方程的根与函数的零点
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文档简介
说课课题：方程的根与函数的零点
一、教材分析
1、本节内容在教材中的地位和作用
本节内容是高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，“函数与方程”这个单元体现了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，也为今后通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础。本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用.
2、教学重难点
重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理。
难点：探究并发现零点存在性定理及其应用。
二、三维目标分析
1、知识与技能
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。
2、过程与方法
培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程互相转化的重要思想。
3、情感态度与价值观
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
确定教学目标的依据：
1、新课程标准的基本要求：注重基础，避免拓展，注重联系，突出本质
2、学生的认知水平：
已有的认知基础是初中学习过二次函数定义图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，掌握了研究部分基本初等函数性质的思想方法．
三、教法学法
为了达到三维目标，突出重点攻克难点，我制定了以下的教法和学法
教法：探究式教学法
教学手段：采用多媒体辅助教学，构建学生自主掌握的平台
学法：观察发现 自主探索 合作交流
四、教学过程
（以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知）
环节 教学内容 师生互动 设计意图
1、创设问题情境，引入新课 实际问题情境：如图大姚在一栋楼的离地面10米高A处斜抛一个篮球（篮球运动轨迹是一条抛物线段），已知蓝球上升到最高点M时，球离地面垂直距离为米，离这栋楼的水平距离为1米，你能求出球落地点B离这座楼的水平距离是多少米吗？问题1 求下列方程的根（1）（2）（3）（4） 引导学生思考把实际问题通过建立二次函数模型，并引导转化为求相应一元二次方程的根来解决。问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。第4小题学生自主完成遇到困难，通过合作交流用所学的知识也无法解决 创设实际问题情境，让学生感受到数学与生活有着密切的联系,同时体现数学建模及函数与方程的思想，引出新课。 问题1中的（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？一元二次方程二次函数函数图像图象与x轴交点方程的根 让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。
环节 教学内容 师生互动 设计意图
1、创设问题情境，引入新课 方程 的根 函数的图像图象与x轴的交点问题3：完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？ 让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。 采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图象判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数与形的结合。让学生从熟悉旧知识环境中，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。现代教育心理学研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结论的基础上。
2、建构函数零点概念 函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。思考：（1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格） 教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，回答不正确学生给予提示与鼓励。 为了帮助学生正确理解并掌握零点概念，设置3个问题（1）强调：零点指的是一个实数（2）揭示函数的零点并把概念符号化（3）让学生从数与形两个方面去寻找零点，既能让学生巩固零点的概念又经历三个等价的过程，从而很自然得出3个命题的等价关系，让学生体会到由具体到抽象的数学思想
环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识的延伸，得出等价关系 (1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数零点的求法：代数法 图象法 分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。（1）（2）与（3）的等价就是方程转化为函数的思想，并指出有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题转化为思考函数图象与x轴的交点问题。 方程转化为函数的思想，正是高中数学学习的重要思想，作为一名数学教师，不仅要传授给学生知识，更重要的是培养学生数学思想和数学意识。
3、探究发现零点存在性定理 问题：如何求方程lnx+2x-6=0的根？思考：如何求函数f(x)=lnx+2x-6的零点呢？ 在建立了函数零点概念和得到三个等价关系基础上让学生再次尝试解决问题1中第（4）小题，求方程根的问题等价转化为寻找函数图象与x轴交点的横坐标的问题，我利用几何画板作出函数的图象让学生直观感知图象与x轴有一个交点即函数有一个零点。然后根据本节的教学重点引导学生从数的角度探索连续函数在某个区间内存在零点的判定方法来解决，引出探究 学了新知识，尝试解决开始的疑问，引出新的思考，延续学生的探究热情与欲望，探究函数存在零点的判断方法
环节 教学内容 师生互动 设计意图
3、探究发现零点存在性定理 （1）探究：观察二次函数 的图像，如右图，我们发现 在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？ 让学生先自主探究再小组合作交流，鼓励学生进行大胆的猜想。让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想 以二次函数为载体，通过观察、发现、猜想、验证，体现了从特殊到一般，再从一般到特殊思想，符合学生的认知规律。一个好的猜想将会推动数学的发展，因此在数学教学中培养学生猜证结合的思想方法是至关重要的，为培养二十一世纪具有自主创新能力的人才奠定基础。
（2）发现零点存在性定理如果函数在（1）区间上的（2）图像是连续不断的一条曲线，并且有（3），那么，函数在区间内有零点，即存在使得这个c也就是方程 的根。思考：你能说出应用零点存在性定理应注意哪几个条件？ 我借助以上4个图形，引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间（2）图象连续（3）端点函数值异号,注意强调区间中零点不一定唯一。通过图（4）B点的运动让学生明白零点存在性定理不可逆。（若函在内有零点，不一定得出的结论） 帮助学生理解定理并能够正确应用、分析定理中各条件的作用，通过特殊图象将抽象的问题转化为直观形象的图形，更有利于学生理解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。
环节 教学内容 师生互动 设计意图
零点存在性定理应用 例1、求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数？x12345678f(x)思考：你能给出这个函数是增函数的证明吗？ 返回函数的图象让学生观察根的存在性个数及根存在的大概区间，再让学生利用计算器完成表格，通过动手实践获得对书本表格的认同感，并从表格中找出零点所在的区间，最后利用定理结合函数的单调性求出的零点个数。 让学生体会运用零点存在性定理去探求函数零点的过程与方法。借助表格和图象，使学生对整个解题思路有一个直观的认识，同时也为下节课用“二分法求方程的近似解”做好铺垫设计思考的目的：要说明函数 在区间内只有一个零点还必须说明在区间内是单调的
4、演练反馈，知识内化 (1)、函数 的零点所在的大致区间 （ ）A （1，2） B （2，3） C 和（3，4） D (2)若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围 （ ）A a<-1 B a>1 C-15、小结反思 请你谈谈本节课的收获？内容小结：（1）、函数零点的概念（2）、三个等价关系（3）、应用零点存在性定理判断函数零点的存在性以及个数方法 让学生自己对本节课进行反思小结，教师对学生的小结作出必要的补充和说明 共同反思，优化学生的认知结构，培养学生自主探究合作的学习方式，提高学生的反思小结能力
布置作业，学以致用
必做题
1、求函数：y=-x2+6x+7的零点
2、方程的解所在的区间是 （ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
3、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。
设计意图：必做题巩固学生所学的零点概念及零点存在性定理的应用等新知识，将学生的新知识向外延伸，达到掌握本质注重联系。
选做题
求证：在上存在唯一零点.
设计意图：由于学生学力水平的差异，注意分层教学，为学有余力的学生提供更多发展的空间。
探究题
1、．设函数．
（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；
（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
设计意图：激发学生学习潜能和热情，在探究学习中得到数学能力的提高，从小培养科学研究的素养。现代数学教学的新理念，就是想方设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本题具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到培养探究能力的目的，将学生思维引领到更高的层次。
五、评价与反思
反馈式评价
值得肯定的：
积极探索 勇于猜想 合作交流 敢于表达
值得注意：注重用函数的思想解决方程问题
零点存在性定理的灵活使用
教学反思：现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
因此教学设计过程：逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。
采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.并进行反馈式评价。
教学设计说明：建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。本节课让学生充分体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，是学习数形结合、函数与方程等数学思想方法很好的载体.
板书设计
3．1．1方程的根与函数的零点
一、函数的零点的概念 二、三个等价关系三、零点存在性定理求函数零点的方法：代数法，图象法 例1：求函数的零点个数 演练：（1）……（2）…… 多媒体演示
注：充分体现内容的主次及内容的辅助与陪衬作用。
y
O
x
A
M
1
10
B
建构函数零点概念
探究发现零点存在性定理
演练反馈知识内化
互动交流小结
反思
创设问题情境
x
oOOOO
y
猜想
0
2
-1
3
-3
4
1
x
y
(3)
(4)
(1)
(2)
B
x
oOOOO
y
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一、教材分析
1、本节内容在教材中的地位和作用
本节内容是高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，“函数与方程”这个单元体现了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，也为今后通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础。本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用.
2、教学重难点
重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理。
难点：探究并发现零点存在性定理及其应用。
二、三维目标分析
1、知识与技能
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。
2、过程与方法
培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程互相转化的重要思想。
3、情感态度与价值观
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
确定教学目标的依据：
1、新课程标准的基本要求：注重基础，避免拓展，注重联系，突出本质
2、学生的认知水平：
已有的认知基础是初中学习过二次函数定义图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，掌握了研究部分基本初等函数性质的思想方法．
三、教法学法
为了达到三维目标，突出重点攻克难点，我制定了以下的教法和学法
教法：探究式教学法
教学手段：采用多媒体辅助教学，构建学生自主掌握的平台
学法：观察发现 自主探索 合作交流
四、教学过程
（以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知）
环节 教学内容 师生互动 设计意图
1、创设问题情境，引入新课 实际问题情境：如图大姚在一栋楼的离地面10米高A处斜抛一个篮球（篮球运动轨迹是一条抛物线段），已知蓝球上升到最高点M时，球离地面垂直距离为米，离这栋楼的水平距离为1米，你能求出球落地点B离这座楼的水平距离是多少米吗？问题1 求下列方程的根（1）（2）（3）（4） 引导学生思考把实际问题通过建立二次函数模型，并引导转化为求相应一元二次方程的根来解决。问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。第4小题学生自主完成遇到困难，通过合作交流用所学的知识也无法解决 创设实际问题情境，让学生感受到数学与生活有着密切的联系,同时体现数学建模及函数与方程的思想，引出新课。 问题1中的（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？一元二次方程二次函数函数图像图象与x轴交点方程的根 让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。
环节 教学内容 师生互动 设计意图
1、创设问题情境，引入新课 方程 的根 函数的图像图象与x轴的交点问题3：完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？ 让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。 采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图象判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数与形的结合。让学生从熟悉旧知识环境中，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。现代教育心理学研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结论的基础上。
2、建构函数零点概念 函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。思考：（1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格） 教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，回答不正确学生给予提示与鼓励。 为了帮助学生正确理解并掌握零点概念，设置3个问题（1）强调：零点指的是一个实数（2）揭示函数的零点并把概念符号化（3）让学生从数与形两个方面去寻找零点，既能让学生巩固零点的概念又经历三个等价的过程，从而很自然得出3个命题的等价关系，让学生体会到由具体到抽象的数学思想
环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识的延伸，得出等价关系 (1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数零点的求法：代数法 图象法 分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。（1）（2）与（3）的等价就是方程转化为函数的思想，并指出有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题转化为思考函数图象与x轴的交点问题。 方程转化为函数的思想，正是高中数学学习的重要思想，作为一名数学教师，不仅要传授给学生知识，更重要的是培养学生数学思想和数学意识。
3、探究发现零点存在性定理 问题：如何求方程lnx+2x-6=0的根？思考：如何求函数f(x)=lnx+2x-6的零点呢？ 在建立了函数零点概念和得到三个等价关系基础上让学生再次尝试解决问题1中第（4）小题，求方程根的问题等价转化为寻找函数图象与x轴交点的横坐标的问题，我利用几何画板作出函数的图象让学生直观感知图象与x轴有一个交点即函数有一个零点。然后根据本节的教学重点引导学生从数的角度探索连续函数在某个区间内存在零点的判定方法来解决，引出探究 学了新知识，尝试解决开始的疑问，引出新的思考，延续学生的探究热情与欲望，探究函数存在零点的判断方法
环节 教学内容 师生互动 设计意图
3、探究发现零点存在性定理 （1）探究：观察二次函数 的图像，如右图，我们发现 在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？ 让学生先自主探究再小组合作交流，鼓励学生进行大胆的猜想。让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想 以二次函数为载体，通过观察、发现、猜想、验证，体现了从特殊到一般，再从一般到特殊思想，符合学生的认知规律。一个好的猜想将会推动数学的发展，因此在数学教学中培养学生猜证结合的思想方法是至关重要的，为培养二十一世纪具有自主创新能力的人才奠定基础。
（2）发现零点存在性定理如果函数在（1）区间上的（2）图像是连续不断的一条曲线，并且有（3），那么，函数在区间内有零点，即存在使得这个c也就是方程 的根。思考：你能说出应用零点存在性定理应注意哪几个条件？ 我借助以上4个图形，引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间（2）图象连续（3）端点函数值异号,注意强调区间中零点不一定唯一。通过图（4）B点的运动让学生明白零点存在性定理不可逆。（若函在内有零点，不一定得出的结论） 帮助学生理解定理并能够正确应用、分析定理中各条件的作用，通过特殊图象将抽象的问题转化为直观形象的图形，更有利于学生理解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。
环节 教学内容 师生互动 设计意图
零点存在性定理应用 例1、求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数？x12345678f(x)思考：你能给出这个函数是增函数的证明吗？ 返回函数的图象让学生观察根的存在性个数及根存在的大概区间，再让学生利用计算器完成表格，通过动手实践获得对书本表格的认同感，并从表格中找出零点所在的区间，最后利用定理结合函数的单调性求出的零点个数。 让学生体会运用零点存在性定理去探求函数零点的过程与方法。借助表格和图象，使学生对整个解题思路有一个直观的认识，同时也为下节课用“二分法求方程的近似解”做好铺垫设计思考的目的：要说明函数 在区间内只有一个零点还必须说明在区间内是单调的
4、演练反馈，知识内化 (1)、函数 的零点所在的大致区间 （ ）A （1，2） B （2，3） C 和（3，4） D (2)若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围 （ ）A a<-1 B a>1 C-1
布置作业，学以致用
必做题
1、求函数：y=-x2+6x+7的零点
2、方程的解所在的区间是 （ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
3、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。
设计意图：必做题巩固学生所学的零点概念及零点存在性定理的应用等新知识，将学生的新知识向外延伸，达到掌握本质注重联系。
选做题
求证：在上存在唯一零点.
设计意图：由于学生学力水平的差异，注意分层教学，为学有余力的学生提供更多发展的空间。
探究题
1、．设函数．
（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；
（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
设计意图：激发学生学习潜能和热情，在探究学习中得到数学能力的提高，从小培养科学研究的素养。现代数学教学的新理念，就是想方设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本题具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到培养探究能力的目的，将学生思维引领到更高的层次。
五、评价与反思
反馈式评价
值得肯定的：
积极探索 勇于猜想 合作交流 敢于表达
值得注意：注重用函数的思想解决方程问题
零点存在性定理的灵活使用
教学反思：现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
因此教学设计过程：逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。
采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.并进行反馈式评价。
教学设计说明：建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。本节课让学生充分体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，是学习数形结合、函数与方程等数学思想方法很好的载体.
板书设计
3．1．1方程的根与函数的零点
一、函数的零点的概念 二、三个等价关系三、零点存在性定理求函数零点的方法：代数法，图象法 例1：求函数的零点个数 演练：（1）……（2）…… 多媒体演示
注：充分体现内容的主次及内容的辅助与陪衬作用。
y
O
x
A
M
1
10
B
建构函数零点概念
探究发现零点存在性定理
演练反馈知识内化
互动交流小结
反思
创设问题情境
x
oOOOO
y
猜想
0
2
-1
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-3
4
1
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(3)
(4)
(1)
(2)
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