面积= 平方厘米。ABCRQP议一议：（1）通过上面的分析，你能发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系吗？ ；
（2）你以发现直角三角形的三边的长度之间的关系吗？与同伴交流。 。（每一格表示1平方厘米）Sp+Sq=Sr 即AB2 +BC2 =AC2在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方91625916 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.千古第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机数学由计算转变为证明是第一个不定方程毕
达
哥
拉
斯
定
理勾股（商高）定理勾股定理的历史 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”?如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。∴ .
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活DA2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE探究2ACOBD一个5.41m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
求OB的距离？
如果梯子的顶端A沿墙
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离40应用知识回归生活1、已知：a＝3， b＝4，求c2、已知： c ＝10，a＝6，求b1、已知：∠C＝90°a：b＝3：4，
c＝10，求a和b2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿例2：等边三角形ABC的边长是6cm
(1)求高AD的长 (2) 求 S△ABC ACBD勾股定理的应用想一想我们有:好奇是人的本性!46b=58a=4658cc2=a2+b2 =462+582
=5480 而742=5476由勾股定理得：在误差范围内课后探索 做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。1这节课你学到了什么知识？小 结：3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？2 运用“勾股定理”应注意什么问题？勾股小常识：勾股数
1、 a2+b2 =c2，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。