2010-2011学年高一上学期单元测试（2）数学（北师大版）试题

2010—2011学年度上学期单元测试
高一数学试题（2）【北师大版】[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
命题范围：必修一第3—4单元
全卷满分150分，用时150分钟。
第Ⅰ卷（共36分）
一、（60分，每小题5分）
1．下列命题中正确的是 （ ）
A．－a一定是负数 B．若a<0，则=－a
C．若a<0,则|a2|=－a2 D．a<0时=1
2．如果a,b都是实数，则下列等式一定成立的是 （ ）
A． =a+b B．（）2=a+b+2
C． =a2+b2 D．=a+b[来源:21世纪教育网]
3．下列结论中正确的个数是 （ ）
①当a<0时，（a2） =a3；
②=|a|；
③函数y=（x－2）－（3x－7）0的定义域是（2，+∞）；
④若100a=5,10b=2,则2a+b=1．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列说法中错误的是 （ ）
A．任何一个指数式都可化为对数式
B．零和负数没有对数
C．以10为底的对数叫做常用对数
D．以e为底的对数叫做自然对数
5．如图所示函数图象对应的函数可能是（ ）
A．y=2x B．y=2x的反函数
C．y=2x－1 D．y=2－x的反函数
6．下列等式成立的有 （ ）
①lg=－2, ②log33=,
③=5, ④elne=1,
⑤3lg3=3, ⑥5ln5=5
A．①②③ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③④⑤⑥
7．已知lgx+lgy=2lg（x－2y）,则log的值的集合是 （ ）
A．2 B．2或0 C．4 D．4或0
8．将函数f（x）=2x的图象向左平移一个单位得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x的对称图象C3，则C3的解析式为 （ ）
A．y=log2（x－1）+1 B．y=log2（x－1）－1
C．y=log2（x+1）+1 D．y=log2（x+1）－1
9．如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象，
则a,b,c,d与0和1的大小关系是（ ）
A．0B．1C．0D．010．偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则方程 在区间[－a,a]内根的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．021世纪教育网
11．已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为 （ ）
A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于
12．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f（x），一种是平均价格曲线y＝g（x）（如f（2）＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是 （ ）21世纪教育网
A B C D
第Ⅱ卷 （共90分）
二、（16分，每小题4分）
13．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
14．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
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明文 密文 密文 明文
已知加密为为明文、为密文，如果明文“”通过加密后得到密文为“”，再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文是
15．已知．则将已知各数从小到大排列起来是____________________________________________________．21世纪教育网
16．若x满足－3+log2x=－x,则x属于区间_______________
三、（74分）
17．（本小题12分）
已知 ， ,试比较的大小。
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18．（本小题12分）
函数f（x）=（ax+a－x）（a>0且a≠1）的图象经过点（2，）
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在［0,+∞上是增函数．
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19．（本小题12分）
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式．
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?
20．（本小题12分）
如图，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．
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21．（本小题12分）
已知函数f（x）=．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明．
（2）求f（x）的反函数．
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22．（本小题满分14分）
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）＝
（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
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参考答案
一、（60分）
1．B 解析∵a<0,∴=|－a|=－a．
2．C 解析 A中当b<0时不成立，B中当a<0或b<0时，不成立，D中当a+b<0时不成立，
C中=a2+b2成立．
3．B 解析 取a=－2,可验证①不正确；当n为奇数时，②不正确；21世纪教育网
③y=（x－2）－（3x－7）0的定义域应是（2，）∪（，+∞）；④由100a=5得102a=5
（1）,又10b=2 （2）;?（1）×（2）得：102a+b=10?∴2a+b=1,此命题正确．
4．A 解析 B是对数的性质，C是常用对数定义，D是自然对数定义，显然正确．对于B，如果任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但对于整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如（－5）2=25，但不能写成log（－5）25=2．
5．D 解析 根据图象可判断其解析式为y=logax（0＜a＜1）型，由选择项可知应选D．
6．A 解析 ④elne=e,⑤、⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等．
7．D 解析 由已知xy=（x－2y）2,∴x2－5xy+4y2=0, ∴x－y=0或x－4y=0, ∵x＞0,y＞0,∴=1或=4, ∴log=log1=0或log=log4=log （）4=4．
8．B 解析 C1:y=2x+1,C2:y=2x+1+1,（y＞1）, 由2x+1=y－1得x+1=log2（y－1）,
∴f－1（x）=log2（x－1）－1,（x＞1）．
9．C ∵当指数函数的底数大于1时，图象是上升的，并且底数越大，图象在第一象限部分向上越靠近y轴，在第二象限部分向左越靠近x轴．?∴c>d>1?
∵当指数函数的底数大于0且小于1时，图象是下降的，底数越小在第一象限部分向右越靠近x轴，在第二象限部分向上越靠近y轴．?∴010．B 解析：因为在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，方程 在区间[0,a] 内有一根,又也是偶函数,所以方程在区间[-a,0] 内也有一根, 方程在区间[－a,a]内共有2个根,选B．
11．A 解析:因为函数和都是单调减函数,所以函数为 减函数．又因为实数是方程的解,所以,所以当时, 的值恒为正值．故选A．
12．C解析：本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力．刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误．故选C．
说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．
二、（16分）
13．[2,2.5] 解析:设,则,,所以下一个有根的区间是[2,2.5]
14．4 解析：依题意中，当时，，故，解得，所以加密为，因此，当时，由，解得
15．（－2）3<
解其中（－2）3<0；（）0=1；
又∵,
∴, 因此,
同理可得到,
所以（－2）3<
点评 比较幂的大小，可先与特殊值0、1进行比较，然后再考虑利用指数函数的单调性进行比较．
16．（2，3） 解析 由－3+log2x=－x得log2x=3－x，在同一坐标系中作出y=log2x,y=3－x的图象（如图），可观察两图象交点的横坐标满足2点评 仅根据图象其做法有时是不可靠的，这是因为所画图象[来源:21世纪教育网]
大多都是草图，并不十分准确，因此还要结合选项提供的数
据验证：
当0当1当30>3－x．
要注意数形结合思想的应用．
三、（74分）
17．解: ,,
当,即时,,即,
当,即时, 即
当时, ,所以
当时,此时,所以,所以．
18．解 （1）∵f（x）的图象过点（2，）∴（a2+a－2）=,?[21世纪教育网
即9a4－82a2+9=0,?解得a2=9或a2=
∵a>0且a≠1，∴a=3或a=
当a=3时，f（x）= （3x+3－x）
当a=时，f（x）=［（）x+（）－x］=（3x+3－x）
∴所求解析式为f（x）=（3x+3－x）
（2）设x1,x2∈［0,+∞）,且x1f（x1）－f（x2）= =
=
由0≤x11
∴f（x1）－f（x2）<0即f（x1）因此f（x）在［0，+∞上是增函数
点评 我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的．f（x）=可以看做y=与y=相加而得到；也可通过y=,t=3x复合而成．因此可利用复合函数的单调性判断f（x）= 的单调区间．
19．解: （Ⅰ）由已知和图得,当时,函数为,因为过点（0．1,1）所以k=10,所以函数为,又因为当t>0．1时, 过点（0．1,1）,所以,所以函数为,所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为
（Ⅱ）当,即,即,所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
20．解 （1）当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．
（2）当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，
根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2
（3）当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．
根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．
（4）当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．
∴所求的函数关系式为
21．解 （1）∵x∈R时,2x+1＞0恒成立．∴f（x）的定义域是R．
f（x）在R上是增函数，证明如下：
设x1,x2∈R,且x1＜x2,则0＜2x1＜2x2 ,∴f（x1）－f（x2）=
==．
∵2x1－2x2＜0,2x1+1＞0,2x2+1＞0
∴f（x1）－f（x2）＜0,即f（x1）＜f（x2）, ∴f（x）在R上是增函数．21世纪教育网
（2）由y=,解得2x=
∵2x＞0,∴＞0,即 －1＜y＜1, ∴x=log2 （－1＜y＜1）
∴f（x）的反函数为f－1（x）=log2 （－1＜x＜1．
22．解：（1）当0＜x≤10时，f（x）＝－0.1×2＋2．6x＋43＝－0.1（x－13）2＋59.9
故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）＝－0.1（10－13）2＋59.．9＝59
当10＜x≤16时，f（x）≡5921世纪教育网
当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．
（2）f（5）＝－0.1（5－13）2＋59.9＝53.5
f（20）＝－3×20＋107＝47＜53.5
故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．
（3）当0＜x≤10时，令f（x）＝55，解得x＝6或20（舍）
当x＞16时，令f（x）＝55，解得x＝17
因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17－6＝11＜13（分）
老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．[来源:21世纪教育网]